Построение первоначального опорного плана. Опорный план территории, поселения
Предположим, что каноническая задача ЛП имеет не совсем специальный вид, а к примеру, правые части уравнений системы ограничений могут быть отрицательны.
Этот случай возникает при решении задачи о рационе . Канонический вид задачи выглядит так:
F = 20х 1 + 20х 2 + 10х 3 → min.
Запишем задачу в симплекс-таблицу (табл. 1).
Таблица 1
Базисное решение, соответствующее базису {x 4 , x 5 , x 6 } и равное (0; 0; 0; -33; 23; -12), не является допустимым ввиду отрицательности х
4 < 0, x
5 < 0, x
6 < 0.
Сформулируем правило нахождения допустимого опорного плана
.
Если в столбце свободных членов есть отрицательные элементы, выберите из них наибольший по модулю, а в его строке - любой отрицательный. Взяв этот элемент в качестве разрешающего пересчитайте таблицу по прежним правилам 2-5 .
Если в полученной таблице все элементы столбца свободных членов стали положительны либо 0, то данное базисное решение можно взять в качестве первоначального опорного плана. . Если в столбце свободных членов не все элементы неотрицательны, то еще раз воспользоваться этим правилом.
Проведем этот шаг для задачи о рационе. В качестве разрешающей строки табл. 1 нужно выбрать первую. А разрешающим элементом выберем, к примеру, элемент -4.
Таблица 2
|
базисные |
свободные |
|||
Таблица 2
|
базисные |
свободные |
|||
F = 20х 1 + 20х 2 + 10х 3 = 20 · 7 + 0 + 10· = 140 + 25 = 165.
В этой задаче не пришлось улучшать найденный первоначальный опорный план, т.к. он оказался оптимальным. Иначе, мы должны были вернуться к III этапу.
Решение задачи о плане симплекс-методом
Задача. Предприятие располагает тремя видами сырья и намеревается выпускать четыре вида продукции. Коэффициенты в таблице 3.12 указывают затраты соответствующего вида сырья на единицу определенного вида продукции, а также прибыль от реализации единицы продукции и общие запасы ресурсов. Задача: найти оптимальный план производства продукции, при котором будет обеспечена максимальная прибыль.Таблица 3
Составим математическую модель. Пусть х 1 , х 2 , х 3 , х 4 - количество продукции I, II, III, IV вида соответственно в плане. Тогда количество используемого сырья и его запасы выразятся в неравенствах:
F = 3x 1 + 5x 2 + 4x 3 + 5x 4 → max.
Целевая функция выражает собой общую суммарную прибыль, полученную от реализации всей плановой продукции, а каждое из неравенств выражает затраты определенного вида продукции. Понятно, что затраты не должны превышать запасов сырья.
Приведем задачу к канонической форме и к специальному виду, введя дополнительные переменные х 5 , х 6 , х 7 в каждое из неравенств.
Очевидно, что, если первого ресурса необходимо для производства плановой продукции 5х
1 + 0,4х
2 + 2х
3 + 0,5х
4 , то х
5 обозначает просто излишки первого ресурса как разность между имеющимся запасом и требуемым для производства. Аналогично х
6 и х
7 . Итак, дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.
Запишем задачу в таблицу 4, предварительно выписав ее каноническую форму:
I этап . Это задача специального вида, базис составляют переменные { х 5 , х 6 , х 7 }, правые части уравнений неотрицательны, план х = (0, 0, 0, 0, 400, 300, 100) - опорный. Он соответствует симплекс-таблице.
Таблица 4
|
базисные |
свободные |
||||
II этап . Проверим план на оптимальность. Так как в индексной F -строке есть отрицательные элементы, то план неоптимален, переходим к III этапу.
III этап
. Улучшение опорного плана. Выберем в качестве разрешающего столбца четвертый, но могли бы выбрать и второй, т.к. в обоих (-5). Остановившись на четвертом, выберем в качестве разрешающего элемента 1, т.к. именно на нем достигается минимум соотношений 
. С разрешающим элементом 1 проводим преобразование таблицы по правилам 2-5 (табл. 5).
Таблица 5
Полученный план опять неоптимален, т.к. в F -строке есть отрицательный элемент -5 . этот столбец разрешающий.
