Решение систем дифференциальных уравнений методом вариации. Примеры на метод вариации произвольной постоянной

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1) .
Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка , также применим и для уравнений более высоких порядков.

Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций.

Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений . Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2) .
Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3) .
Здесь - произвольные постоянные; - n линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.

Шаг 2. Вариация постоянных - замена постоянных функциями

На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x :
.
То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4) .

Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это.

Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы и произведения :
.
Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от , а затем - члены с производными от :

.
Наложим на функции первое условие:
(5.1) .
Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1) .

Тем же способом находим вторую производную:

.
Наложим на функции второе условие:
(5.2) .
Тогда
(6.2) .
И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций , к нулю.

Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
(5.k) ,
то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k) .
Здесь .

Находим n -ю производную:
(6.n)
.

Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;






.
Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.
Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7) .

В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x . Интегрируя, получим:
.
Здесь - уже не зависящие от x постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.

Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений , если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).

Примеры

Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).

Метод вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + ... + a 1 (t )z "(t ) + a 0 (t )z (t ) = f (t )

состоит в замене произвольных постоянных c k в общем решении

z (t ) = c 1 z 1 (t ) + c 2 z 2 (t ) + ... + c n z n (t )

соответствующего однородного уравнения

a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + ... + a 1 (t )z "(t ) + a 0 (t )z (t ) = 0

на вспомогательные функции c k (t ) , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z 1 ,z 2 ,...,z n , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если - первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам .

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

состоит в построении частного решения (1) в виде

где Z (t ) - базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t 0 имеет вид

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

Матрица Z (t )Z − 1 (τ) называется матрицей Коши оператора L = A (t ) .

Внешние ссылки

• exponenta.ru - Теоретическая справка c примерами

Wikimedia Foundation . 2010 .

Обратимся к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида

где - искомая функция аргумента, а функции



заданы и непрерывны на некотором интервале
.

Введем в рассмотрение линейное однородное уравнение, левая часть которого совпадает с левой частью неоднородного уравнения (2.31),

Уравнение вида (2.32) называют однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (2.31).

Имеет место следующая теорема о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (2.31).

Теорема 2.6. Общее решение линейного неоднородного уравнения (2.31) в области

есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (2.32) в области (2.33), т.е.

где - частное решение уравнения (2.31),
- фундаментальная система решений однородного уравнения (2.32), а
- произвольные постоянные.

Доказательство этой теоремы Вы найдете в .

На примере дифференциального уравнения второго порядка изложим метод, при помощи которого можно найти частное решение линейного неоднородного уравнения. Этот метод называют методом Лагранжа вариации произвольных постоянных .

Итак, пусть дано неоднородное линейное уравнение

(2.35)

где коэффициенты
и правая часть
непрерывны в некотором интервале
.

Обозначим через
и
фундаментальную систему решений однородного уравнения

(2.36)

Тогда его общее решение имеет вид

(2.37)

где и- произвольные постоянные.

Будем искать решение уравнения (2.35) в таком же виде, как и общее решение соответствующего однородного уравнения, заменяя произвольные постоянные некоторыми дифференцируемыми функциями от (варьируем произвольные постоянные), т.е.

где
и
- некоторые дифференцируемые функции от, которые пока неизвестны и которые попытаемся определить так, чтобы функция (2.38) была бы решением неоднородного уравнения (2.35). Дифференцируя обе части равенства (2.38), получим

Чтобы при вычислении не появились производные второго порядка от
и
, потребуем, чтобы всюду в
выполнялось условие

Тогда для будем иметь

Вычислим вторую производную

Подставляя выражения для,,из (2.38), (2.40), (2.41) в уравнение (2.35), получим

Выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю всюду в
, так каки- частные решения уравнения (2.36). При этом (2.42) примет видОбъединяя это условие с условием (2.39), получим систему уравнений для определения
и

(2.43)

Последняя система представляет собой систему двух алгебраических линейных неоднородных уравнений относительно
и
. Определителем этой системы является определитель Вронского для фундаментальной системы решений,и, следовательно, отличен от нуля всюду в
. Это означает, что система (2.43) имеет единственное решение. Решив ее любым способом относительно
,
найдем

где
и
- известные функции.

