Математическое ожидание (Population mean) - это. Оценивание математического ожидания случайной величины

Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием m и дисперсией D , при этом оба эти параметра неизвестны. Над величиной Х произведено N независимых экспериментов, в результате которых была получена совокупность N численных результатов x 1 , x 2 , …, x N . В качестве оценки математического ожидания естественно предложить среднее арифметическое наблюдаемых значений

(1)

Здесь в качестве x i рассматриваются конкретные значения (числа), полученные в результате N экспериментов. Если взять другие (независимые от предыдущих) N экспериментов, то, очевидно, мы получим другое значение . Если взять еще N экспериментов, то мы получим еще одно новое значение . Обозначим через X i случайную величину, являющуюся результатом i -го эксперимента, тогда реализациями X i будут числа, полученные в результате этих экспериментов. Очевидно, что случайная величина X i будет иметь такую же плотность распределения вероятности, что и исходная случайная величина Х . Также считаем, что случайные величины X i и X j являются независимыми при i , не равном j (различные независимые друг относительно друга эксперименты). Поэтому формулу (1) перепишем в другом (статистическом) виде:

(2)

Покажем, что оценка является несмещенной:

Таким образом, математическое ожидание выборочного среднего равно истинному математическому ожиданию случайной величины m . Это достаточно предсказуемый и понятный факт. Следовательно, за оценку математического ожидания случайной величины можно принять выборочное среднее (2). Теперь возникает вопрос: что происходит с дисперсией оценки математического ожидания при увеличении числа экспериментов? Аналитические вычисления показывают, что

где - дисперсия оценки математического ожидания (2), а D - истинная дисперсия случайной величины X .

Из вышесказанного следует, что с ростом N (количества экспериментов) дисперсия оценки уменьшается, т.е. чем больше мы суммируем независимые реализации, тем ближе к математическому ожиданию мы получим оценку.

Оценки математического дисперсии

На первый взгляд наиболее естественной оценкой представляется

(3)

где вычисляется по формуле (2). Проверим, является ли оценка несмещенной. Формула (3) может быть записана следующим образом :

Подставим в эту формулу выражение (2):

Найдем математическое ожидание оценки дисперсии:

(4)

Так как дисперсия случайной величины не зависит от того, какое математическое ожидание у случайной величины, примем математическое ожидание равным 0, т.е. m = 0.

	(5)
при .	(6)

ТЕМА: Точечные оценки математического ожидания. Точечные оценки дисперсии. Точечная оценка вероятности события. Точечная оценка параметров равномерного распределения.

п.1. Точечные оценки математического ожидания.

Предположим, что функция распределения случайной величины ξ зависит от неизвестного параметра θ : P (ξ θ;).

Если x 1 , x 2 …., x n - выборка из генеральной совокупности случайной величиныξ, то оценкой параметра θ называется произвольная функция от выборочных значений

Значение оценки меняется от выборки к выборке и, значит, есть случайная величина. В большинстве экспериментов значение этой случайной величины близки к значению оцениваемого параметра, если для любого значения n математическое ожидание величины равно истинному значению параметра, то оценки , удовлетворяющие условию называются несмещенными . Несмещенность оценки означает, что эта оценка не несет в себе систематической ошибки.

Оценка называется состоятельной оценкой параметра θ , если для любого ξ>0 справедливо

Таким образом, с ростом объема выборки увеличивается точность результата.

Пусть x 1 , x 2 … x n – выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине ξ с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией Dξ=σ 2 . Построим несколько оценок неизвестного параметра. Если, то , т.е. рассматриваемая оценка является несмещенной оценкой. Но, поскольку значение вообще не зависит от объема выборки n, то оценка не является состоятельной.

Эффективной оценкой математического ожидания нормально распределенной случайной величины является оценка

Впредь для оценки неивестного математического ожидания случайной величины будем использовать выборочное среднее, т. е.

Существуют стандартные (регулярные) методы получения оценок неизвестных параметров распределения. Наиболее известные из них: метод моментов , метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов.

п.2 Точечные оценки дисперсии.

Для дисперсии σ 2 случайной величины ξ можно предложить следующую оценку:

где - выборочное среднее.

Доказано, что эта оценка состоятельная, но смещенная.

