Определение множественного коэффициента корреляции в MS Excel.

Первоначально в модель у включают все главные компоненты (в скобках указаны расчетные значения t -критерия):

Качество модели характеризуют: множественный коэффициент детерминации r = 0,517, средняя относительная ошибка аппроксимации = 10,4%, остаточная дисперсия s 2 = 1,79 и F набл = 121. Ввиду того что F набл > F кр =2,85 при α = 0,05, v 1 = 6, v 2 = 14, уравнение регрессии значимо и хотя бы один из коэффициентов регрессии - β 1 , β 2 , β 3 , β 4 - не равен нулю.

Если значимость уравнения регрессии (гипотеза Н 0: β 1 = β 2 = β 3 = β 4 = 0проверялась при α = 0,05, то значимость коэффициентов регрессии, т.е. гипотезы H 0: β j = 0 (j = 1, 2, 3, 4), следует проверять при уровне значимости, большем, чем 0,05, например при α = 0,1. Тогда при α = 0,1, v = 14 величина t кр = 1,76, и значимыми, как следует из уравнения (53.41), являются коэффициенты регрессии β 1 , β 2 , β 3 .

Учитывая, что главные компоненты не коррелированы между собой, можно сразу исключить из уравнения все незначимые коэффициенты, и уравнение примет вид

(53.42)

Сравнив уравнения (53.41) и (53.42), видим, что исключение незначимых главных компонент f 4 и f 5 , не отразилось на значениях коэффициентов уравнения b 0 = 9,52, b 1 = 0,93, b 2 = 0,66 и соответствующих t j (j = 0, 1, 2, 3).

Это обусловлено некоррелированностью главных компонент. Здесь интересна параллель уравнений регрессии по исходным показателям (53.22), (53.23) и главным компонентам (53.41), (53.42).

Уравнение (53.42) значимо, поскольку F набл = 194 > F кр = 3,01, найденного при α = 0,05, v 1 = 4, v 2 = 16. Значимы и коэффициенты уравнения, так как t j > t кр . = 1,746, соответствующего α = 0,01, v = 16 для j = 0, 1, 2, 3. Коэффициент детерминации r = 0,486 свидетельствует о том, что 48,6% вариации у обусловлено влияниемтрех первых главных компонент.

Уравнение (53.42) характеризуется средней относительной ошибкой аппроксимации = 9,99% и остаточной дисперсией s 2 = 1,91.

Уравнение регрессии на главных компонентах (53.42) обладает несколько лучшими аппроксимирующими свойствами по сравнению с регрессионной моделью (53.23) по исходным показателям: r = 0,486 > r = 0,469; = 9,99% < (х ) = 10,5% и s 2 (f) = 1,91 < s 2 (x) = 1,97. Кроме того, в уравнении (53.42) главные компоненты являются линейными функциями всех исходных показателей, в то время как в уравнение (53.23) входят только две переменные (x 1 и х 4 ). В ряде случаев приходится учитывать, что модель (53.42) трудноинтерпретируема, так как в нее входит третья главная компонента f 3 , которая нами не интерпретирована и вклад которой в суммарную дисперсию исходных показателей (x 1 , ..., х 5) составляет всего 8,6%. Однако исключение f 3 из уравнения (53.42) значительно ухудшает аппроксимирующие свойства модели: r = 0,349; = 12,4% и s 2 (f ) = 2,41. Тогда в качестве регрессионной модели урожайности целесообразно выбрать уравнение (53.23).

Кластерный анализ

В статистических исследованиях группировка первичных данных является основным приемом решения задачи классификации, а поэтому и основой всей дальнейшей работы с собранной информацией.

Традиционно эта задача решается следующим образом. Из множества признаков, описывающих объект, отбирается один, наиболее информативный, с точки зрения исследователя, и производится группировка данных в соответствии со значениями этого признака. Если требуется провести классификацию по нескольким признакам, ранжированным между собой по степени важности, то сначала осуществляется классификация по первому признаку, затем каждый из полученных классов разбивается на подклассы по второму признаку и т.д. Подобным образом строится большинство комбинационных статистических группировок.

