Построение матрицы коэффициентов парной корреляции. Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции
| Y | X 1 | X 2 | X 3 | X 4 | X 5 | X 6 | |
| Y | |||||||
| X 1 | 0,519 | ||||||
| X 2 | -0,273 | 0,030 | |||||
| X 3 | 0,610 | 0,813 | -0,116 | ||||
| X 4 | -0,572 | -0,013 | -0,022 | -0,091 | |||
| X 5 | 0,297 | 0,043 | -0,461 | 0,120 | -0,359 | ||
| X 6 | 0,118 | -0,366 | -0,061 | -0,329 | -0,100 | -0,290 |
Анализ межфакторных (между «иксами»!) коэффициентов корреляции показывает, что значение 0,8 превышает по абсолютной величине только коэффициент корреляции между парой факторов Х 1 –Х 3 (выделен жирным шрифтом). Факторы Х 1 –Х 3 , таким образом, признаются коллинеарными.
2. Как было показано в пункте 1, факторы Х 1 –Х 3 являются коллинеарными, а это означает, что они фактически дублируют друг друга, и их одновременное включение в модель приведет к неправильной интерпретации соответствующих коэффициентов регрессии. Видно, что фактор Х 3 имеет больший по модулю коэффициент корреляции с результатом Y , чем фактор Х 1: r y , x 1 =0,519; r y , x 3 =0,610; (см. табл. 1 ). Это свидетельствует о более сильном влиянии фактора Х 3 на изменение Y . Фактор Х 1 , таким образом, исключается из рассмотрения.
Для построения уравнения регрессии значения используемых переменных (Y , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6) скопируем на чистый рабочий лист (прил. 3) . Уравнение регрессии строим с помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия » (меню «Сервис» ® «Анализ данных… » ® «Регрессия »). Панель регрессионного анализа с заполненными полями изображена на рис. 2 .
Результаты регрессионного анализа приведены в прил. 4 и перенесены в табл. 2 . Уравнение регрессии имеет вид (см. «Коэффициенты» втабл. 2 ):
Уравнение регрессии признается статистически значимым, так как вероятность его случайного формирования в том виде, в котором оно получено, составляет 8,80×10 -6 (см. «Значимость F» втабл. 2 ), что существенно ниже принятого уровня значимости a=0,05.
Х 3 , Х 4 , Х 6 ниже принятого уровня значимости a=0,05 (см. «P-Значение» втабл. 2 ), что свидетельствует о статистической значимости коэффициентов и существенном влиянии этих факторов на изменение годовой прибыли Y .
Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторах Х 2 и Х 5 превышает принятый уровень значимости a=0,05 (см. «P-Значение» втабл. 2 ), и эти коэффициенты не признаются статистически значимыми.
рис. 2. Панель регрессионного анализа модели Y (X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6)
Таблица 2
Y (X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6)
| Регрессионная статистика | |||||||||
| Множественный R | 0,868 | ||||||||
| R-квадрат | 0,753 | ||||||||
| Нормированный R-квадрат | 0,694 | ||||||||
| Стандартная ошибка | 242,3 | ||||||||
| Наблюдения | |||||||||
| Дисперсионный анализ | |||||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |||||
| Регрессия | 3749838,2 | 749967,6 | 12,78 | 8,80E-06 | |||||
| Остаток | 1232466,8 | 58688,9 | |||||||
| Итого | 4982305,0 | ||||||||
| Уравнение регрессии | |||||||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | ||||||
| Y-пересечение | 487,5 | 641,4 | 0,760 | 0,456 | |||||
| X2 | -0,0456 | 0,0373 | -1,224 | 0,235 | |||||
| X3 | 0,1043 | 0,0194 | 5,375 | 0,00002 | |||||
| X4 | -0,0965 | 0,0263 | -3,674 | 0,001 | |||||
| X5 | 2,528 | 6,323 | 0,400 | 0,693 | |||||
| X6 | 248,2 | 113,0 | 2,197 | 0,039 | |||||
3. По результатам проверки статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии, проведенной в предыдущем пункте, строим новую регрессионную модель, содержащую только информативные факторы, к которым относятся:
· факторы, коэффициенты при которых статистически значимы;
· факторы, у коэффициентов которых t ‑статистика превышает по модулю единицу (другими словами, абсолютная величина коэффициента больше его стандартной ошибки).
К первой группе относятся факторы Х 3 , Х 4 , Х 6 , ко второй - фактор X 2 . Фактор X 5 исключается из рассмотрения как неинформативный, и окончательно регрессионная модель будет содержать факторы X 2 , X 3 , X 4 , X 6 .
Для построения уравнения регрессии скопируем на чистый рабочий лист значения используемых переменных (прил. 5) и проведем регрессионный анализ (рис. 3 ). Его результаты приведены в прил. 6 и перенесены в табл. 3 . Уравнение регрессии имеет вид:
(см. «Коэффициенты» втабл. 3 ).