В качестве состоятельной несмещенной оценки дисперсии исполь­зуют величину

Именно несмещенностью оценки s 2 объясняется ее более частое использование в качестве оценки величины D ξ.

Заметим, что Mathcad предлагает в качестве оценки дисперсии величину , а не s 2: функция var (x ) вычисляет величину

где mean (x ) -выборочное среднее .

ЗАДАНИЕ 6.5

Μξ и дисперсии D ξ случайной величины ξ по приведенным в задании выборочным значениям .

Порядок выполнения задания

Прочитайте с диска файл, содержащий выборочные значения, или введите заданную выборку с клавиатуры.

Вычислите точечные оценки Μξ и D ξ.

Пример выполнения задания

Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожи­дания Μξ и дисперсии D ξ случайной величины ξ по выборочным значениям, заданным следующей таблицей.

Для выборки, заданной таблицей такого типа (приведено выборочное значение и число, указывающее, сколько раз это значение встречается в выборке), формулы для состоятельных несмещенных оценок математического ожидания и дисперсии имеют вид:

, ,

где k - количество значений в таблице; n i - количество значений x i в выборке; n - объем выборки.

Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями точечных оценок приведен ниже.

Из приведенных вычислений видно, что смещенная оценка дает заниженное значение оценки дисперсии.

п.3. Точечная оценка вероятности события

Предположим, что в некотором эксперименте событие А (благоприят­ный исход испытания) происходит с вероятностью p и не происходит с вероятностью q = 1 - р. Задача состоит в получении оценки неизвест­ного параметра распределения p по результатам серии n случайных экспериментов. При заданном числе испытаний n количество бла­гоприятных исходов m в серии испытаний - случайная величина, имеющая распределение Бернулли. Обозначим ее буквой μ.

Если событие А в серии из n независимых испытаний произошло

m раз, то оценку величины p предлагается вычислять по формуле

Выясним свойства предлагаемой оценки. Поскольку случайная ве­личина μ имеет распределение Бернулли, то Μμ= np и M = M = р , т.е. налицо несмещенная оценка.

Для испытаний Бернулли справедлива теорема Бернулли, согласно которой, т.е. оценка p состоятельная.

Доказано, что эта оценка эффективна, так как обладает при прочих равных условиях минимальной дисперсией.

В Mathcad для моделирования выборки значений случайной ве­личины, имеющей распределение Бернулли, предназначена функция rbinom(fc,η,ρ), которая формирует вектор из к случайных чисел, κα­ ι ждое из которых равно числу успехов в серии из η независимых испы­таний с вероятностью успеха ρ в каждом.

ЗАДАНИЕ 6.6

Смоделируйте несколько выборок значений случайной величины, име­ющей распределение Бернулли с заданным значением параметра р . Вычислите для каждой выборки оценку параметра p и сравните с за­данным значением. Представьте результаты вычислений графически.

Порядок выполнения задания

1. Используя функцию rbinom(1, n , p ), опишите и сформируй­те последовательность значений случайной величины, име­ющей распределение Бернулли с заданными p и n для n = 10, 20, ..., Ν, как функцию объема выборки п.

2. Вычислите для каждого значения n точечные оценки веро­ятности р.

Пример выполнения задания

Пример получения точечных оценок выборок объема n = 10, 20,..., 200 значений случайной величины μ, имеющей распределение Бернулли с параметром p = 0.3, приведен ниже.

Указание. Поскольку значением функции является вектор , число успехов в серии n независимых испытаний с вероятностью успеха p в каждом испытании содержится в первой компоненте вектора rbinom(1,n , p ) , т.е. число успехов равно rbinom(1, n , p ). В приведенном выше фрагменте k - я компонента вектора Ρ содержит число успехов в серии 10k независимых испытаний для k = 1,2,..., 200.

п. 4. Точечная оценка параметров равномерного распределения

Обратимся еще к одному поучительному примеру. Пусть - выборка из генеральной совокупности, соответствующей случай­ной величине ξ, имеющей равномерное распределение на отрезке с неизвестным параметром θ . Наша задача - оценить этот неизвестный параметр.