В тех случаях, когда не представляется возможным упорядочить классификационные признаки, применяется наиболее простой метод многомерной группировки - создание интегрального показателя (индекса), функционально зависящего от исходных признаков, с последующей классификацией по этому показателю.

Развитием этого подхода является вариант классификации по нескольким обобщающим показателям (главным компонентам), полученным с помощью методов факторного или компонентного анализа.

При наличии нескольких признаков (исходных или обобщенных) задача классификации может быть решена методами кластерного анализа, которые отличаются от других методов многомерной классификации отсутствием обучающих выборок, т.е. априорной информации о распределении генеральной совокупности.

Различия между схемами решения задачи по классификации во многом определяются тем, что понимают под понятиями «сходство» и «степень сходства».

После того как сформулирована цель работы, естественно попытаться определить критерии качества, целевую функцию, значения которой позволят сопоставить различные схемы классификации.

В экономических исследованиях целевая функция, как правило, должна минимизировать некоторый параметр, определенный на множестве объектов (например, целью классификации оборудования может явиться группировка, минимизирующая совокупность затрат времени и средств на ремонтные работы).

В случаях когда формализовать цель задачи не удается, критерием качества классификации может служить возможность содержательной интерпретации найденных групп.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть исследуется совокупность п объектов, каждый из которых характеризуется k измеренными признаками. Требуется разбить эту совокупность на однородные в некотором смысле группы (классы). При этом практически отсутствует априорная информация о характере распределения k -мерного вектора Х внутри классов.

Полученные в результате разбиения группы обычно называются кластерами* (таксонами**, образами), методы их нахождения - кластер-анализом (соответственно численной таксономией или распознаванием образов с самообучением).

* Clаster (англ.) - группа элементов, характеризуемых каким-либо общимсвойством.

**Тахоп (англ.) - систематизированная группа любой категории.

Необходимо с самого начала четко представлять, какая из двух задач классификации подлежит решению. Если решается обычная задача типизации, то совокупность наблюдений разбивают на сравнительно небольшое число областей группирования (например, интервальный вариационный ряд в случае одномерных наблюдений) так, чтобы элементы одной такой области находились друг от друга по возможности на небольшом расстоянии.

Решение другой задачи заключается в определении естественного расслоения результатов наблюдений на четко выраженные кластеры, лежащие друг от друга на некотором расстоянии.

Если первая задача типизации всегда имеет решение, то во втором случае может оказаться, что множество наблюдений не обнаруживает естественного расслоения на кластеры, т.е. образует один кластер.

Хотя многие методы кластерного анализа довольно элементарны, основная часть работ, в которых они были предложены, относится к последнему десятилетию. Это объясняется тем, что эффективное решение задач поиска кластеров, требующее выполнения большого числа арифметических и логических операций, стало возможным только с возникновением и развитием вычислительной техники.

Обычной формой представления исходных данных в задачах кластерного анализа служит матрица

каждая строка которой представляет результаты измерений k рассматриваемых признаков у одного из обследованных объектов. В конкретных ситуациях может представлять интерес как группировка объектов, так и группировка признаков. В тех случаях, когда разница между двумя этими задачами не существенна, например при описании некоторых алгоритмов, мы будем пользоваться только термином «объект», включая в это понятие и термин «признак».

Матрица Х не является единственным способом представления данных в задачах кластерного анализа. Иногда исходная информация задана в виде квадратной матрицы

элемент r ij которой определяет степень близости i -го объекта к j -му.

Большинство алгоритмов кластерного анализа полностью исходит из матрицы расстояний (или близостей) либо требует вычисления отдельных ее элементов, поэтому если данные представлены в форме X, то первым этапом решения задачи поиска кластеров будет выбор способа вычисления расстояний, или близости, между объектами или признаками.

Несколько проще решается вопрос об определении близости между признаками. Как правило, кластерный анализ признаков преследует те же цели, что и факторный анализ: выделение групп связанных между собой признаков, отражающих определенную сторону изучаемых объектов. Мерой близости в этом случае служат различные статистические коэффициенты связи.

Похожая информация.