рис. 3. Панель регрессионного анализа модели Y (X 2 , X 3 , X 4 , X 6)
Таблица 3
Результаты регрессионного анализа модели Y (X 2 , X 3 , X 4 , X 6)
| Регрессионная статистика | |||||||||
| Множественный R | 0,866 | ||||||||
| R-квадрат | 0,751 | ||||||||
| Нормированный R-квадрат | 0,705 | ||||||||
| Стандартная ошибка | 237,6 | ||||||||
| Наблюдения | |||||||||
| Дисперсионный анализ | |||||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |||||
| Регрессия | 3740456,2 | 935114,1 | 16,57 | 2,14E-06 | |||||
| Остаток | 1241848,7 | 56447,7 | |||||||
| Итого | 4982305,0 | ||||||||
| Уравнение регрессии | |||||||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | ||||||
| Y-пересечение | 712,2 | 303,0 | 2,351 | 0,028 | |||||
| X2 | -0,0541 | 0,0300 | -1,806 | 0,085 | |||||
| X3 | 0,1032 | 0,0188 | 5,476 | 0,00002 | |||||
| X4 | -0,1017 | 0,0223 | -4,560 | 0,00015 | |||||
| X6 | 227,5 | 98,5 | 2,310 | 0,031 | |||||
Уравнение регрессии статистически значимо: вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «Значимость F» втабл. 3 ).
Статистически значимыми признаются и коэффициенты при факторах Х 3 , Х 4 , Х 6: вероятность их случайного формирования ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «P-Значение» втабл. 3 ). Это свидетельствует о существенном влиянии годового размера страховых сборов X 3 , годового размера страховых выплат X 4 и формы собственности X 6 на изменение годовой прибыли Y .
Коэффициент при факторе Х 2 (годовой размер страховых резервов) не является статистически значимым. Однако этот фактор все же можно считать информативным, так как t ‑статистика его коэффициента превышает по модулю единицу, хотя к дальнейшим выводам относительно фактора Х 2 следует относиться с некоторой долей осторожности.
4. Оценим качество и точность последнего уравнения регрессии, используя некоторые статистические характеристики, полученные в ходе регрессионного анализа (см. «Регрессионную статистику » в табл. 3 ):
· множественный коэффициент детерминации
показывает, что регрессионная модель объясняет 75,1 % вариации годовой прибыли Y , причем эта вариация обусловлена изменением включенных в модель регрессии факторов X 2 , X 3 , X 4 и X 6 ;
· стандартная ошибка регрессии
тыс. руб.
показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения годовой прибыли Y отличаются от фактических значений в среднем на 237,6 тыс. руб.
Средняя относительная ошибка аппроксимации определяется по приближенной формуле:
где 
тыс. руб. - среднее значение годовой прибыли (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ
»; прил. 1
).
Е
отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения годовой прибыли Y
отличаются от фактических значений в среднем на 26,7 %. Модель имеет неудовлетворительную точность (при - точность модели высокая, при 
- хорошая, при 
- удовлетворительная, при - неудовлетворительная).
5. Для экономической интерпретации коэффициентов уравнения регрессии сведем в таблицу средние значения и стандартные отклонения переменных в исходных данных (табл. 4 ) . Средние значения были определены с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ », стандартные отклонения - с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН » (см. прил. 1 ).
| y | x (1) | x (2) | x (3) | x (4) | x (5) | |
| y | 1.00 | 0.43 | 0.37 | 0.40 | 0.58 | 0.33 |
| x (1) | 0.43 | 1.00 | 0.85 | 0.98 | 0.11 | 0.34 |
| x (2) | 0.37 | 0.85 | 1.00 | 0.88 | 0.03 | 0.46 |
| x (3) | 0.40 | 0.98 | 0.88 | 1.00 | 0.03 | 0.28 |
| x (4) | 0.58 | 0.11 | 0.03 | 0.03 | 1.00 | 0.57 |
| x (5) | 0.33 | 0.34 | 0.46 | 0.28 | 0.57 | 1.00 |
Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный показатель наиболее тесно связан с показателем x (4) - количество удобрений, расходуемых на 1 га ().
В то же время связь между признаками-аргументами достаточно тесная. Так, существует практически функциональная связь между числом колесных тракторов (x
(1)) и числом орудий поверхностной обработки почвы 
.
О наличии мультиколлинеарности свидетельствуют также коэффициенты корреляции и . Учитывая тесную взаимосвязь показателей x (1) , x (2) и x (3) , в регрессионную модель урожайности может войти лишь один из них.
Чтобы продемонстрировать отрицательное влияние мультиколлинеарности, рассмотрим регрессионную модель урожайности, включив в нее все исходные показатели:
F набл = 121.
В скобках указаны значения исправленных оценок среднеквадратических отклонений оценок коэффициентов уравнения 
.
Под уравнением регрессии представлены следующие его параметры адекватности: множественный коэффициент детерминации ; исправленная оценка остаточной дисперсии , средняя относительная ошибка аппроксимации и расчетное значение -критерия F набл = 121.
Уравнение регрессии значимо, т.к. F набл = 121 > F kp = 2,85 найденного по таблице F -распределения при a=0,05; n 1 =6 и n 2 =14.
Из этого следует, что Q¹0, т.е. и хотя бы один из коэффициентов уравнения q j (j = 0, 1, 2, ..., 5) не равен нулю.