В качестве разрешающего элемента выбираем 5, т.к. 
.
Пересчитываем еще раз таблицу. Заметим, что пересчет удобно начинать с индексной строки, т.к. если в ней все элементы неотрицательны, то план оптимален, и чтобы его выписать, достаточно пересчитать столбец свободных членов, нет необходимости вычислять "внутренность" таблицы (табл. 6).
Таблица 6
|
базисные |
свободные |
||||
IV этап . Базисные переменные {x 5 , x 2 , x 4 } принимают значения из столбца свободных членов, а свободные переменные равны 0. Итак, оптимальный план х * = (0, 40, 0, 100, 334, 0, 0) и F * = 700. Действительно, F = 3х 1 + 4х 3 + 5х 2 + 5х 4 = 5 · 40 + 5 · 100 = 700. Т. е. для получения максимальной прибыли в 700 руб. предприятие должно выпускать изделия II вида в количестве 40 штук, IV - вида в количестве 100 штук, изделия I и III вида производить невыгодно. При этом сырье второго и третьего вида будет израсходовано полностью, а сырья первого вида останется 334 единицы (х 5 = 334, х 6 = 0, х 7 = 0).
Решение транспортной задачи, как и всякой задачи линейного программирования, начинается с нахождения опорного решения, или, как мы будем говорить, опорного плана. В отличие от общего случая ОЗЛП с произвольными ограничениями и минимизируемой функцией, решение ТЗ всегда существует. Действительно, из чисто физических соображений ясно, что хоть какой-то допустимый план существовать должен. Среди допустимых планов непременно имеется оптимальный (может быть, не один), потому что линейная функция L - стоимость перевозок заведомо неотрицательна (ограничена снизу нулем). В данном параграфе мы покажем, как построить опорный план. Для этого существуют различные способы, из которых мы остановимся на простейшем, так называемом «способе северо-западного угла». Пояснить его проще всего будет на конкретном примере.
Пример 1. Условия ТЗ заданы транспортной таблицей (см. табл. 10.1).
Требуется найти опорное решение ТЗ (построить опорный план).
Решение. Перепишем табл. 10.1 и будем заполнять ее перевозками постепенно, начиная с левой верхней ячейки (1,1) («северо-западного угла» таблицы). Будем рассуждать при этом следующим образом. Пункт подал заявку на 18 единиц груза. Удовлетворим эту заявку за счет запаса 48, имеющегося в пункте и запишем перевозку 18 в клетке (1,1). После этого заявка пункта й, удовлетворена, а в пункте осталось еще 30 единиц груза. Удовлетворим за счет них заявку пункта единиц), запишем 27 в клетке (1,2); оставшиеся 3 единицы пункта назначим пункту . В составе заявки пункта остались неудовлетворенными 39 единиц.
Таблица 10.1
Из них 30 покроем за счет пункта , чем его запас будет исчерпан, и еще 9 возьмем из пункта . Из оставшихся 18 единиц пункта выделим пункту оставшиеся 6 единиц назначим пункту что вместе со всеми 20 единицами пункта покроет его заявку (см. табл. 10.2).
На этом распределение запасов закончено: каждый пункт назначения получил груз согласно своей заявке. Это выражается в том, что сумма перевозок в каждой строке равна соответствующему запасу, а в столбце - заявке.
Таким образом, нами сразу же составлен план перевозок, удовлетворяющий балансовым условиям. Полученное решение является не только допустимым, но и опорным решением транспортной задачи.
Таблица 10.2
Клетки таблицы, в которых стоят ненулевые перевозки, являются базисными, их число удовлетворяет условию Остальные клетки - свободные (пустые), в них стоят ненулевые перевозки, их число равно Значит, наш план - опорный и поставленная задача построения опорного плана решена.
Возникает вопрос: а является ли этот план оптимальным по стоимости? Разумеется, нет! Ведь при его построении мы совсем не учитывали стоимостей перевозок Естественно, план не получился оптимальным. Действительно, стоимость этого плана, которая найдется, если умножить каждую перевозку на соответствующую стоимость, равна .
Таблица 10.3
Попробуем улучшить этот план, перенеся, например, 18 единиц из клетки (1,1) в клетку (2,1) и, чтобы не нарушить баланса, перенеся те же 18 единиц из клетки (2,3) в клетку (1,3). Получим новый план, приведенный в табл. 10.3.