Контрольная работа №2

Вариант№5

Задание1. Используя компьютерные технологии, провести корреляционно-регрессионный анализ исследуемых экономических показателей и построить регрессионную модель………………………..…..3

1.1 Построение корреляционного поля ………………………………………4

1.2 Построение матрицы коэффициентов парной корреляции……………6

1.3 Построение и анализ однофакторных регрессионных моделей линейного и экспонентного вида средствами встроенных функций ТП MS Excel…………………………………………………………………………...6

1.4 Построение линейной однофакторной регрессионной модели……….10

1.5 Выводы………………………………………………………………………15

Задание 2. Используя компьютерные технологии, решить задачи линейного программирования……………………………………………….18

а) Задача оптимального планирования производства……………….19

1. Математическую постановку задачи……………………………………..19

2. Размещение на рабочем листе ТП MS Excel исходных данных, расчёт значений ограничений, расчёт значений целевой функции……………...19

3. Формулировка математической модели задачи в терминах ячеек рабочего листа ТП MS Excel…………………………………………………..20

4. Поиск оптимального решения поставленной задачи средствами надстройки «Поиск решения»………………………………………………..20

5. Анализ результатов………………………………………………………….21

б) Задача оптимизации плана перевозок (транспортная задача)…23

1. Математическую постановку задачи……………………………………..23

2. Размещение данных на рабочем листе ТП MS Excel …………………...24

3. Постановка задачи в терминах рабочего листа Excel для использования утилиты «Поиск решения»….…………………………25

4. Анализ результатов………………………………………………………….26

Список использованной литературы………………………………………..28

Задание 1. Используя компьютерные технологии, провести корреляционно-регрессионный анализ исследуемых экономических показателей и построить регрессионную модель.

В качестве инструментария исследования использовать:

Инструменты надстройки Пакет Анализа ТП MS Excel;

Встроенные функции библиотеки Stats (Statistics) CKM Maple.

Условия задания 1:

По выборочным данным исследовать влияние факторов X1, X2 и Х3 на результативный признак Y.

Построить корреляционное поле и сделать предположение о наличии и типе связи между исследуемыми факторами;

Оценив тесноту связи между исследуемыми факторами, построить многофакторную (однофакторную) линейную регрессионную модель вида Y=f(X1,X2 Х3)или вида Y=f(X).

Оценить:

Адекватность уравнения регрессии по значению коэффициента детерминированности R 2 ;

Значимость коэффициентов уравнения регрессии по t- критерию Стьюдента при заданном уровне доверительной вероятности р=0,05;

Степень случайности связи между каждым факторам Х и признаком Y (критерий Фишера);

Зависимость между показателями Х 1 , Х 2 , Х 3 основных фондов и объемом валовой продукции У предприятия одной из отраслей промышленности характеризуется следующими данными:

Вариант 5

X 1	1.5	2.6	3.5	4.8	5.9	6.3	7.2	8.9	9.5	11.1	15.0
X 2	10.2	15.3	18.4	20.5	24.7	25.6	27.3	28.3	29.6	30.1	31.0
X 3	1.1	2.3	3.5	4.1	5.7	6.6	7.3	8.5	9.8	10.1	12.0
Y

Решение задания 1.

Решение задания 1 предполагает.

1. Построение корреляционного поля.

2. Построение матрицы коэффициентов парной корреляции.

3. Построение и анализ однофакторных регрессионных моделей линейного и экспонентного вида средствами встроенных функций ТП MS Excel.

4. Построение линейных однофакторных регрессионных моделей средствами надстройки «Пакет анализа».

5. Выводы.

Построение корреляционного поля.

Разместим таблицу с исходными данными в ячейках A3:D15 рабочего листа Excel.

Приложение1.1
Y	X1	X2	X3
	1,5	10,2	1,1
	2,6	15,3	2,3
	3,5	18,4	3,5
	4,8	20,5	4,1
	5,9	24,7	5,7
	6,3	25,6	6,6
	7,2	27,3	7,3
	8,9	28,3	8,5
	9,5	29,6	9,8
	11,1	30,1	10,1
?

Используя возможности мастера диаграмм ТП MS Excel, построим корреляционное поле, то есть представим графически связь между результирующим признаком Y и каждым из факторов X. Из графиков видно, что между результирующим признаком Y и каждым из факторов X существует прямо пропорциональная зависимость, приближающаяся к линейной.