Для проверки гипотезы о значимости отдельных коэффициентов регрессии H0: q j =0, где j =1,2,3,4,5, сравнивают критическое значение t kp = 2,14, найденное по таблице t -распределения при уровне значимости a=2Q =0,05 и числе степеней свободы n=14, с расчетным значением . Из уравнения следует, что статистически значимым является коэффициент регрессии только при x (4) , так как ½t 4 ½=2,90 > t kp =2,14.
Не поддаются экономической интерпретации отрицательные знаки коэффициентов регрессии при x (1) и x (5) . Из отрицательных значений коэффициентов следует, что повышение насыщенности сельского хозяйства колесными тракторами (x (1)) и средствами оздоровления растений (x (5)) отрицательно сказывается на урожайности. Таким образом, полученное уравнение регрессии неприемлемо.
Для получения уравнения регрессии со значимыми коэффициентами используем пошаговый алгоритм регрессионного анализа. Первоначально используем пошаговый алгоритм с исключением переменных.
Исключим из модели переменную x (1) , которой соответствует минимальное по абсолютной величине значение ½t 1 ½=0,01. Для оставшихся переменных вновь построим уравнение регрессии:
Полученное уравнение значимо, т.к. F набл = 155 > F kp = 2,90, найденного при уровне значимости a=0,05 и числах степеней свободы n 1 =5 и n 2 =15 по таблице F -распределения, т.е. вектор q¹0. Однако в уравнении значим только коэффициент регрессии при x (4) . Расчетные значения ½t j ½ для остальных коэффициентов меньше t кр = 2,131, найденного по таблице t -распределения при a=2Q =0,05 и n=15.
Исключив из модели переменную x (3) , которой соответствует минимальное значение t 3 =0,35 и получим уравнение регрессии:
(2.9)
В полученном уравнении статистически не значим и экономически не интерпретируем коэффициент при x (5) . Исключив x (5) получим уравнение регрессии:
(2.10)
Мы получили значимое уравнение регрессии со значимыми и интерпретируемыми коэффициентами.
Однако полученное уравнение является не единственно “хорошей” и не “самой лучшей” моделью урожайности в нашем примере.
Покажем, что в условии мультиколлинеарности пошаговый алгоритм с включением переменных является более эффективным. На первом шаге в модель урожайности y входит переменная x (4) , имеющая самый высокий коэффициент корреляции с y , объясняемой переменной -r (y , x (4))=0,58. На втором шаге, включая уравнение наряду с x (4) переменные x (1) или x (3) , мы получим модели, которые по экономическим соображениям и статистическим характеристикам превосходят (2.10):
(2.11)
(2.12)
Включение в уравнение любой из трех оставшихся переменных ухудшает его свойства. Смотри, например, уравнение (2.9).
Таким образом, мы имеем три “хороших” модели урожайности, из которых нужно выбрать по экономическим и статистическим соображениям одну.
По статистическим критериям наиболее адекватна модель (2.11). Ей соответствуют минимальные значения остаточной дисперсии =2,26 и средней относительной ошибки аппроксимации и наибольшие значения и F набл = 273.
Несколько худшие показатели адекватности имеет модель (2.12), а затем - модель (2.10).
Будем теперь выбирать наилучшую из моделей (2.11) и (2.12). Эти модели отличаются друг от друга переменными x (1) и x (3) . Однако в моделях урожайностей переменная x (1) (число колесных тракторов на 100 га) более предпочтительна, чем переменная x (3) (число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га), которая является в некоторой степени вторичной (или производной от x (1)).
В этой связи из экономических соображений предпочтение следует отдать модели (2.12). Таким образом, после реализации алгоритма пошагового регрессионного анализа с включением переменных и учета того, что в уравнение должна войти только одна из трех связанных переменных (x (1) , x (2) или x (3)) выбираем окончательное уравнение регрессии:
Уравнение значимо при a=0,05, т.к. F набл = 266 > F kp = 3,20, найденного по таблице F -распределения при a=Q =0,05; n 1 =3 и n 2 =17. Значимы и все коэффициенты регрессии и в уравнении ½t j ½>t kp (a=2Q =0,05; n=17)=2,11. Коэффициент регрессии q 1 следует признать значимым (q 1 ¹0) из экономических соображений, при этом t 1 =2,09 лишь незначительно меньше t kp = 2,11.
Из уравнения регрессии следует, что увеличение на единицу числа тракторов на 100 га пашни (при фиксированном значении x (4)) приводит к росту урожайности зерновых в среднем на 0,345 ц/га.
Приближенный расчет коэффициентов эластичности э 1 »0,068 и э 2 »0,161 показывает, что при увеличении показателей x (1) и x (4) на 1% урожайность зерновых повышается в среднем соответственно на 0,068% и 0,161%.
Множественный коэффициент детерминации свидетельствует о том, что только 46,9% вариации урожайности объясняется вошедшими в модель показателями (x
(1) и x
(4)), то есть насыщенностью растениеводства тракторами и удобрениями. Остальная часть вариации обусловлена действием неучтенных факторов (x
(2) , x
(3) , x
(5) , погодные условия и др.). Средняя относительная ошибка аппроксимации характеризует адекватность модели, так же как и величина остаточной дисперсии . При интерпретации уравнения регрессии интерес представляют значения относительных ошибок аппроксимации 
. Напомним, что - модельное значение результативного показателя, характеризует среднее для совокупности рассматриваемых районов значение урожайности при условии, что значения объясняющих переменных x
(1) и x
(4) зафиксированы на одном и том же уровне, а именно x
(1) = x i
(1) и x
(4) = x i
(4) . Тогда по значениям d i
можно сопоставлять районы по урожайности. Районы, которым соответствуют значения d i
>0, имеют урожайность выше среднего, а d i
<0 - ниже среднего.