Нетрудно убедиться, что стоимость нового плана равна т. е. на 126 единиц меньше стоимости плана, приведенного в табл. 10.3.
Таким образом, за счет циклической перестановки 18 единиц груза из одних клеток в другие нам удалось понизить стоимость плана. На этом способе уменьшения стоимости в дальнейшем и будет основан алгоритм оптимизации плана перевозок.
Остановимся на одной особенности плана перевозок, которая может встретиться как при построении опорного плана, так и при его улучшении. Речь идет о так называемом «вырожденном» плане, в котором некоторые из базисных перевозок оказываются равными нулю. Рассмотрим конкретный пример возникновения вырожденного плана.
Пример 2. Дана транспортная таблица (без стоимостей перевозок, так как речь идет только о построении опорного плана) - см. табл. 10.4.
Таблица 10.4
Таблица 10.5
Таблица 10.6
Составить опорный план перевозок.
Решение. Применяя способ северо-западного угла, получим табл. 10.5.
Опорный план составлен. Особенностью его является то, что в нем только шесть, а не восемь отличных от нуля перевозок. Значит, некоторые из базисных перевозок, которых должно быть оказались равными нулю.
Нетрудно заметить, отчего это произошло: при распределении запасов по пунктам назначения в некоторых случаях остатки оказывались равными нулю и в соответствующую клетку не попадали.
Такие случаи «вырождения» могут возникать не только при составлении опорного плана, но и при его преобразовании, оптимизации.
В дальнейшем нам удобно будет всегда иметь в транспортной таблице базисных клеток, хотя в некоторых из них, может быть, будут стоять и нулевые значения перевозок. Для этого можно ничтожно мало изменить запасы или заявки, так чтобы общий баланс не нарушился, а лишние, «промежуточные» балансы уничтожились. Достаточно в нужных местах изменить запасы или заявки, например, на величину , а после нахождения оптимального решения положить
Покажем, как перейти от вырожденного плана к невырожденному на примере табл. 10.5. Изменим слегка запасы в первой строке и положим их равными . Кроме того, в третьей строке проставим запасы . Чтобы «свести баланс», в четвертой строке ставим запасы 20 - 2е (см. табл. 10.6). Для этой таблицы строим опорный план способом северо-западного угла.
В табл. 10.6 уже содержится столько базисных переменных, сколько требуется: . В дальнейшем, после оптимизации плана, можно будет положить .
Cтраница 1
Опорный план, отвечающий рассматриваемому базису, оптимален, если все AV неотрицательны.
Опорный план будет невырожденным, если он содержит т положительных компонент, в противном случае опорный план называется вырожденным.
Опорный план территории поселения - картографическое отображение фактически сложившейся градостроительной и экологической ситуаций на территории поселения.
Получив первый опорный план, следует проверить его оптимальность и, если требуется, перейти к новому опорному плану с лучшим значением целевой функции Z. Для этого применяют метод потенциалов.
Пусть теперь первый опорный план найден. Существует ряд методов проверки координат вершины на оптимальность.
Находят опорный план расширенной задачи.
Базисом опорного плана будем называть произвольную линейно независимую систему из т столбцов матрицы А, включающую в себя все столбцы, соответствующие ненулевым координатам опорного плана.
Базисом опорного плана называется произвольная линейно независимая система из т столбцов матрицы А, включающая в себя все столбцы, соответствующие ненулевым координатам опорного плана.
По данному опорному плану каждому пункту (производителю или потребителю) сопоставляется число, наз. Предварит, потенциалы определяются из условия: разность предварит, потенциалов нары пунктов (производитель, потребитель) равна стоимости перевозки (СП) единицы продукта между этими пунктами, если связывающая их коммуникация является основной. Далее, для каждой пары пунктов (производитель и потребитель) вычисляется относит, стоимость перевозки единицы продукта, равная разности предварит, потенциалов этих пунктов. Если относит, стоимость перевозки не превосходит СП для любой пары пунктов, то имеющийся план оптимален, а предварит, потенциалы являются потенциалами задачи. Соединим / - и пункт-производитель с i - м пунктом-потребителем обходным маршрутом, составленным из осн.