Рассмотрим один из возможных способов построения требуемой оценки. Если ξ - случайная величина, имеющая равномерное распре­деление на отрезке , то Μ ξ = . Поскольку оценка величины Mξ известна, Μξ =, то за оценку параметра θ можно взять оценку

Несмещенность оценки очевидна:

Вычислив дисперсию и предел D при n →∞, убедимся в состоятельности оценки :

Для получения другой оценки параметра θ обратимся к другой статистике. Пусть = max). Найдем распределение случайной величины:

Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины

с распределением равны соответственно:

;

т.е. оценка состоятельная, но смещенная. Однако если вместо = max) рассмотреть = max), то и , и, следовательно, оценка состоятельная и несмещенная.

При этом, поскольку

существенно эффективнее оценки

Например, при п= 97 разброс оценки θ^ в 33 рала меньше разброса оценки

Последний пример еще раз показывает, что выбор статистической оценки неизвестного параметра распределения - важная и нетриви­альная задача.

В Mathcad для моделирования выборки значений случайной величи­ны, имеющей равномерное распределение на отрезке [а, Ь], предназна­чена функция runif(fc,o,b), которая формирует вектор из к случайных чисел, каждое из которых - значение равномерно распределенной на отрезке [а, 6] случайной величины.

Необходимость оценивания математического ожидания по результатам испытаний появляется в задачах, когда результат эксперимента описывается случайной величиной и показателем качества исследуемого объекта принято математическое ожидание этой случайной величины. Например, в качестве показателя надежности может быть принято математическое ожидание времени безотказной работы какой-либо системы, а при оценивании эффективности производства продукции - математическое ожидание числа годных изделий и т. д.

Задача оценивания математического ожидания формулируется следующим образом. Предположим, что для определения неизвестного значения случайной величины X предполагается произвести п независимых и свободных от систематических ошибок измерений X v Х 2 ,..., Х п. Требуется выбрать наилучшую оценку математического ожидания.

Наилучшей и наиболее распространенной на практике оценкой математического ожидания является среднее арифметическое результатов испытаний

называемое также статистическим или выборочным средним.

Покажем, что оценка т х удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к оценке любого параметра.

1. Из выражения (5.10) следует, что

т. е. оценка т" х - несмещенная оценка.

2. Согласно теореме Чебышева среднее арифметическое результатов испытаний сходится по вероятности к математическому ожиданию, т. е.

Следовательно, оценка (5.10) есть состоятельная оценка математического ожидания.

3. Дисперсия оценки т х, равная

с ростом объема выборки п неограниченно убывает. Доказано, что если случайная величина X подчинена нормальному закону распределения, то при любом п дисперсия (5.11) будет минимально возможной, а оценка т х - эффективной оценкой математического ожидания. Знание дисперсии оценки позволяет вынести суждение относительно точности определения неизвестного значения математического ожидания с помощью этой оценки.

В качестве оценки математического ожидания среднее арифметическое используется в том случае, если результаты измерений равноточные (дисперсии D, i = 1, 2, ..., п одинаковы в каждом измерении). Однако на практике приходится сталкиваться с задачами, в которых результаты измерений неравноточные (например, в процессе испытаний измерения производятся различными приборами). В этом случае оценка для математического ожидания имеет вид

где - вес г-го измерения.

В формулу (5.12) результат каждого измерения включается со своим весом С .. Поэтому оценку результатов измерений т х называют средневзвешенной.

Можно показать, что оценка (5.12) является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой математического ожидания. Минимальная дисперсия оценки определяется выражением

При проведении экспериментов с моделями на ЭВМ подобные задачи возникают в том случае, когда оценки находят по результатам нескольких серий испытаний и число испытаний в каждой серии различно. Например, проведены две серии испытаний объемом п 1 и п 2 , по результатам которых получены оценки т хi и т х _. С целью повышения точности и достоверности определения математического ожидания результаты этих серий испытаний объединяют. Для этого следует воспользоваться выражением (5.12)

При вычислении коэффициентов С вместо дисперсий D подставляют их оценки, полученные по результатам испытаний в каждой серии.

Аналогичный подход используют и при определении вероятности наступления случайного события по результатам серий испытаний.

Для оценивания математического ожидания случайной величины X, кроме выборочного среднего, могут использоваться и другие статистики. Чаще всего для этих целей используют члены вариационного ряда, т. е. порядковые статистики , на базе которых строят оценки,

удовлетворяющие основным из предъявляемых требований, а именно состоятельности и несмещенности.