.

.

Исследуем тесноту и характер связи между факторами.

Построение матрицы коэффициентов парной корреляции.

Используя надстройку «Пакет анализа» ТП MS Excel (Сервис – Анализ данных – Корреляция), построим матрицу коэффициентов парной корреляции. Окно инструмента «Корреляция» представлено на рисунке 1. Матрица коэффициентов парной корреляции представлена на рисунке 2.

Рис.1. –Окно «Корреляция»

Рис.2. – Матрица коэффициентов парной корреляции.

Из этой матрицы видно, что все рассматриваемые факторы X1 – X3 имеют тесную связь с результативным признаком Y. Кроме того, все факторы Х между собой мультиколлинеарны. Поэтому построение многофакторной модели вида Y=f(Х1,Х2,Х3) невозможно.

Коэффициент корреляции отражает степень взаимосвязи между двумя показателями. Всегда принимает значение от -1 до 1. Если коэффициент расположился около 0, то говорят об отсутствии связи между переменными.

Если значение близко к единице (от 0,9, например), то между наблюдаемыми объектами существует сильная прямая взаимосвязь. Если коэффициент близок к другой крайней точке диапазона (-1), то между переменными имеется сильная обратная взаимосвязь. Когда значение находится где-то посередине от 0 до 1 или от 0 до -1, то речь идет о слабой связи (прямой или обратной). Такую взаимосвязь обычно не учитывают: считается, что ее нет.

Расчет коэффициента корреляции в Excel

Рассмотрим на примере способы расчета коэффициента корреляции, особенности прямой и обратной взаимосвязи между переменными.

Значения показателей x и y:

Y – независимая переменная, x – зависимая. Необходимо найти силу (сильная / слабая) и направление (прямая / обратная) связи между ними. Формула коэффициента корреляции выглядит так:

Чтобы упростить ее понимание, разобьем на несколько несложных элементов.

Между переменными определяется сильная прямая связь.

Встроенная функция КОРРЕЛ позволяет избежать сложных расчетов. Рассчитаем коэффициент парной корреляции в Excel с ее помощью. Вызываем мастер функций. Находим нужную. Аргументы функции – массив значений y и массив значений х:

Покажем значения переменных на графике:

Видна сильная связь между y и х, т.к. линии идут практически параллельно друг другу. Взаимосвязь прямая: растет y – растет х, уменьшается y – уменьшается х.



Матрица парных коэффициентов корреляции в Excel

Корреляционная матрица представляет собой таблицу, на пересечении строк и столбцов которой находятся коэффициенты корреляции между соответствующими значениями. Имеет смысл ее строить для нескольких переменных.

Матрица коэффициентов корреляции в Excel строится с помощью инструмента «Корреляция» из пакета «Анализ данных».

Между значениями y и х1 обнаружена сильная прямая взаимосвязь. Между х1 и х2 имеется сильная обратная связь. Связь со значениями в столбце х3 практически отсутствует.

1. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; проанализировать тесноту и направление связи результирующего признака Y с каждым из факторов Х ; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции r (Y , X i); выбрать наиболее информативный фактор.

2. Построить модель парной регрессии с наиболее информативным фактором; дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

3. Оценить качество модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации, коэффициента детерминации и F – критерия Фишера (принять уровень значимости α=0,05).

4. С доверительной вероятностью γ=80% осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y (прогнозные значения факторов приведены в Приложении 6). Представить графически фактические и модельные значения Y , результаты прогнозирования.

5. Методом включения построить двухфакторные модели, сохраняя в них наиболее информативный фактор; построить трехфакторную модель с полным перечнем факторов.

6. Выбрать лучшую из построенных множественных моделей. Дать экономическую интерпретацию ее коэффициентов.

7. Проверить значимость коэффициентов множественной регрессии с помощью t –критерия Стьюдента (принять уровень значимости α=0,05). Улучшилось ли качество множественной модели по сравнению с парной?

8. Дать оценку влияния факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, бета– и дельта– коэффициентов.