По данному опорному плану каждому пункту (производителю или потребителю) сопоставляется число, паз. Предварит, потенциалы определяются из условия: разность предварит, потенциалов нары пунктов (производитель, потребитель) равна стоимости перевозки (СП) единицы продукта между этими пунктами, если связывающая их коммуникация является основной. Далее, для каждой пары пунктов (производитель и потребитель) вычисляется относит, стоимость перевозки единицы продукта, равная разности предварит, потенциалов этих пунктов. СП для любой пары пунктов, то имеющийся план оптимален, а предварит, потенциалы являются потенциалами задачи. Пусть это условие не выполняется для нек-рых пар пунктов, одна из к-рых содержит пункты с номерами / и i. Соединим / - и пункт-производитель с i - м пунктом-потребителем обходным маршрутом, составленным из оси.
С новым опорным планом повторяется та же процедура, что и с предыдущим. Один из этих случаев обязательно наступит через конечное число шагов.
Когда в опорный план вводится новая переменная, то для сохранения его базпсности из него должна быть исключена одна из базисных неременных. Таким образом, на каждой итерации симплексного метода новая дуга вводится в план, а одна из базисных дуг исключается. После изменения плана он проверяется на соблюдение условий оптимальности с помощью расчетов, равноценных проверке выполнения всех неравенств (2) при текущих значениях двойственных неременных.
Замечание. Компания допускает использование опорного плана как формы календарного плана. Выбор формы на усмотрение проектной команды. При выборе опорного плана необходимо сохранить ключевые календарные события.
Опорный план отличается о г стандартного календарного плана использованием новой временной шкалы. В календарном плане точки времени могут располагаться в любом месте календаря. В опорном
і ига не вводится неделимый квант времени или период. Обыкновенно, в качестве периода выбираются неделя, месяц или квартал. Исходя из квантового принципа, і оворят “задача начинается в гаком-ю периоде", а, где конкретно внутри периода начинается задача, не берут во внимание. В календарном плане, наоборот, говорят точно “задача начинается такого-то числа и месяца". Исключение в опорном плане /делается только для ключевых событий, причем точки этих событий указываются дополнительно к опорному плану, справочно.
Как правило, все периоды равны по длительное га друг другу. Тем не менее, возможно использование и некратных периодов. Каждый период может именоваться своим номером или просто указанием начальной и конечной даты. Например, неделя с 16 января по 22 января.
Выбор способа декомпозиции не отличается от иерархической декомпозиции работ. Следует обратить внимание, что в опорном плане може г быть меньшее количество задач, чем в первичном иерархическом перечне. Декомпозиция продолжается до тех пор. когда все элементарные задачи можно считать линейными или условно линейными.
Каждая задача должна иметь натуральную единицу измерения. Не возникает проблем с выбором единицы измерения для материальных работ, с объективно существующим способом их измерения. Примеры подобных единиц: дорогу можно измерять в погонных метрах; покраску полов в квадратных метрах; укладку фундамента в кубических метрах; ко не тру кторску ю работу в количестве чертежей; работу переводчика в количестве страниц; рабоїу проіраммис га в количестве строчек программного кода; консалтинг или обучение в человеко-часах.
Существуют задачи, для которых независимо от способа декомпозиции невозможно выделить явно линейные подзадачи. К таким задачам относится: согласование документа, монтаж сложной инженерной системы. Такие задачи называют неразложимыми. Для этих задач единицей измерения принимается сама задача, а единица измерения может иметь название: штука, задача, объект, система. Соот ветст венно, о бьем работы таких задач всегда равняется 1.
Для всех задач должен существовать способ измерения выполненных работ или освоенного объема (отсюда название метода).
Существуют три способа измерения освоенного объема. . При наличии объективной единицы просто измеряется количество выполненных единиц. Так, для дороги можно указать ’’построено сголько-то метров’5. . Если задача неразложима и отсутствует внутренняя смета, то применяется экспертный метод. Например, можно говорить ’’согласование выполнено на 40%”. Если подобная задача продолжается несколько периодов, можно условно принять, что освоение распределяется равномерно по периодам. . Если задача неразложима, но имеется плановая смета работ, го процент выполнения рассчитывается по смете (отсюда старое название метода - “процентовка”). Пример подсчета процента освоения показан в таблице 3. Используемая в таблице колонка “процент освоения” может и не использоваться, достаточно колонки “сумма освоения” для подсчета процента освоения по всей задаче.