Выполняя интегрирование и учитывая, что в качестве
,
следует брать одну какую-нибудь пару функций, положим постоянные интегрирования равными нулю. Получим

Подставив выражения (2.44) в соотношения (2.38), сможем записать искомое решение неоднородного уравнения (2.35) в виде

Этот метод можно обобщить для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения -го порядка.

Пример 2.6 . Решить уравнение
при
если функции

образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения.

Найдем частное решение данного уравнения. Для этого в согласии с методом Лагранжа следует сначала решить систему (2.43), которая в нашем случае имеет вид
Сократив обе части каждого из уравнений наполучим

Вычитая почленно из второго уравнения первое, найдем
а тогда из первого уравнения следует
Выполняя интегрирование и полагая постоянные интегрирования равными нулю, будем иметь

Частное решение данного уравнения можно представить в виде

Общее решение данного уравнения имеет при этом вид

где и- произвольные постоянные.

Отметим, наконец, одно замечательное свойство, которое часто называют принципом наложения решений и описывают следующей теоремой.

Теорема 2.7. Если на промежутке
функция
- частное решение уравненияа функция
частное решение уравнениято на этом же промежутке функция
есть частное решение уравнения

Для нахождения общего решения y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x) необходимо найти частное решение .

Его можно найти из общего решения уравнения y’’ + (x) y’ + (x) y = 0 некоторых вариаций произвольных постоянных

Подставим в (5.1)

+ + + + (x) + +

(x) + = f (x)

+ + + + (x) +

(x) + = f (x)

Интегрированием найдем и

Затем по формуле (5.6) составим общее решение

Теорема (5.2) : о наложение решения

Если правая часть уравнения y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x) представляет собой сумму 2-ух функций:

f(x) = (x) + (x) ,

а u - частное решение уравнения

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

То функция

Является решение данного уравнения

() ‘’ + ) ‘ + ) ‘= ‘’ + + + () ‘’ + ) ‘ + = (x) + (x) = f(x)

10. Уравнение Бернулли.

11. Уравнение Риккати.:

Уравнение Риккати является одним из наиболее интересных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка . Оно записывается в форме:

где a (x ), b (x ), c (x ) − непрерывные функции, зависящие от переменной x .

Уравнение Риккати встречается в различных областях математики (например, в алгебраической геометрии и в теории конформных отображений) и физики. Оно также нередко возникает в прикладных математических задачах.

Приведенное выше уравнение называется общим уравнением Риккати . Его решение основано на следующей теореме:

Теорема : Если известно частное решение y 1 уравнения Риккати, то его общее решение определяется формулой

Действительно, подставляя решение y = y 1 + u в уравнение Риккати, имеем:

Подчеркнутые члены в левой и правой части можно сократить, поскольку y 1 − частное решение, удовлетворяющее уравнению. В результате мы получаем дифференциальное уравнение для функции u (x ):

Второй вариант риккати(писать только один из)

В общем случае не интегрированно в квадратурах

Однако если известно одно частное решение , то уравнение Риккати можно свести к уравнению Бернулли

Для этого положим сделаем замену:

P(x) + p (x) z + q (x) * + q (x) * 2 z + q (x) = f (x)

P(x) z + 2q (x) z +q(x) = 0

Z (p (x) + 2q (x) ) + q (x) =0

n=2 Бернули

12. Уравнение Лагранжа .:

13. Уравнение Клеро.:

14. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Случаи понижения порядка .

15. Линейные дифференциальные уравнения n го порядка. Вронскиан. Фундаментальная система решений.:

16. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение:

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных

дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными

коэффициентами.

17. Линейные неоднородные уравнения. Отыскание частного решения в случае уравнения с квазиполиномом:

