Разложение многочленов на множители. Как разложить на множители квадратный трехчлен: формула
Разложение многочленов для получения произведения иногда кажется запутанным. Но это не так сложно, если разобраться в процессе пошагово. В статье подробно рассказано, как разложить на множители квадратный трехчлен.
Многим непонятно, как разложить на множители квадратный трехчлен, и для чего это делается. Сначала может показаться, что это бесполезное занятие. Но в математике ничего не делается просто так. Преобразование нужно для упрощения выражения и удобства вычисления.
Многочлен, имеющий вид – ax²+bx+c, называется квадратным трехчленом. Слагаемое «a» должно быть отрицательным или положительным. На практике это выражение называется квадратным уравнением. Поэтому иногда говорят и по-другому: как разложить квадратное уравнение.
Интересно! Квадратным многочлен называют из-за самой его большой степени – квадрата. А трехчленом — из-за 3-х составных слагаемых.
Некоторые другие виды многочленов:
- линейный двучлен (6x+8);
- кубический четырехчлен (x³+4x²-2x+9).
Разложение квадратного трехчлена на множители
Сначала выражение приравнивается к нулю, затем нужно найти значения корней x1 и x2. Корней может не быть, может быть один или два корня. Наличие корней определяется по дискриминанту. Его формулу надо знать наизусть: D=b²-4ac.
Если результат D получается отрицательный, корней нет. Если положительный – корня два. Если в результате получился ноль – корень один. Корни тоже высчитываются по формуле.
Если при вычислении дискриминанта получается ноль, можно применять любую из формул. На практике формула просто сокращается: -b / 2a.
Формулы для разных значений дискриминанта различаются.
Если D положительный:
Если D равен нулю:
Онлайн калькуляторы
В интернете есть онлайн калькулятор. С его помощью можно выполнить разложение на множители. На некоторых ресурсах предоставляется возможность посмотреть решение пошагово. Такие сервисы помогают лучше понять тему, но нужно постараться хорошо вникнуть.
Полезное видео: Разложение квадратного трехчлена на множители
Примеры
Предлагаем просмотреть простые примеры, как разложить квадратное уравнение на множители.
Пример 1
Здесь наглядно показано, что в результате получится два x, потому что D положительный. Их и нужно подставить в формулу. Если корни получились отрицательные, знак в формуле меняется на противоположный.
Нам известна формула разложения квадратного трехчлена на множители: a(x-x1)(x-x2). Ставим значения в скобки: (x+3)(x+2/3). Перед слагаемым в степени нет числа. Это значит, что там единица, она опускается.
Пример 2
Этот пример наглядно показывает, как решать уравнение, имеющее один корень.
Подставляем получившееся значение:
Пример 3
Дано: 5x²+3x+7
Сначала вычислим дискриминант, как в предыдущих случаях.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Дискриминант отрицательный, значит, корней нет.
После получения результата стоит раскрыть скобки и проверить результат. Должен появиться исходный трехчлен.
Альтернативный способ решения
Некоторые люди так и не смогли подружиться с дискриминантом. Можно еще одним способом произвести разложение квадратного трехчлена на множители. Для удобства способ показан на примере.
Дано: x²+3x-10
Мы знаем, что должны получиться 2 скобки: (_)(_). Когда выражение имеет такой вид: x²+bx+c, в начале каждой скобки ставим x: (x_)(x_). Оставшиеся два числа – произведение, дающее «c», т. е. в этом случае -10. Узнать, какие это числа, можно только методом подбора. Подставленные числа должны соответствовать оставшемуся слагаемому.
К примеру, перемножение следующих чисел дает -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Нет.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Нет.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Нет.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Подходит.
Значит, преобразование выражения x2+3x-10 выглядит так: (x-2)(x+5).
Важно! Стоит внимательно следить за тем, чтобы не перепутать знаки.
Разложение сложного трехчлена
Если «a» больше единицы, начинаются сложности. Но все не так трудно, как кажется.
Чтобы выполнить разложение на множители, нужно сначала посмотреть, возможно ли что-нибудь вынести за скобку.