Тай ища 3. Освоение сметы чаї раї
Необходимо провогцить расчет процента освоения именно но плановой смете, без учета изменений и дополнительных работ.
В методе освоенного объема применяется общее правило: промежуточные затраты нроноріщональмьі проценту освоении. Данное правило применяется и к плановым затратам, и к фактическим затратам, что является следствием линейности задачи. В частности, при подсчете процента освоения но внутренней смете это правило действует автоматически. Действие этого правила означает, что для всех задач применима единая расценка: рубль / на процент выполнения.
Составление опорного плана и выполнение прогнозных расчетов проводится по единой форме, приведенной в таблице 4. Составление опорного плана и расчет прогнозов
Замечание 1. При достаточных навыках можно не использовать в форме строчки процентною освоения. Следует быть в этом случае осторожным, чтобы не /допустить ошибок в расчетах освоения.
Таблица 4. Форма опорного плана и прогнозных расчетов
| | | Номер периоде | |
||||||||||
| Код задачи | Задача/ статус, комментарии | Освоение, затраты | ВСЕГО | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| плановое освоение | 100° о | 30° о | 40° о | 30° о | |||||||||
| Задача А. | фактическое освоение | 100° о | 0°о | 30°о | 30°о | 40° о | |||||||
| Выполняется в начале проекта | остаток к освоению | 0°о | |||||||||||
| 1 | плановые затраты | 100 | 30 | 40 | 30 | ||||||||
| нием и с экономией | фактические затраты | 60 | 18 | 18 | 24 | ||||||||
| остаток по затратам | 0 | ||||||||||||
| плановое освоение | 100° о | 30°о | 30° о | 40° о | |||||||||
| Задача Б. Выполняется после | фактическое освоение | 20° о | 5% | 15% | |||||||||
| 2 | остаток к освоению | 80° о | 30° о | 30° о | 20° о | ||||||||
| задачи А Выполнена частично | плановые затраты | 300 | 90 | 90 | 120 | ||||||||
| фактические затраты | 80 | 20 | 60 | ||||||||||
| остаток по затратам | 320 | 120 | 120 | 80 | |||||||||
| плановое освоение | 100° о | 50° о | 50° о | ||||||||||
| Задача В. | фактическое освоение | 0°о | |||||||||||
| 3 | Выполняется после задачи Б Не приступали Расценка уточнена | остаток к освоению | 100° о | 50°о | 50° о | ||||||||
| плановые затраты | 200 | 100 | 100 | ||||||||||
| фактические затраты | 0 | ||||||||||||
| остаток по затратам | 280 | 1 | 1 | 140 | 140 | ||||||||
| ИТОГО ПО ПЕРИОДАМ | |||||||||||||
| плановые затраты | 600 | 30 | 40 | 30 | 90 | 90 | 120 | 100 | 100 | ||||
| фактические затраты | 140 | 0 | 18 | 18 | 44 | 60 | |||||||
| остаток по затратам | 600 | 120 | 120 | 80 | 140 | 140 | |||||||
| НАКОПИТЕЛЬНЫМ ИТОГОМ ПО ПЕРИОДАМ |
|||||||||||||
| плановые затраты | 30 | 70 | 100 | 190 | 280 | 400 | 500 | 600 | |||||
| фактические затраты | 0 | 18 | 36 | 80 | 140 | ||||||||
| остаток по затратам | 140 | 260 | 380 | 460 | 600 | 740 | |||||||
Замечание 2. Реально форма опорного плана заполняется как -электронная таблица. Скорее всего, разместить таблицу в формате А4 не удастся. Использование формата ЛЗ будет достаточным для большинства проектов.