В нашем примере, по урожайности наиболее эффективно растениеводство ведется в районе, которому соответствует d 7 =28%, где урожайность на 28% выше средней по региону, и наименее эффективно - в районе с d 20 =-27,3%.
Задачи и упражнения
2.1. Из генеральной совокупности (y , x (1) , ..., x (p)), где y имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием и дисперсией s 2 , взята случайная выборка объемом n , и пусть (y i , x i (1) , ..., x i (p)) - результат i -го наблюдения (i =1, 2, ..., n ). Определить: а) математическое ожидание МНК-оценки вектора q ; б) ковариационную матрицу МНК-оценки вектора q ; в) математическое ожидание оценки .
2.2. По условию задачи 2.1 найти математическое ожидание суммы квадратов отклонений, обусловленных регрессией, т.е. EQ R , где
.
2.3. По условию задачи 2.1 определить математическое ожидание суммы квадратов отклонений, обусловленных остаточной вариацией относительно линий регрессии, т.е. EQ ост, где
2.4. Доказать, что при выполнении гипотезы Н 0: q=0 статистика
имеет F-распределение с числами степеней свободы n 1 =p+1 и n 2 =n-p-1.
2.5. Доказать, что при выполнении гипотезы Н 0: q j =0 статистика имеет t-распределение с числом степеней свободы n=n-p-1.
2.6. На основании данных (табл.2.3) о зависимости усушки кормового хлеба (y ) от продолжительности хранения (x ) найти точечную оценку условного математического ожидания в предположении, что генеральное уравнение регрессии - линейное.
Таблица 2.3.
Требуется: а) найти оценки и остаточной дисперсии s 2 в предположении, что генеральное уравнение регрессии имеет вид ; б) проверить при a=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу Н 0: q=0; в) с надежностью g=0,9 определить интервальные оценки параметров q 0 , q 1 ; г) с надежностью g=0,95 определить интервальную оценку условного математического ожидания при х 0 =6; д) определить при g=0,95 доверительный интервал предсказания в точке х =12.
2.7. На основании данных о динамике темпов прироста курса акций за 5 месяцев, приведенных в табл. 2.4.
Таблица 2.4.
| месяцы (x ) | |||||
| y (%) |
и предположения, что генеральное уравнение регрессии имеет вид , требуется: а) определить оценки и параметров уравнения регрессии и остаточной дисперсии s 2 ; б) проверить при a=0,01 значимость коэффициента регрессии, т.е. гипотезы H 0: q 1 =0;
в) с надежностью g=0,95 найти интервальные оценки параметров q 0 и q 1 ; г) с надежностью g=0,9 установить интервальную оценку условного математического ожидания при x 0 =4; д) определить при g=0,9 доверительный интервал предсказания в точке x =5.
2.8. Результаты исследования динамики привеса молодняка приведены в табл.2.5.
Таблица 2.5.
Предполагая, что генеральное уравнение регрессии - линейное, требуется: а) определить оценки и параметров уравнения регрессии и остаточной дисперсии s 2 ; б) проверить при a=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезы H 0: q=0;
в) с надежностью g=0,8 найти интервальные оценки параметров q 0 и q 1 ; г) с надежностью g=0,98 определить и сравнить интервальные оценки условного математического ожидания при x 0 =3 и x 1 =6;
д) определить при g=0,98 доверительный интервал предсказания в точке x =8.
2.9. Себестоимость (y ) одного экземпляра книги в зависимости от тиража (x ) (тыс.экз.) характеризуется данными, собранными издательством (табл.2.6). Определить МНК-оценки и параметров уравнения регрессии гиперболического вида , с надежностью g=0,9 построить доверительные интервалы для параметров q 0 и q 1 , а также условного математического ожидания при x =10.
Таблица 2.6.
Определить оценки и параметров уравнения регрессии вида , проверить при a=0,05 гипотезу Н 0: q 1 =0 и построить с надежностью g=0,9 доверительные интервалы для параметров q 0 и q 1 и условного математического ожидания при x =20.
2.11. В табл. 2.8 представленные данные о темпах прироста (%) следующих макроэкономических показателей n =10 развитых стран мира за 1992г.: ВНП - x (1) , промышленного производства - x (2) , индекса цен - x (3) .
Таблица 2.8.
| Страны | x
и параметров уравнения регрессии, оценку остаточной дисперсии; б) проверить при a=0,05 значимость коэффициента регрессии, т.е. Н 0: q 1 =0; в) с надежностью g=0,9 найти интервальные оценки q 0 и q 1 ; г) найти при g=0,95 доверительный интервал для в точке х
0 =х i
, где i
=5; д) сравнить статистические характеристики уравнений регрессий: 1, 2 и 3.