Предположим, что вариационный ряд содержит п = 2к членов. Тогда в качестве оценки математического ожидания может быть принято любое из средних:

При этом к-е среднее

есть не что иное, как статистическая медиана распределения случайной величины X, поскольку имеет место очевидное равенство

Преимущество статистической медианы состоит в том, что она свободна от влияния аномальных результатов наблюдений, неизбежного при использовании первого среднего, т. е. среднего из наименьшего и наибольшего числа вариационного ряда.

При нечетном объеме выборки п = 2к - 1 статистической медианой является ее средний элемент, т. е. к -й член вариационного ряда Me = х к.

Существуют распределения, у которых среднее арифметическое не является эффективной оценкой математического ожидания, например, распределение Лапласа. Можно показать, что для распределения Лапласа эффективной оценкой математического ожидания является выборочная медиана.

Доказано, что если случайная величина X имеет нормальное распределение, то при достаточно большом объеме выборки закон распределения статистической медианы близок к нормальному с числовыми характеристиками

Из сравнения формул (5.11) и (5.14) следует, что дисперсия статистической медианы в 1,57 раза больше дисперсии среднего арифметического. Следовательно, среднее арифметическое как оценка математического ожидания во столько же раз эффективнее статистической медианы. Однако из-за простоты вычислений, нечувствительности к аномальным результатам измерений (“засоренности” выборки) на практике в качестве оценки математического ожидания тем не менее используют статистическую медиану.

Следует отметить, что для непрерывных симметричных распределений математическое ожидание и медиана совпадают. Поэтому статистическая медиана может служить хорошей оценкой математического ожидания лишь при симметричном распределении случайной величины.

Для несимметричных распределений статистическая медиана Me имеет существенное смещение относительно математического ожидания, поэтому для его оценивания непригодна.

Оценки математического ожидания и дисперсии.

С понятием параметров распределения мы познакомились в теории вероятностей. Например, в нормальном законе распределения, задаваемом функцией плотности вероятности

параметрами служат а – математическое ожидание и а – среднее квадратическое отклонение. В распределении Пуассона параметром является число а = пр.

Определение. Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют его приближенное значение, зависящее от данных выборки (х 1 , х 2 , х 3 , ..., х k ; п 1 , п 2 , п 3 , ..., п k ), т. е. некоторую функцию этих величин.

Здесь х 1 , х 2 , х 3 , ..., х k – значения признака, п 1 , п 2 , п 3 , ..., п k –соответствующие частоты. Статистическая оценка является случайной величиной.

Обозначим через θ – оцениваемый параметр, а через θ * – его статистическую оценку. Величину |θ *–θ | называют точностью оценки. Чем меньше |θ *–θ |, тем лучше, точнее определен неизвестный параметр.

Чтобы оценка θ * имела практическое значение, она не должна содержать систематической ошибки и вместе с тем иметь возможно меньшую дисперсию. Кроме того, при увеличении объема выборки вероятность сколь угодно малых отклонений |θ *–θ | должна быть близка к 1.

Сформулируем следующие определения.

1. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание М (θ *) равно оцениваемому параметру θ , т. е.

М (θ *) = θ, (1)

и смещенной, если

М (θ *) ≠ θ, (2)

2. Оценка θ* называется состоятельной, если при любом δ > 0

(3)

Равенство (3) читается так: оценка θ * сходится по вероятности к θ .

3. Оценка θ* называется эффективной, если при заданном п она имеет наименьшую дисперсию.

Теорема 1. Выборочная средняя Х В является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания.

Доказательство. Пусть выборка репрезентативна, т. е.. все элементы генеральной совокупности имеют одинаковую возможность попасть в выборку. Значения признака х 1 , х 2 , х 3 ,...,х n можно принять за независимые случайные величины Х 1 , Х 2 , Х 3 , ...,Х n с одинаковыми распределениями и числовыми характеристиками, в том числе с равными математическими ожиданиями, равными а,

Так как каждая из величин Х 1 , Х 2 , Х 3 , …, Х п имеет распределение, совпадающее с распределением генеральной совокупности, то М (Х ) = а. Поэтому

откуда следует, что – состоятельная оценка М (Х ).

Используя правило исследования на экстремум, можно доказать, что является и эффективной оценкой М (Х ).