Задача 2. Моделирование одномерного временного ряда

В Приложении 7 приведены временные ряды Y(t) социально-экономических показателей по Алтайскому краю за период с 2000 г. по 2011 г. Требуется исследовать динамику показателя, соответствующего варианту задания.

Вариант	Обозначение, наименование, единица измерения показателя
	Y1	Потребительские расходы в среднем на душу населения (в месяц), руб.
	Y2	Выбросы загрязняющих веществ в атмосферный воздух, тыс. тонн
	Y3	Средние цены на вторичном рынке жилья (на конец года, за квадратный метр общей площади), руб
	Y4	Объем платных услуг на душу населения, руб
	Y5	Среднегодовая численность занятых в экономике, тыс. человек
	Y6	Число собственных легковых автомобилей на 1000 человек населения (на конец года), штук
	Y7	Среднедушевые денежные доходы (в месяц), руб
	Y8	Индекс потребительских цен (декабрь к декабрю предыдущего года), %
	Y9	Инвестиции в основной капитал (в фактически действовавших ценах), млн. руб
	Y10	Оборот розничной торговли на душу населения (в фактически действовавших ценах), руб

Порядок выполнения работы

1. Построить линейную модель временного ряда , параметры которой оценить МНК. Пояснить смысл коэффициента регрессии.

2. Оценить адекватность построенной модели, используя свойства случайности, независимости и соответствия остаточной компоненты нормальному закону распределения.

3. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

4. Осуществить прогнозирование рассматриваемого показателя на год вперед (прогнозный интервал рассчитать при доверительной вероятности 70%).

5. Представить графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования.

6. Провести расчет параметров логарифмического, полиномиального (полином 2-й степени), степенного, экспоненциального и гиперболического трендов. На основании графического изображения и значения индекса детерминации выбрать наиболее подходящий вид тренда.

7. С помощью лучшей нелинейной модели осуществить точечное прогнозирование рассматриваемого показателя на год вперед. Сопоставить полученный результат с доверительным прогнозным интервалом, построенным при использовании линейной модели.

ПРИМЕР

Выполнения контрольной работы

Задача 1

Фирма занимается реализацией подержанных автомобилей. Наименования показателей и исходные данные для эконометрического моделирования представлены в таблице:

Цена реализации, тыс.у.е. (Y )	Цена нового авт., тыс.у.е. (Х1 )	Срок эксплуатации, годы (Х2 )	Левый руль - 1, правый руль - 0, (Х3 )
8,33	13,99	3,8
10,40	19,05	2,4
10,60	17,36	4,5
16,58	25,00	3,5
20,94	25,45	3,0
19,13	31,81	3,5
13,88	22,53	3,0
8,80	16,24	5,0
13,89	16,54	2,0
11,03	19,04	4,5
14,88	22,61	4,6
20,43	27,56	4,0
14,80	22,51	3,3
26,05	31,75	2,3

Требуется:

1. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; проанализировать тесноту и направление связи результирующего признака Y с каждым из факторов Х; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции r(Y, X i); выбрать наиболее информативный фактор.

Используем Excel (Данные / Анализ данных / КОРРЕЛЯЦИЯ):

Получим матрицу коэффициентов парной корреляции между всеми имеющимися переменными:

	У	Х1	Х2	Х3
У
Х1	0,910987
Х2	-0,4156	-0,2603
Х3	0,190785	0,221927	-0,30308

Проанализируем коэффициенты корреляции между результирующим признаком Y и каждым из факторов X j:

> 0, следовательно, между переменными Y и Х 1 наблюдается прямая корреляционная зависимость: чем выше цена нового автомобиля, тем выше цена реализации.

> 0,7 – эта зависимость является тесной.

< 0, значит, между переменными Y и Х 2 наблюдается

обратная корреляционная зависимость: цена реализации ниже для авто-

мобилей с большим сроком эксплуатации.

– эта зависимость умеренная, ближе к слабой.

> 0, значит, между переменными Y и Х 3 наблюдается прямая корреляционная зависимость: цена реализации выше для автомобилей с левым рулем.

< 0,4 – эта зависимость слабая.

Для проверки значимости найденных коэффициентов корреляции используем критерий Стьюдента.