2.12. Задачу 2.11 решить, приняв за объясняемую величину (у ) показатель x (1) , а за объясняющую (х ) переменную x (3) . 1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник. М., ЮНИТИ, 1998 (2-е издание 2001); 2. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях: Учебник. М. ЮНИТИ – ДАНА, 2001; 3. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М., Финансы и статистика, 1985, 487с.; 4. Айвазян С.А., Бухштабер В. М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерностей. М., Финансы и статисика, 1989, 607с.; 5. Джонстон Дж. Эконометрические методы, М.: Статистика, 1980, 446с.; 6. Дубров А.В., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М., Финансы и статистика, 2000; 7. Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Исследование зависимостей методами корреляции и регрессии. М., МЭСИ, 1995, 120с.; 8. Мхитарян В.С., Дубров А.М., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы в экономике. М., МЭСИ, 1995, 149с.; 9. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Математическая статистика для бизнесменов и менеджеров. М., МЭСИ, 2000, 140с.; 10. Лукашин Ю.И. Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования: Учебное пособие, М., МЭСИ, 1997. 11. Лукашин Ю.И. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. ‑ М., Статистика, 1979. ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 . Варианты заданий для самостоятельных компьютерных исследований. |
Матрица парных коэффициентов корреляции
| Y | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | |
| Y | ||||||
| X1 | 0,732705 | |||||
| X2 | 0,785156 | 0,706287 | ||||
| X3 | 0,179211 | -0,29849 | 0,208514 | |||
| X4 | 0,667343 | 0,924333 | 0,70069 | 0,299583 | ||
| X5 | 0,709204 | 0,940488 | 0,691809 | 0,326602 | 0,992945 |
В узлах матрицы находятся парные коэффициенты корреляции, характеризующие тесноту взаимосвязи между факторными признаками. Анализируя эти коэффициенты, отметим, что чем больше их абсолютная величина, тем большее влияние оказывает соответствующий факторный признак на результативный. Анализ полученной матрицы осуществляется в два этапа:
1. Если в первом столбце матрицы есть коэффициенты корреляции, для которых /r / < 0,5, то соответствующие признаки из модели исключаются. В данном случае в первом столбце матрицы коэффициентов корреляции исключается фактор или коэффициент роста уровня инфляции. Данный фактор оказывает меньшее влияние на результативный признак, нежели оставшиеся четыре признака.
2. Анализируя парные коэффициенты корреляции факторных признаков друг с другом, (r XiXj), характеризующие тесноту их взаимосвязи, необходимо оценить их независимость друг от друга, поскольку это необходимое условие для дальнейшего проведения регрессионного анализа. В виду того, что в экономике абсолютно независимых признаков нет, необходимо выделить, по возможности, максимально независимые. Факторные признаки, находящиеся в тесной корреляционной зависимости друг с другом, называются мультиколлинеарными. Включение в модель мультиколлинеарных признаков делает невозможным экономическую интерпретацию регрессионной модели, так как изменение одного фактора влечет за собой изменение факторов с ним связанных, что может привести к «поломке» модели в целом.
Критерий мультиколлениарности факторов выглядит следующим образом:
/r XiXj / > 0,8
В полученной матрице парных коэффициентов корреляции этому критерию отвечают два показателя, находящиеся на пересечении строк 
и . Из каждой пары этих признаков в модели необходимо оставить один, он должен оказывать большее влияние на результативный признак. В итоге из модели исключаются факторы и , т.е. коэффициент роста себестоимости реализованной продукции и коэффициент роста объёма её реализации.
Итак, в регрессионную модель вводим факторы Х1 и Х2.
Далее осуществляется регрессионный анализ (сервис, анализ данных, регрессия). Вновь составляет таблица исходных данных с факторами Х1 и Х2. Регрессия в целом используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений независимых переменных (факторов) и позволяет корреляционную связь между признаками представить в виде некоторой функциональной зависимости называемой уравнением регрессии или корреляционно-регрессионной моделью.
В результате регрессионного анализа получаем результаты расчета многомерной регрессии. Проанализируем полученные результаты.
Все коэффициенты регрессии значимы по критерию Стьюдента. Коэффициент множественной корреляции R составил 0,925, квадрат этой величины (коэффициент детерминации) означает, что вариация результативного признака в среднем на 85,5% объясняется за счет вариации факторных признаков, включенных в модель. Коэффициент детерминированности характеризует тесноту взаимосвязи между совокупностью факторных признаков и результативным показателем. Чем ближе значение R-квадрат к 1, тем теснее взаимосвязь. В нашем случае показатель, равный 0,855, указывает на правильный подбор факторов и на наличие взаимосвязи факторов с результативным показателем.
Рассматриваемая модель адекватна, поскольку расчетное значение F-критерия Фишера существенно превышает его табличное значение (F набл =52,401; F табл =1,53).
В качестве общего результата проведенного корреляционно-регрессионного анализа выступает множественное уравнение регрессии, которое имеет вид:
Полученное уравнение регрессии отвечает цели корреляционно-регрессионного анализа и является линейной моделью зависимости балансовой прибыли предприятия от двух факторов: коэффициента роста производительности труда и коэффициента имущества производственного назначения.