Например, дано выражение: 3x²+9x-30. Здесь выносится за скобку число 3:
3(x²+3x-10). В результате получается уже известный трехчлен. Ответ выглядит так: 3(x-2)(x+5)
Как раскладывать, если слагаемое, которое находится в квадрате отрицательное? В данном случае за скобку выносится число -1. К примеру: -x²-10x-8. После выражение будет выглядеть так:
Схема мало отличается от предыдущей. Есть лишь несколько новых моментов. Допустим, дано выражение: 2x²+7x+3. Ответ также записывается в 2-х скобках, которые нужно заполнить (_)(_). Во 2-ю скобку записывается x, а в 1-ю то, что осталось. Это выглядит так: (2x_)(x_). В остальном повторяется предыдущая схема.
Число 3 дают числа:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Решаем уравнения, подставляя данные числа. Подходит последний вариант. Значит, преобразование выражения 2x²+7x+3 выглядит так: (2x+1)(x+3).
Другие случаи
Преобразовать выражение получится не всегда. При втором способе решение уравнения не потребуется. Но возможность преобразования слагаемых в произведение проверяется только через дискриминант.
Стоит потренироваться решать квадратные уравнения, чтобы при использовании формул не возникало трудностей.
Полезное видео: разложение трехчлена на множители
Вывод
Пользоваться можно любым способом. Но лучше оба отработать до автоматизма. Также научиться хорошо решать квадратные уравнения и раскладывать многочлены на множители нужно тем, кто собирается связать свою жизнь с математикой. На этом строятся все следующие математические темы.
Приводится 8 примеров разложения многочленов на множители. Они включают в себя примеры с решением квадратных и биквадратных уравнений, примеры с возвратными многочленами и примеры с нахождением целых корней у многочленов третьей и четвертой степени.
1. Примеры с решением квадратного уравнения
Пример 1.1
x 4
+ x 3 - 6
x 2
.
Решение
Выносим x 2
за скобки:
.
2
+ x - 6 = 0
:
.
Корни уравнения:
, .
.
Ответ
Пример 1.2
Разложить на множители многочлен третьей степени:
x 3 + 6
x 2 + 9
x
.
Решение
Выносим x
за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 + 6
x + 9 = 0
:
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.
Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.
Ответ
Пример 1.3
Разложить на множители многочлен пятой степени:
x 5 - 2
x 4 + 10
x 3
.
Решение
Выносим x 3
за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 - 2
x + 10 = 0
.
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
, .
Разложение многочлена на множители имеет вид:
.
Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.
Ответ
Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул
Примеры с биквадратными многочленами
Пример 2.1
Разложить биквадратный многочлен на множители:
x 4 +
x 2 - 20
.
Решение
Применим формулы:
a 2 + 2
ab + b 2 = (a + b) 2
;
a 2
- b 2 = (a - b)(a + b)
.
;
.
Ответ
Пример 2.2
Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x 8 +
x 4 + 1
.
Решение
Применим формулы:
a 2 + 2
ab + b 2 = (a + b) 2
;
a 2
- b 2 = (a - b)(a + b)
:
;
;
.
Ответ
Пример 2.3 с возвратным многочленом
Разложить на множители возвратный многочлен:
.
Решение
Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = -1
.
Делим многочлен на x - (-1)
= x + 1
.
В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
, ;
;
;
.
Ответ
Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями
Пример 3.1
Разложить многочлен на множители:
.
Решение
Предположим, что уравнение
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504
;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120
;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60
;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24
;
1 3 - 6·1 2 + 11·1 - 6 = 0
;
2 3 - 6·2 2 + 11·2 - 6 = 0
;
3 3 - 6·3 2 + 11·3 - 6 = 0
;
6 3 - 6·6 2 + 11·6 - 6 = 60
.
Итак, мы нашли три корня:
x 1 = 1
,
x 2 = 2
,
x 3 = 3
.
Поскольку исходный многочлен - третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.
Ответ
Пример 3.2
Разложить многочлен на множители:
.
Решение
Предположим, что уравнение
имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
-2, -1, 1, 2
.
Подставляем поочередно эти значения:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 =
6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 =
0
;
1 4 + 2·1 3 + 3·1 3 + 4·1 + 2 = 12
;
2 4 + 2·2 3 + 3·2 3 + 4·2 + 2 = 54
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2
.
Подставим x = -1
:
.
Итак, мы нашли еще один корень x 2
= -1
.
Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.
Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Что делать, если в процессе решения задачи из ЕГЭ или на вступительном экзамене по математике вы получили многочлен, который не получается разложить на множители стандартными методами, которыми вы научились в школе? В этой статье репетитор по математике расскажет об одном эффективном способе, изучение которого находится за рамками школьной программы, но с помощью которого разложить многочлен на множители не составит особого труда. Дочитайте эту статью до конца и посмотрите приложенный видеоурок. Знания, которые вы получите, помогут вам на экзамене.
Разложение многочлена на множители методом деления
С том случае, если вы получили многочлен больше второй степени и смогли угадать значение переменной, при которой этот многочлен становится равным нулю (например, это значение равно ), знайте! Этот многочлен можно без остатка разделить на .
Например, легко видеть, что многочлен четвёртой степени обращается в нуль при . Значит его без остатка можно разделить на , получив при этом многочлен третей степени (меньше на единицу). То есть представить в виде:
где A , B , C и D — некоторые числа. Раскроем скобки:
Поскольку коэффициенты при одинаковых степенях должны быть одинаковы, то получаем:
Итак, получили:
Идём дальше. Достаточно перебрать несколько небольших целых чисел, что увидеть, что многочлен третьей степени вновь делится на . При этом получается многочлена второй степени (меньше на единицу). Тогда переходим к новой записи:
где E , F и G — некоторые числа. Вновь раскрываем скобки и приходим к следующему выражению:
Опять из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях получаем:
Тогда получаем:
То есть исходный многочлен может быть разложен на множители следующим образом:
В принципе, при желании, используя формулу разность квадратов, результат можно представить также в следующем виде:
Вот такой простой и эффективный способ разложения многочленов на множители. Запомните его, он может вам пригодиться на экзамене или олимпиаде по математике. Проверьте, научились ли вы пользоваться этим методом. Попробуйте решить следующее задание самостоятельно.
Разложите многочлен на множители :
Свои ответы пишите в комментариях.
Материал подготовил , Сергей Валерьевич
Разложение многочленов на множители – это тождественное преобразование, в результате которого многочлен преобразуется в произведение нескольких сомножителей – многочленов или одночленов.
Существует несколько способов разложения многочленов на множители.
Способ 1. Вынесение общего множителя за скобку.
Это преобразование основывается на распределительном законе умножения: ac + bc = c(a + b). Суть преобразования заключается в том, чтобы выделить в двух рассматриваемых компонентах общий множитель и «вынести» его за скобки.
Разложим на множители многочлен 28х 3 – 35х 4 .
Решение.
1. Находим у элементов 28х 3 и 35х 4 общий делитель. Для 28 и 35 это будет 7; для х 3 и х 4 – х 3 . Иными словами, наш общий множитель 7х 3 .
2. Каждый из элементов представляем в виде произведения множителей, один из которых
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.
3. Выносим за скобки общий множитель
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).
Способ 2. Использование формул сокращенного умножения. «Мастерство» владением этим способом состоит в том, чтобы заметить в выражении одну из формул сокращенного умножения.
Разложим на множители многочлен х 6 – 1.
Решение.
1. К данному выражению мы можем применить формулу разности квадратов. Для этого представим х 6 как (х 3) 2 , а 1 как 1 2 , т.е. 1. Выражение примет вид:
(х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1).
2. К полученному выражению мы можем применить формулу суммы и разности кубов:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).
Итак,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).
Способ 3. Группировка. Способ группировки заключается в объединение компонентов многочлена таким образом, чтобы над ними было легко совершать действия (сложение, вычитание, вынесение общего множителя).
Разложим на множители многочлен х 3 – 3х 2 + 5х – 15.
Решение.
1. Сгруппируем компоненты таким образом: 1-ый со 2-ым, а 3-ий с 4-ым
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15).
2. В получившемся выражении вынесем общие множители за скобки: х 2 в первом случае и 5 – во втором.
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3).
3. Выносим за скобки общий множитель х – 3 и получаем:
х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3)(х 2 + 5).
Итак,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5).
Закрепим материал.
Разложить на множители многочлен a 2 – 7ab + 12b 2 .
Решение.
1. Представим одночлен 7ab в виде суммы 3ab + 4ab. Выражение примет вид:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 .
Раскроем скобки и получим:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 .
2. Сгруппируем компоненты многочлена таким образом: 1-ый со 2-ым и 3-ий с 4-ым. Получим:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Вынесем за скобки общие множители:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).
4. Вынесем за скобки общий множитель (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).
Итак,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= а(а – 3b) – 4b(а – 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