Для каждого коэффициента корреляции вычислим t -статистику по формуле и занесем результаты расчетов в дополнительный столбец корреляционной таблицы:

	У	Х1	Х2	Х3	t-статистики
У
Х1	0,910987				7,651524603
Х2	-0,4156	-0,2603			1,582847988
Х3	0,190785	0,221927	-0,30308		0,673265587

По таблице критических точек распределения Стъюдента при уровне значимости и числе степеней свободы определим критическое значение (Приложение 1, или функция СТЬЮДРАСПОБР).Y и сроком эксплуатации Х 2 достоверна.

< , следовательно, коэффициент не является значимым. На основании выборочных данных нет оснований утверждать, что зависимость между ценой реализации Y и расположением руля Х 3 достоверна.

Таким образом, наиболее тесная и значимая зависимость наблюдается между ценой реализации Y и ценой нового автомобиля Х 1 ; фактор Х 1 является наиболее информативным.

Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный показатель наиболее тесно связан с показателем x (4) - количество удобрений, расходуемых на 1 га ().

В то же время связь между признаками-аргументами достаточно тесная. Так, существует практически функциональная связь между числом колесных тракторов (x (1)) и числом орудий поверхностной обработки почвы
.

О наличии мультиколлинеарности свидетельствуют также коэффициенты корреляции
и
. Учитывая тесную взаимосвязь показателейx (1) , x (2) и x (3) , в регрессионную модель урожайности может войти лишь один из них.

Чтобы продемонстрировать отрицательное влияние мультиколлинеарности, рассмотрим регрессионную модель урожайности, включив в нее все исходные показатели:

F набл = 121.

В скобках указаны значения исправленных оценок среднеквадратических отклонений оценок коэффициентов уравнения
.

Под уравнением регрессии представлены следующие его параметры адекватности: множественный коэффициент детерминации
; исправленная оценка остаточной дисперсии
, средняя относительная ошибка аппроксимациии расчетное значение-критерия F набл = 121.

Уравнение регрессии значимо, т.к. F набл = 121 > F kp = 2,85 найденного по таблицеF -распределения при=0,05; 1 =6 и 2 =14.

Из этого следует, что 0, т.е. и хотя бы один из коэффициентов уравнения j (j = 0, 1, 2, ..., 5) не равен нулю.

Для проверки гипотезы о значимости отдельных коэффициентов регрессии H0:  j =0, гдеj =1,2,3,4,5, сравнивают критическое значениеt kp = 2,14, найденное по таблицеt -распределения при уровне значимости=2Q =0,05 и числе степеней свободы=14, с расчетным значением. Из уравнения следует, что статистически значимым является коэффициент регрессии только при x (4) , так какt 4 =2,90 >t kp =2,14.

Не поддаются экономической интерпретации отрицательные знаки коэффициентов регрессии при x (1) и x (5) . Из отрицательных значений коэффициентов следует, что повышение насыщенности сельского хозяйства колесными тракторами (x (1)) и средствами оздоровления растений (x (5)) отрицательно сказывается на урожайности. Таким образом, полученное уравнение регрессии неприемлемо.

Для получения уравнения регрессии со значимыми коэффициентами используем пошаговый алгоритм регрессионного анализа. Первоначально используем пошаговый алгоритм с исключением переменных.

Исключим из модели переменную x (1) , которой соответствует минимальное по абсолютной величине значениеt 1 =0,01. Для оставшихся переменных вновь построим уравнение регрессии:

Полученное уравнение значимо, т.к. F набл = 155 > F kp = 2,90, найденного при уровне значимости=0,05 и числах степеней свободы 1 =5 и 2 =15 по таблицеF -распределения, т.е. вектор0. Однако в уравнении значим только коэффициент регрессии приx (4) . Расчетные значенияt j для остальных коэффициентов меньшеt кр = 2,131, найденного по таблицеt -распределения при=2Q =0,05 и=15.

Исключив из модели переменную x (3) , которой соответствует минимальное значениеt 3 =0,35 и получим уравнение регрессии:

(2.9)

В полученном уравнении статистически не значим и экономически не интерпретируем коэффициент при x (5) . Исключивx (5) получим уравнение регрессии:

(2.10)

Мы получили значимое уравнение регрессии со значимыми и интерпретируемыми коэффициентами.