На основании полученной модели можно сделать вывод о том, что при увеличении уровня производительности труда на 1% к уровню предыдущего периода величина балансовой прибыли возрастет на 0,95 п.п.; увеличение же коэффициента имущества производственного назначения на 1% приведет к росту результативного показателя на 27,9 п.п. Слелдовательно, доминирующее влияние на рост балансовой прибыли оказывает увеличение стоимости имущества производственного назначения (обновление и рост основных средств предприятия).
По множественной регрессионной модели выполняется многофакторный прогноз результативного признака. Пусть известно, что Х1 = 3,0, а Х3 = 0,7. Подставим значения факторных признаков в модель, получим Упр = 0,95*3,0 + 27,9*0,7 – 19,4 = 2,98. Таким образом, при увеличении производительности труда и модернизации основных средств на предприятии балансовая прибыль в 1 квартале 2005 г. по отношению к предыдущему периоду (IV квартал 2004 г.) возрастет на 2,98%.
1. ПОСТРОИМ МАТРИЦУ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ.
Для этого рассчитаем коэффициенты парной корреляции по формуле:
Необходимые расчеты представлены в таблице 9.
-
связь между выручкой предприятия Y и объемом капиталовложений Х 1 слабая и прямая;
-
связи между выручкой предприятия Y и основными производственными фондами Х 2 практически нет;
-
связь между объемом капиталовложений Х 1 и основными производственными фондами Х 2 тесная и прямая;
Таблица 9
Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов парных корреляций
| t | Y | X1 | X2 | (y-yср)* | (y-yср)* | (х1-х1ср)* |
|||
| 1998 | 3,0 | 1,1 | 0,4 | 0,0196 | 0,0484 | 0,0841 | 0,0308 | 0,0406 | 0,0638 |
| 1999 | 2,9 | 1,1 | 0,4 | 0,0576 | 0,0484 | 0,0841 | 0,0528 | 0,0696 | 0,0638 |
| 2000 | 3,0 | 1,2 | 0,7 | 0,0196 | 0,0144 | 1E-04 | 0,0168 | -0,0014 | -0,0012 |
| 2001 | 3,1 | 1,4 | 0,9 | 0,0016 | 0,0064 | 0,0441 | -0,0032 | -0,0084 | 0,0168 |
| 2002 | 3,2 | 1,4 | 0,9 | 0,0036 | 0,0064 | 0,0441 | 0,0048 | 0,0126 | 0,0168 |
| 2003 | 2,8 | 1,4 | 0,8 | 0,1156 | 0,0064 | 0,0121 | -0,0272 | -0,0374 | 0,0088 |
| 2004 | 2,9 | 1,3 | 0,8 | 0,0576 | 0,0004 | 0,0121 | 0,0048 | -0,0264 | -0,0022 |
| 2005 | 3,4 | 1,6 | 1,1 | 0,0676 | 0,0784 | 0,1681 | 0,0728 | 0,1066 | 0,1148 |
| 2006 | 3,5 | 1,3 | 0,4 | 0,1296 | 0,0004 | 0,0841 | -0,0072 | -0,1044 | 0,0058 |
| 2007 | 3,6 | 1,4 | 0,5 | 0,2116 | 0,0064 | 0,0361 | 0,0368 | -0,0874 | -0,0152 |
| Σ | 31,4 | 13,2 | 6,9 | 0,684 | 0,216 | 0,569 | 0,182 | -0,036 | 0,272 |
| Средн. | 3,14 | 1,32 | 0,69 |
Также матрицу коэффициентов парных корреляций можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗ ДАННЫХ, инструмента КОРРЕЛЯЦИЯ.
Матрица коэффициентов парной корреляции имеет вид:
| Y | X1 | X2 | |
| Y | 1 | ||
| X1 | 0,4735 | 1 | |
| X2 | -0,0577 | 0,7759 | 1 |
Матрица парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный признак у (выручка) имеет слабую связь с объемом капиталовложений х 1 , а с Размером ОПФ связи практически нет. Связь между факторами в модели оценивается как тесная, что говорит о их линейной зависимости, мультиколлинеарности.
2. ПОСТРОИТЬ ЛИНЕЙНУЮ МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ 
Параметры модели найдем с помощью МНК. Для этого составим систему нормальных уравнений.
Расчеты представлены в таблице 10.
Решим систему уравнений, используя метод Крамера:
Таблица 10
Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели множественной регрессии
| y | |||||||
| 3,0 | 1,1 | 0,4 | 1,21 | 0,44 | 0,16 | 3,3 | 1,2 |
| 2,9 | 1,1 | 0,4 | 1,21 | 0,44 | 0,16 | 3,19 | 1,16 |
| 3,0 | 1,2 | 0,7 | 1,44 | 0,84 | 0,49 | 3,6 | 2,1 |
| 3,1 | 1,4 | 0,9 | 1,96 | 1,26 | 0,81 | 4,34 | 2,79 |
| 3,2 | 1,4 | 0,9 | 1,96 | 1,26 | 0,81 | 4,48 | 2,88 |
| 2,8 | 1,4 | 0,8 | 1,96 | 1,12 | 0,64 | 3,92 | 2,24 |
| 2,9 | 1,3 | 0,8 | 1,69 | 1,04 | 0,64 | 3,77 | 2,32 |
| 3,4 | 1,6 | 1,1 | 2,56 | 1,76 | 1,21 | 5,44 | 3,74 |
| 3,5 | 1,3 | 0,4 | 1,69 | 0,52 | 0,16 | 4,55 | 1,4 |
| 3,6 | 1,4 | 0,5 | 1,96 | 0,7 | 0,25 | 5,04 | 1,8 |
| 31,4 | 13,2 | 6,9 | 17,64 | 9,38 | 5,33 | 41,63 | 21,63 |
Линейная модель множественной регрессии имеет вид:
Если объем капиталовложений увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия увеличиться в среднем на 2,317 млн. руб. при неизменных размерах основных производственных фондов.