Приведем комментарии к ячейкам табличной формы. . Номер периода. Перечисляются все периоды, на которые разбит жизненный цикл проекта. Вместо номеров или дополнительно к ним можно писать "с 16.01 по 22.01”, . Код задачи. Кодировка задач опорного плана выполняется аналогично с кодировкой иерархической декомпозиции работ. . Задача/статус, комментарии. Указывается название задачи. Если старт задачи увязан с завершением предыдущей задачи, то номер предшествующей задачи указывается. Дополнительно указывается; отставание или опережение, изменения сметных величин, статус выполнения. . Плановое освоение. Плановое освоение всегда равняется 100%. Распределение 100% но периодам задает опорный план освоения. . Фактическое освоение. В соответствии с приведенной выше методикой измерения освоенного объема, ігроцент освоения указывается в каждом периоде. В ячейке “ВСЕГО” указывается полное фактическое освоение. . Остаток к выполнению. Дейс твует явная формула для ячеек “ВСЕГО”:
(остаток к выполнению) - 100% - (фактическое освоение).
Полученное значение следует распределить по периодам. Если выполнение идет по плану, то распределение просто повторяет" план. Если есть отставание или опережение, в частности, вызванное сдвигом предыдущей задачи, следует откорректировать освоение задачи. Кроме того, возможно, в проекте произошли какие-то изменения, которые влеку т за собой изменение распределения по периодам. . Плановые затраты. В ячейке “ВСЕГО” указывается плановая стоимость задачи в целом в /денежных единицах. Не допускается изменение этого значения. Распределение по периодам производится пропорционально плановому освоению (плановая стоимость умножается на процент освоения).
. Фактические затраты. В ячейке “ВСЕГО" указываются суммарно все фактические произведенные затраты в денежных единицах. Следует применять анализ по выполненным работам, а не по факту платежей. Даже если акт выполненных работ не подписан и находится на согласовании, следует добавить сумм}7 из акта к фактическим затратам. Фактические затраты учитывают все затраты: дополнительные затраты, исключенные работы и г.д. Распределение тю периодам производится пропорционально фактическому освоению. С помощью фактических затрат можно определить новую единичную расценку по формуле:
(рублей " на процент освоения) - (фактические затраты) /
(фактическое освоение).
При выполнении задачи по плану новая расценка будет совпадать с плановой.
Статистика использования метода освоенного объема показывает, что новая расценка будет отражать реальную тенденцию после освоения 20% от всего объема работ но задаче. Остаток по затратам. Для заполнения ячейки “ВСЕГО” допустимо использование одного из двух методов пли их комбинации: по формуле:
(остаток по затратам) - (остаток к освоению в процентах) *
(новая расценка в рублях на процент). на основании анализа сметы, например, нересмоіреньї договорные расценки.
Распределение по периодам производится пропорционально остатку7 к освоению в процентах. . Итоговые данные. Сначала производится суммирование денежных параметров внутри одного периода, а затем строится накопительный итог но периодам.
На основании накопительных итогов строятся соответствующие S-кривые.
Пример
Таблица 4 содержит поясняющие числовые данные. Анализ выполнения опорною плана произведен по состоянию на конец периода№5. На их основании построены S-кривые, рис. 3.
Рисунок 3 представляет пример мощного инструмента для анализа проекта. Достаточно недолтого взгляда на рисунки и небольшого анализа характера кривых, чтобы сделать массу выводов о состоянии ігроекта.
Замечание. Если проектная команда подготовила прогноз по методу освоенного объема, то графики S-кривых должны быть приложены к отчету о выполнении проекта.
Рисунок 3. Анализ проекта по методу освоенного объема Прогнозирование ключевых показателей
Анализ возможных будущих изменений ключевых показателей выполняется на основе прогнозирования календарного и финансового планов.
Если по результатам прогнозирования ключевые показатели не изменяются, проектная команда продолжает управление проектом в стандартном режиме. В отчете о выполнении проекта указывается, что результаты прогнозирования подтверждают выполнение плановых показателей.
Если результаты прогнозирования указывают на будущее изменение ключевых показателей, проектная команда должна действовать в соответствии с нормами системы управления проектами в компании. В отчете о выполнении проекта указываются: результаты прогнозирования, появление проблем, предложения проектной команды по устранению проблем. В соответствии с принципом динамического управления, возможно, будет необходимо подготовить новую версию Плана проекта.
Графический метод.
ГМ состоит из двух этапов.
2) Среди всех решений необходимо найти такое решение при котором Z достигает своего либо max или min.
Grad показывает наискорейшее возрастание функции. (С – коэффициент) (линии уровня)
Возможные случаи
1. задача имеет единственное решение.
2. Задача имеет – бесконечно много решений.