Пусть над случайной величиной с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией произведено независимых опытов, давших результаты – . Вычислим состоятельные и несмещенные оценки для параметров и .

В качестве оценки для математического ожидания возьмем среднее арифметическое опытных значений

. (2.9.1)

Согласно закону больших чисел эта оценка является состоятельной , при величина по вероятности. Эта же оценка является и несмещенной , поскольку

. (2.9.2)

Дисперсия этой оценки равна

. (2.9.3)

Можно показать, что для нормального закона распределения эта оценка является эффективной . Для других законов это может быть и не так.

Оценим теперь дисперсию. Выберем сначала для оценки формулу для статистической дисперсии

. (2.9.4)

Проверим состоятельность оценки дисперсии. Раскроем скобки в формуле (2.9.4)

.

При первое слагаемое сходится по вероятности к величине , в второе – к . Таким образом наша оценка сходится по вероятности к дисперсии

,

следовательно, она является состоятельной .

Проверим несмещенность оценки для величины . Для этого подставим в формулу (2.9.4) выражение (2.9.1) и учтем, что случайные величины независимы

,

. (2.9.5)

Прейдем в формуле (2.9.5) к флуктуациям случайных величин

Раскрывая скобки, получим

,

. (2.9.6)

Вычислим математическое ожидание величины (2.9.6), учитывая, что

. (2.9.7)

Соотношение (2.9.7) показывает, что величина , вычисленная по формуле (2.9.4) не является несмещенной оценкой для дисперсии . Ее математическое ожидание не равно, а несколько меньше . Такая оценка приводит к систематической ошибке в сторону уменьшения. Для ликвидации такого смещения нужно ввести поправку, умножив не величину . Тогда такая исправленная статистическая дисперсия может служить несмещенной оценкой для дисперсии

. (2.9.8)

Эта оценка является состоятельной также как и оценка , поскольку при величина .

На практике, вместо оценки (2.9.8) иногда удобнее применять эквивалентную оценку, связанную со вторым начальным статистическим моментом

. (2.9.9)

Оценки (2.9.8), (2.9.9) не являются эффективными. Можно показать, что в случае нормального закона распределения они будут асимптотически эффективными (при будут стремиться к минимально возможному значению).

Таким образом, можно сформулировать следующие правила обработки ограниченного по объему статистического материала. Если в независимых опытах случайная величина принимает значения с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией , то для определения этих параметров следует пользоваться приближенными оценками

(2.9.10)

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекций по математике теория вероятностей математическая статистика

Кафедра высшей математики и информатики.. конспект лекций.. по математике..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Теория вероятностей
Теория вероятностей – раздел математики, в котором изучаются закономерности случайных массовых явлений. Случайным называется явление, которо

Статистическое определение вероятности
Событием называется случайное явление, которое в результате опыта может появится или не появится (двузначное явление). Обозначают события большими латинскими буквами

Пространство элементарных событий
Пусть с некоторым опытом связано множество событий, причем: 1) в результате опыта появляется одно и только одно

Действия на событиями
Суммой двух событий и

Перестановки
Число различных перестановок из элементов обозначается

Размещения
Размещением из элементов по

Сочетания
Сочетанием из элементов по

Формула сложения вероятностей для несовместных событий
Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. (1

Формула сложения вероятностей для произвольных событий
Теорема. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения.

Формула умножения вероятностей
Пусть даны два события и. Рассмотрим событие

Формула полной вероятности
Пусть – полная группа несовместных событий, их называют гипотезами. Рассмотрим некоторое событие

Формула вероятностей гипотез (Байеса)
Рассмотрим снова – полную группу несовместных гипотез и событие

Асимптотическая формула Пуассона
В тех случаях, когда число испытаний велико, а вероятность появления события

Случайные дискретные величины
Случайной называется величина, которая при повторении опыта может принимать неодинаковые числовые значения. Случайная величина называется дискретной,

Случайные непрерывные величины
Если в результате опыта случайная величина может принимать любое значение из некоторого отрезка или всей действительной оси, то она называется непрерывной. Законо

Функция плотности вероятности случайной непрерывной величины
Пусть. Рассмотрим точку и дадим ей приращени

Числовые характеристики случайных величин
Случайная дискретная или непрерывная величины считаются полностью заданными, если известны их законы распределения. В самом деле, зная законы распределения можно всегда вычислить вероятность попада