Квазиполином Эйлера: Рассмотрим ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами: y’’ + p y’ + q y = f(x) (5.7) Можно искать частное решение методом Лагранжа, однако в некоторых случаях можно найти проще Рассмотрим эти случаи:1. f(x) = , -многочлен степени n. 2.f(x) = ( cos β x + (x) sin β x). В этих случаях f(x) называют квазиполиномом ЭЙЛЕРА. В этих случаях записывают ожидаемую форму решения с неопределенными коэффициентами и подставляют в ур-е (5.1). Из полученного тождества находят значение коэффициентов. Случай 1 : правая часть (5.7) имеет вид:f(x) = α R -многочлен степени n. Ур-е (5,7) запишется в виде: y’’ + p y’ + q y = (5.8) В этом случае частное реш-е ищем в виде: = Qn (x) (5.9) где r – число = кратности α как корня характеристического ур-я + p k + q = 0,т.е. r – число,показывающее сколько раз α явл-я корнем ур-я + p k + q = 0, При этом Qn (x) = + + …. + A n –многочлен степени n, записанный с неопределёнными коэффициентами Ai (i= 0, 1, 2,…n) А) Пусть α не является корнем характеристического ур-я: + p k + q = 0,т.е. α , r = 0 и решение ищем в виде = Q n (x) Б) Пусть α является однократным(простым) корнем характеристического ур-я + p k + q = 0, α = r = 1, = x Q n (x) В) Пусть α = является 2-хкратным корнем характеристического ур-я + p k + q = 0 , r = 2 = Q n (x) Случай 2: Правая часть (5.7) имеет вид:f(x) = () cosβx + Q m (x) sin β (x) ,Где )и Qm (x) многочлены степени n и m соответственно, α и β - действительного числа, тогда ур-е (5.7) запишется в виде y’’ + py’ + qy = () cosβx + Qm (x) sinxβ) (5.10) В это случае частное решение: = * (Ml (x) cosβx + N l (x) sin βx) (5.11) r-число равное кратности (α + βi) как корня уравнения: + pk + q = 0, Me (x) и Ne (x)-многочлены степени l с неопределёнными коэффициентами. l –наивысшая степень многочленов )и Qm (x), l =max(n,m). Замечание 1: После подстановки функции (5.11) в (5.10) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригоном. функциями в левой и правой частях ур-я. Замечание 2 : Формула (5.11) сохраняется и при ) 0 и Qm (x) 0. Замечание 3 : Если правая часть ур-я (5.7) есть сумма функций вида 1 и 2 , то для нахождения следует использовать теорему (5.2) о наложении решений. Теорема (5.2) : о наложении решений: Если правые части ур-я (5.1) представляют собой сумму 2-х функций:f(x) = (x) + (x) ,а u - частные решения ур-я + (x) y ‘ + (x) y = (x) + (x) y ‘ + (x) y = (x)То является решение данного ур-я. Интегрирование ЛНДУ п-го порядка (n постоянным коэффициентом и правой частью специального вида. Рассмотрим ЛНДУ n-го порядка + (x) + (x) + … + (x)y = f(x) где (x) , …, (x) , f(x) заданы непрерывной функцией на интервале (а, b) . Соотв. однородное ур-е + (x) + … + (x)y = 0. Общее решение y ЛНДУ n-го порядка = сумме частного решения НУ и общего решения ОУy= . может быть найдено если известно общее решение ОУ = + + … + гдеyi(x) – частное реш-е образующее фундаментальную систему решений ОУ.Для нахождения Сi(x)составляется система ур-й + + … + = 0 + + … + = 0 + + … + = 0 + + … + = f (x)Однако для ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть f(x) которого имеет специальный вид, можно найти методом неопределенных коэф-в.Метод подбора частного решения для уравнения y’’ + + … + y = f (x) R,где f (x) квазиполином Эйлера тот же что и при n=2.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:

• метод вариации постоянной (Лагранжа).

Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.

Метод вариации постоянной (Лагранжа)

В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.

Рассмотрим уравнение:
(1)

Шаг 1 Решение однородного уравнения

Ищем решение однородного уравнения:

Это уравнение с разделяющимися переменными

Разделяем переменные - умножаем на dx , делим на y :

Интегрируем:

Интеграл по y - табличный :

Тогда

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1 , которую включим в C :

Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию

Теперь заменим постоянную C на функцию от x :
C → u(x)
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1) в виде:
(2)
Находим производную.

По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:

.
Подставляем в исходное уравнение (1) :
(1) ;

.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2) :
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа

Решить уравнение

Решение

Решаем однородное уравнение:

Разделяем переменные:

Умножим на :

Интегрируем:

Интегралы табличные :

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и убираем знаки модуля:

Отсюда:

Заменим постоянную C на функцию от x :
C → u(x)

Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.