3. Задача не имеет решений а) нет ОДР б) в случаи когда zmax - ф-ия не ограниченной сверху линией уровня и наоборот.
Графический метод можно применять если имеется только две переменные или задача может быть приведена с помощью эквивалентных преобразований к задаче с двумя переменными.
Свойства допустимых планов.
1) Выпуклая линейная комбинация точек. х1 х2 …хk сумма вида α1х1+ α2х2+ ...+ αkxk , где αi =1 (αi>=0 αi – коэффициент линейной комбинации).
2) Выпуклым множеством называется такое множество т. Д на плоскости, когда вместе с любыми двумя точками Х1є Д; Х2 є Д принадлежащим множеству Д. Ему принадлежит и их выпуклая Л.К. х=tx1+(1-t)x2 є Д 0<=t<=1
3) Крайняя точка – т.Х выпуклого множества называется крайней если она не может быть представлена в виде выпуклой Л.К. любых двух точек этого множества (n=2)
Опорное решение – это допустимое базисное решение имеющая не более чем m положительных элементов, и причем векторы столбца матрицы соответственно положительны координатам вектора линейны независимы.
Свойства допустимых планов.
Теорема №1
Множество допустимых планов З.Л.П. выпукла если оно не пусто.
Дано: Д- не является пустым множеством – ОДР
Доказать Ж Д- выпуклое множество.
Х1 єД; Х2 єД,то оно удовлетворяет системе ограничений в З.Л.П. Z=cx->max Ax=b X>=0
Ax1=b 0<=t<=1
Ax2=b (1-t) => tAx1+(1-t)Ax2=bt+b(1-t) = A=b
x1; x2>=0 => x>=0
Ax=b X- решение задачи.
Х = tx1+(1-t)x2 0<=t<=1, согласно опр. Имеем выпуклое множество – Д, т.к. с любыми двумя точками ему принадлежит и их выпуклая Л.К.
Теорема № 2
Если целевая функция имеет максимум на выпуклом многограннике решений, то это максимум достигается в вершине многогранника..
Дано: Zmax->X 0 Док-ть X 0- вершина.
Док-во: Дан многогранник. А,В,С,Д,Е – вершины. (Док-во проведем от противного)
X 0 – не вершина, тогда согласно опр. Крайней точки, X 0 – не крайняя точка, и может быть представлена в виде выпуклой Л.К. точек хi є ОДР
C X 0 >Cxi (т.к. С X 0 ->max)
X 0 = αiXi αi=1 αi>=0
Найдем значение функции Z=C X 0 =CαiXi=αiCXi<αiCX 0 =CX 0 αi=CX 0
В каждом слагаемом сменим Xi на Х 0
СХ 0 Теорема №3 Об альтернативном оптимуме. Если целвевая функция достигает своего оптимального значения в нескольких вершинах (т)
х1 х2 хk , то она достигает оптимального значения в их выпуклой линейной комбинации.
Дано: Док-ть: х= αiXi Xi , i:=1,k αi=1 αi>=0 CX=d Найдем Z=СХ=CαiXi=αiCXi=αid=dαi=d Теорема № 4 Вектор Х является опорным решением тогда и только тогда, если он является вершиной многогранника. Если переменных n>3 то говорят гиперплоскость, положение точек в т – мерном пространстве.
ИДЕЯ СИМПЛЕКС МЕТОДА. Симплекс метод является универсальным. Симплекс метод – аналитический метод. 1. Находятся первоначальное, опорное решение. А)система ограничений должна быть записана в виде равенств (каноническая форма) Б)Преобразовать что бы bi >=0 i=1,m С)Привести систему к единичному базисному виду с неотрицательной правой частью. Поэтому за разрешающий элемент выбирается строго положительный элемент. Д)Приравниваем свободные к 0 , получаем первоначальное базисное неотрицательное решение, которое является опорным решением данной задачи и соответствует вершине. 2. Рассматривая функцию цели выясняем является ли полученное решение оптимальным. 3. Если полученное решение не является оптимальным, то необходимо перейти к следующей вершине (опорному решению) Переход осуществляется по определенному правилу по которому: только одна изи базисных переменных должна перейти в свободную и только одна из свободных перейти в базисную. Алгебра симплекс метода.