Квантили случайных величин
Квантилем порядка случайной непрерывной величины

Математическое ожидание случайных величин
Математическое ожидание случайной величины характеризует ее среднее значение. Все значения случайной величины группируются вокруг этого значения. Рассмотрим сначала случайную дискретную величину

Среднеквадратичное отклонение и дисперсия случайных величин
Рассмотрим сначала случайную дискретную величину. Числовые характеристики мода, медиана, квантили и математическое ожида

Моменты случайных величин
Кроме математического ожидания и дисперсии в теории вероятностей используются числовые характеристики более высоких порядков, которые называются моментами случайных величин.

Теоремы о числовых характеристиках случайных величин
Теорема 1. Математическое ожидание неслучайной величины равно самой этой величине. Доказательство:Пусть

Биномиальный закон распределения

Закон распределения Пуассона
Пусть случайная дискретная величина, принимающая значения

Равномерный закон распределения
Равномерным законом распределения случайной непрерывной величины называется закон функция плотности вероятности, которого

Нормальный закон распределения
Нормальным законом распределения случайной непрерывной величины называется закон функция плотност

Экспоненциальный закон распределения
Экспоненциальное или показательное распределение случайной величины применяется в таких приложениях теории вероятностей, как теория массового обслуживания, теория надежности

Системы случайных величин
На практике в приложениях теории вероятностей часто приходиться сталкиваться с задачами, в которых результаты эксперимента описываются не одной случайной величиной, а сразу несколькими случайными в

Система двух случайных дискретных величин
Пусть две случайные дискретные величины образуют систему. Случайная величина

Система двух случайных непрерывных величин
Пусть теперь систему образуют две случайные непрерывные величины. Законом распределения этой системы называется вероятно

Условные законы распределения
Пусть и зависимые случайные непрерывные велич

Числовые характеристики системы двух случайных величин
Начальным моментом порядка системы случайных величин

Система нескольких случайных величин
Полученные результаты для системы их двух случайных величии могут быть обобщены на случай систем, состоящих из произвольного числа случайных величин. Пусть система образована совокупностью

Нормальный закон распределения системы двух случайных величин
Рассмотрим систему двух случайных непрерывных величин. Законом распределения этой системы является нормальный закон расп

Предельные теоремы теории вероятностей
Основной целью дисциплины теория вероятностей является изучение закономерностей случайных массовых явлений. Практика показывает, что наблюдение массы однородных случайных явлений обнаружив

Неравенство Чебышева
Рассмотрим случайную величину с математическим ожиданием

Теорема Чебышева
Если случайные величины попарно независимы и имеют конечные ограниченные в совокупности дисперсии

Теорема Бернулли
При неограниченном увеличении числа опытов частота появления события сходится по вероятности к вероятности события

Центральная предельная теорема
При сложении случайных величин с любыми законами распределения, но с ограниченными в совокупности дисперсиями, закон расп

Основные задачи математической статистики
Рассмотренные выше законы теории вероятностей представляют собой математическое выражение реальных закономерностей, фактически существующих в различных случайных массовых явлениях. Изучая

Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения
Рассмотрим некоторую случайную величину, закон распределения которой неизвестен. Требуется на основании опытных данных о

Статистический ряд. Гистограмма
При большом числе наблюдений (порядка сотен) генеральная совокупность становится неудобной и громоздкой для записи статистического материала. Для наглядности и компактности статистический материал

Числовые характеристики статистического распределения
В теории вероятностей рассматривались различные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты различных порядков. Аналогичные числов

Выбор теоретического распределения по методу моментов
Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности, связанные с ограниченностью числа наблюдений. При большом числе наблюдений эти элементы случайности сглаживаются,

Проверка правдоподобия гипотезы о виде закона распределения
Пусть заданное статистическое распределение аппроксимировано некоторой теоретической кривой или

Критерии согласия
Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев согласия – так называемый критерий Пирсона. Предположи

Точечные оценки для неизвестных параметров распределения
В п.п. 2.1. – 2.7 мы подробно рассмотрели способы решения первой и второй основных задач математической статистики. Это задачи определения законов распределения случайных величин по опытным данным

Доверительный интервал. Доверительная вероятность
На практике при малом числе опытов над случайной величиной приближенная замена неизвестного параметра