Если основные производственные фонды увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия уменьшиться в среднем на 1,171 млн. руб. при неизменном объеме капиталовложений.
3. РАССЧИТАЕМ:
коэффициент детерминации:
67,82% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 32,18% - влиянием факторов, не включенных в модель.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f. 1 = k = 2 (количество факторов), числе степеней свободы d.f. 2 = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.
Так как F расч. = 7,375 > F табл. = 4.74, то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.
Рассчитанные показатели можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗА ДАННЫХ, инструмента РЕГРЕССИЯ.
Таблица 11
Вспомогательные вычисления для нахождения средней относительной ошибки аппроксимации
| y | А | ||||
| 3,0 | 1,1 | 0,4 | 2,97 | 0,03 | 0,010 |
| 2,9 | 1,1 | 0,4 | 2,97 | -0,07 | 0,024 |
| 3,0 | 1,2 | 0,7 | 2,85 | 0,15 | 0,050 |
| 3,1 | 1,4 | 0,9 | 3,08 | 0,02 | 0,007 |
| 3,2 | 1,4 | 0,9 | 3,08 | 0,12 | 0,038 |
| 2,8 | 1,4 | 0,8 | 3,20 | -0,40 | 0,142 |
| 2,9 | 1,3 | 0,8 | 2,96 | -0,06 | 0,022 |
| 3,4 | 1,6 | 1,1 | 3,31 | 0,09 | 0,027 |
| 3,5 | 1,3 | 0,4 | 3,43 | 0,07 | 0,019 |
| 3,6 | 1,4 | 0,5 | 3,55 | 0,05 | 0,014 |
| 0,353 |
среднюю относительную ошибку аппроксимации
В среднем расчетные значения отличаются от фактических на 3,53 %. Ошибка небольшая, модель можно считать точной.
4. Построить степенную модель множественной регрессии 
Для построения данной модели прологарифмируем обе части равенства
lg y = lg a + β 1 ∙ lg x 1 + β 2 ∙ lg x 2 .
Сделаем замену Y = lg y, A = lg a, X 1 = lg x 1 , X 2 = lg x 2 .
Тогда Y = A + β 1 ∙ X 1 + β 2 ∙ X 2 – линейная двухфакторная модель регрессии. Можно применить МНК.
Расчеты представлены в таблице 12.
Таблица 12
Вспомогательные вычисления для нахождения параметров степенной модели множественной регрессии
| y | lg y | |||||||||
| 3,0 | 1,1 | 0,4 | 0,041 | -0,398 | 0,477 | 0,002 | -0,016 | 0,020 | 0,158 | -0,190 |
| 2,9 | 1,1 | 0,4 | 0,041 | -0,398 | 0,462 | 0,002 | -0,016 | 0,019 | 0,158 | -0,184 |
| 3,0 | 1,2 | 0,7 | 0,079 | -0,155 | 0,477 | 0,006 | -0,012 | 0,038 | 0,024 | -0,074 |
| 3,1 | 1,4 | 0,9 | 0,146 | -0,046 | 0,491 | 0,021 | -0,007 | 0,072 | 0,002 | -0,022 |
| 3,2 | 1,4 | 0,9 | 0,146 | -0,046 | 0,505 | 0,021 | -0,007 | 0,074 | 0,002 | -0,023 |
| 2,8 | 1,4 | 0,8 | 0,146 | -0,097 | 0,447 | 0,021 | -0,014 | 0,065 | 0,009 | -0,043 |
| 2,9 | 1,3 | 0,8 | 0,114 | -0,097 | 0,462 | 0,013 | -0,011 | 0,053 | 0,009 | -0,045 |
| 3,4 | 1,6 | 1,1 | 0,204 | 0,041 | 0,531 | 0,042 | 0,008 | 0,108 | 0,002 | 0,022 |
| 3,5 | 1,3 | 0,4 | 0,114 | -0,398 | 0,544 | 0,013 | -0,045 | 0,062 | 0,158 | -0,217 |
| 3,6 | 1,4 | 0,5 | 0,146 | -0,301 | 0,556 | 0,021 | -0,044 | 0,081 | 0,091 | -0,167 |
| 31,4 | 13,2 | 6,9 | 1,178 | -1,894 | 4,955 | 0,163 | -0,165 | 0,592 | 0,614 | -0,943 |
Решаем систему уравнений применяя метод Крамера.
Степенная модель множественной регрессии имеет вид:
В степенной функции коэффициенты при факторах являются коэффициентами эластичности. Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов измениться в среднем значение результативного признака у, если один из факторов увеличить на 1 % при неизменном значении других факторов.