Однако полученное уравнение является не единственно “хорошей” и не “самой лучшей” моделью урожайности в нашем примере.

Покажем, что в условии мультиколлинеарности пошаговый алгоритм с включением переменных является более эффективным. На первом шаге в модель урожайностиy входит переменная x (4) , имеющая самый высокий коэффициент корреляции сy , объясняемой переменнойr (y , x (4))=0,58. На втором шаге, включая уравнение наряду сx (4) переменныеx (1) илиx (3) , мы получим модели, которые по экономическим соображениям и статистическим характеристикам превосходят (2.10):

(2.11)

(2.12)

Включение в уравнение любой из трех оставшихся переменных ухудшает его свойства. Смотри, например, уравнение (2.9).

Таким образом, мы имеем три “хороших” модели урожайности, из которых нужно выбрать по экономическим и статистическим соображениям одну.

По статистическим критериям наиболее адекватна модель (2.11). Ей соответствуют минимальные значения остаточной дисперсии =2,26 и средней относительной ошибки аппроксимациии наибольшие значения
и F набл = 273.

Несколько худшие показатели адекватности имеет модель (2.12), а затем - модель (2.10).

Будем теперь выбирать наилучшую из моделей (2.11) и (2.12). Эти модели отличаются друг от друга переменными x (1) иx (3) . Однако в моделях урожайностей переменнаяx (1) (число колесных тракторов на 100 га) более предпочтительна, чем переменнаяx (3) (число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га), которая является в некоторой степени вторичной (или производной от x (1)).

В этой связи из экономических соображений предпочтение следует отдать модели (2.12). Таким образом, после реализации алгоритма пошагового регрессионного анализа с включением переменных и учета того, что в уравнение должна войти только одна из трех связанных переменных (x (1) ,x (2) илиx (3)) выбираем окончательное уравнение регрессии:

Уравнение значимо при =0,05, т.к. F набл = 266 > F kp = 3,20, найденного по таблицеF -распределения при=Q =0,05; 1 =3 и 2 =17. Значимы и все коэффициенты регрессииив уравненииt j >t kp (=2Q =0,05;=17)=2,11. Коэффициент регрессии 1 следует признать значимым ( 1 0) из экономических соображений, при этомt 1 =2,09 лишь незначительно меньшеt kp = 2,11.

Из уравнения регрессии следует, что увеличение на единицу числа тракторов на 100 га пашни (при фиксированном значении x (4)) приводит к росту урожайности зерновых в среднем на 0,345 ц/га.

Приближенный расчет коэффициентов эластичности э 1 0,068 и э 2 0,161 показывает, что при увеличении показателейx (1) иx (4) на 1% урожайность зерновых повышается в среднем соответственно на 0,068% и 0,161%.

Множественный коэффициент детерминации
свидетельствует о том, что только 46,9% вариации урожайности объясняется вошедшими в модель показателями (x (1) иx (4)), то есть насыщенностью растениеводства тракторами и удобрениями. Остальная часть вариации обусловлена действием неучтенных факторов (x (2) ,x (3) ,x (5) , погодные условия и др.). Средняя относительная ошибка аппроксимациихарактеризует адекватность модели, так же как и величина остаточной дисперсии
. При интерпретации уравнения регрессии интерес представляют значения относительных ошибок аппроксимации
. Напомним, что- модельное значение результативного показателя, характеризует среднее для совокупности рассматриваемых районов значение урожайности при условии, что значения объясняющих переменныхx (1) иx (4) зафиксированы на одном и том же уровне, а именноx (1) =x i (1) иx (4) = x i (4) . Тогда по значениям i можно сопоставлять районы по урожайности. Районы, которым соответствуют значения i >0, имеют урожайность выше среднего, а i <0 - ниже среднего.

В нашем примере, по урожайности наиболее эффективно растениеводство ведется в районе, которому соответствует  7 =28%, где урожайность на 28% выше средней по региону, и наименее эффективно - в районе с 20 =27,3%.