Если объем капиталовложений увеличить на 1%, то выручка предприятия увеличиться в среднем на 0,897% при неизменных размерах основных производственных фондов.
Если основные производственные фонды увеличить на 1%, то выручка предприятия уменьшиться на 0,226% при неизменных капиталовложениях.
5. РАССЧИТАЕМ:
коэффициент множественной корреляции:
Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная.
Таблица 13
Вспомогательные вычисления для нахождения коэффициента множественной корреляции, коэффициента детерминации, ср.относ.ошибки аппроксимации степенной модели множественной регрессии
| Y | (Y-Y расч.) 2 | A | ||||
| 3,0 | 1,1 | 0,4 | 2,978 | 0,000 | 0,020 | 0,007 |
| 2,9 | 1,1 | 0,4 | 2,978 | 0,006 | 0,058 | 0,027 |
| 3,0 | 1,2 | 0,7 | 2,838 | 0,026 | 0,020 | 0,054 |
| 3,1 | 1,4 | 0,9 | 3,079 | 0,000 | 0,002 | 0,007 |
| 3,2 | 1,4 | 0,9 | 3,079 | 0,015 | 0,004 | 0,038 |
| 2,8 | 1,4 | 0,8 | 3,162 | 0,131 | 0,116 | 0,129 |
| 2,9 | 1,3 | 0,8 | 2,959 | 0,003 | 0,058 | 0,020 |
| 3,4 | 1,6 | 1,1 | 3,317 | 0,007 | 0,068 | 0,024 |
| 3,5 | 1,3 | 0,4 | 3,460 | 0,002 | 0,130 | 0,012 |
| 3,6 | 1,4 | 0,5 | 3,516 | 0,007 | 0,212 | 0,023 |
| 31,4 | 13,2 | 6,9 | 0,198 | 0,684 | 0,342 |
коэффициент детерминации:
71,06% изменения выручки предприятия в степенной модели обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 28,94 % - влиянием факторов, не включенных в модель.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f. 1 = k = 2, числе степеней свободы d.f. 2 = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.
Так как F расч. = 8,592 > F табл. = 4.74, то уравнение степенной регрессии в целом можно считать статистически значимым.
Посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше. Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t1 управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t1, управление равно своему максимальному значению u*=umax, что соответствует минимальному расходу топлива. 6.) Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда и управление...
К составлению математических моделей. Если математическая модель - это диагноз заболевания, то алгоритм - это метод лечения. Можно выделить следующие основные этапы операционного исследования: наблюдение явления и сбор исходных данных; постановка задачи; построение математической модели; расчет модели; тестирование модели и анализ выходных данных. Если полученные результаты не удовлетворяют...
Математических построений по аналогии с выявляет в плоском приближении продольно-скалярную электромагнитную волну с электрической - (28) и магнитной (29) синфазными составляющими. Математическая модель безвихревой электродинамики характеризуется скалярно-векторной структурой своих уравнений. Основополагающие уравнения безвихревой электродинамики сведены в таблице 1. Таблица 1 , ...
Коэффициент корреляции отражает степень взаимосвязи между двумя показателями. Всегда принимает значение от -1 до 1. Если коэффициент расположился около 0, то говорят об отсутствии связи между переменными.
Если значение близко к единице (от 0,9, например), то между наблюдаемыми объектами существует сильная прямая взаимосвязь. Если коэффициент близок к другой крайней точке диапазона (-1), то между переменными имеется сильная обратная взаимосвязь. Когда значение находится где-то посередине от 0 до 1 или от 0 до -1, то речь идет о слабой связи (прямой или обратной). Такую взаимосвязь обычно не учитывают: считается, что ее нет.
Расчет коэффициента корреляции в Excel
Рассмотрим на примере способы расчета коэффициента корреляции, особенности прямой и обратной взаимосвязи между переменными.
Значения показателей x и y:
Y – независимая переменная, x – зависимая. Необходимо найти силу (сильная / слабая) и направление (прямая / обратная) связи между ними. Формула коэффициента корреляции выглядит так:
Чтобы упростить ее понимание, разобьем на несколько несложных элементов.
Между переменными определяется сильная прямая связь.
Встроенная функция КОРРЕЛ позволяет избежать сложных расчетов. Рассчитаем коэффициент парной корреляции в Excel с ее помощью. Вызываем мастер функций. Находим нужную. Аргументы функции – массив значений y и массив значений х:
Покажем значения переменных на графике:
Видна сильная связь между y и х, т.к. линии идут практически параллельно друг другу. Взаимосвязь прямая: растет y – растет х, уменьшается y – уменьшается х.
Матрица парных коэффициентов корреляции в Excel
Корреляционная матрица представляет собой таблицу, на пересечении строк и столбцов которой находятся коэффициенты корреляции между соответствующими значениями. Имеет смысл ее строить для нескольких переменных.
Матрица коэффициентов корреляции в Excel строится с помощью инструмента «Корреляция» из пакета «Анализ данных».
Между значениями y и х1 обнаружена сильная прямая взаимосвязь. Между х1 и х2 имеется сильная обратная связь. Связь со значениями в столбце х3 практически отсутствует.
