Расчет коэффициента регрессии. Коэффициенты регрессии

При наличии корреляционной связи между факторными и результативными признаками врачам нередко приходится устанавливать, на какую величину может измениться значение одного признака при изменении другого на общепринятую или установленную самим исследователем единицу измерения.

Например, как изменится масса тела школьников 1-го класса (девочек или мальчиков), если рост их увеличится на 1 см. В этих целях применяется метод регрессионного анализа.

Наиболее часто метод регрессионного анализа применяется для разработки нормативных шкал и стандартов физического развития.

Определение регрессии . Регрессия - функция, позволяющая по средней величине одного признака определить среднюю величину другого признака, корреляционно связанного с первым.
С этой целью применяется коэффициент регрессии и целый ряд других параметров. Например, можно рассчитать число простудных заболеваний в среднем при определенных значениях среднемесячной температуры воздуха в осенне-зимний период.
Определение коэффициента регрессии . Коэффициент регрессии - абсолютная величина, на которую в среднем изменяется величина одного признака при изменении другого связанного с ним признака на установленную единицу измерения.
Формула коэффициента регрессии . R у/х = r ху x (σ у / σ x)
где R у/х - коэффициент регрессии;
r ху - коэффициент корреляции между признаками х и у;
(σ у и σ x) - среднеквадратические отклонения признаков x и у.
В нашем примере ;
σ х = 4,6 (среднеквадратическое отклонение температуры воздуха в осенне-зимний период;
σ у = 8,65 (среднеквадратическое отклонение числа инфекционно-простудных заболеваний).
Таким образом, R у/х - коэффициент регрессии.
R у/х = -0,96 х (4,6 / 8,65) = 1,8, т.е. при снижении среднемесячной температуры воздуха (x) на 1 градус среднее число инфекционно-простудных заболеваний (у) в осенне-зимний период будет изменяться на 1,8 случаев.
Уравнение регрессии . у = М у + R y/x (х - М x)
где у - средняя величина признака, которую следует определять при изменении средней величины другого признака (х);
х - известная средняя величина другого признака;
R y/x - коэффициент регрессии;
М х, М у - известные средние величины признаков x и у.
Например, среднее число инфекционно-простудных заболеваний (у) можно определить без специальных измерений при любом среднем значении среднемесячной температуры воздуха (х). Так, если х = - 9°, R у/х = 1,8 заболеваний, М х = -7°, М у = 20 заболеваний, то у = 20 + 1,8 х (9-7) = 20 + 3,6 = 23,6 заболеваний.
Данное уравнение применяется в случае прямолинейной связи между двумя признаками (х и у).
Назначение уравнения регрессии . Уравнение регрессии используется для построения линии регрессии. Последняя позволяет без специальных измерений определить любую среднюю величину (у) одного признака, если меняется величина (х) другого признака. По этим данным строится график - линия регрессии , по которой можно определить среднее число простудных заболеваний при любом значении среднемесячной температуры в пределах между расчетными значениями числа простудных заболеваний.
Сигма регрессии (формула) .
где σ Rу/х - сигма (среднеквадратическое отклонение) регрессии;
σ у - среднеквадратическое отклонение признака у;
r ху - коэффициент корреляции между признаками х и у.
Так, если σ у - среднеквадратическое отклонение числа простудных заболеваний = 8,65; r ху - коэффициент корреляции между числом простудных заболеваний (у) и среднемесячной температурой воздуха в осенне-зимний период (х) равен - 0,96, то
Назначение сигмы регрессии . Дает характеристику меры разнообразия результативного признака (у).
Например, характеризует разнообразие числа простудных заболеваний при определенном значении среднемесячной температуры воздуха в осеннне-зимний период. Так, среднее число простудных заболеваний при температуре воздуха х 1 = -6° может колебаться в пределах от 15,78 заболеваний до 20,62 заболеваний.
При х 2 = -9° среднее число простудных заболеваний может колебаться в пределах от 21,18 заболеваний до 26,02 заболеваний и т.д.
Сигма регрессии используется при построении шкалы регрессии, которая отражает отклонение величин результативного признака от среднего его значения, отложенного на линии регрессии.
Данные, необходимые для расчета и графического изображения шкалы регрессии
- коэффициент регрессии - R у/х;
- уравнение регрессии - у = М у + R у/х (х-М x);
- сигма регрессии - σ Rx/y
Последовательность расчетов и графического изображения шкалы регрессии .
- определить коэффициент регрессии по формуле (см. п. 3). Например, следует определить, насколько в среднем будет меняться масса тела (в определенном возрасте в зависимости от пола), если средний рост изменится на 1 см.
- по формуле уравнения регрессии (см п. 4) определить, какой будет в среднем, например, масса тела (у, у 2 , у 3 ...)* для определеного значения роста (х, х 2 , х 3 ...).
  ________________
  * Величину "у" следует рассчитывать не менее чем для трех известных значений "х".
  При этом средние значения массы тела и роста (М х, и М у) для определенного возраста и пола известны
- вычислить сигму регрессии, зная соответствующие величины σ у и r ху и подставляя их значения в формулу (см. п. 6).
- на основании известных значений х 1 , х 2 , х 3 и соответствующих им средних значений у 1 , у 2 у 3 , а также наименьших (у - σ rу/х)и наибольших (у + σ rу/х) значений (у) построить шкалу регрессии.
  Для графического изображения шкалы регрессии на графике сначала отмечаются значения х, х 2 , х 3 (ось ординат), т.е. строится линия регрессии, например зависимости массы тела (у) от роста (х).
  Затем в соответствующих точках у 1 , y 2 , y 3 отмечаются числовые значения сигмы регрессии, т.е. на графике находят наименьшее и наибольшее значения у 1 , y 2 , y 3 .
Практическое использование шкалы регрессии . Разрабатываются нормативные шкалы и стандарты, в частности по физическому развитию. По стандартной шкале можно дать индивидуальную оценку развития детей. При этом физическое развитие оценивается как гармоничное, если, например, при определенном росте масса тела ребенка находится в пределах одной сигмы регрессии к средней расчетной единице массы тела - (у) для данного роста (x) (у ± 1 σ Ry/x).
Физическое развитие считается дисгармоничным по массе тела, если масса тела ребенка для определенного роста находится в пределах второй сигмы регрессии: (у ± 2 σ Ry/x)
Физическое развитие будет резко дисгармоничным как за счет избыточной, так и за счет недостаточной массы тела, если масса тела для определенного роста находится в пределах третьей сигмы регрессии (у ± 3 σ Ry/x).

По результатам статистического исследования физического развития мальчиков 5 лет известно, что их средний рост (х) равен 109 см, а средняя масса тела (у) равна 19 кг. Коэффициент корреляции между ростом и массой тела составляет +0,9, средние квадратические отклонения представлены в таблице.

Требуется:

рассчитать коэффициент регрессии;
по уравнению регрессии определить, какой будет ожидаемая масса тела мальчиков 5 лет при росте, равном х1 = 100 см, х2 = 110 см, х3= 120 см;
рассчитать сигму регрессии, построить шкалу регрессии, результаты ее решения представить графически;
сделать соответствующие выводы.

Условие задачи и результаты ее решения представлены в сводной таблице.

Таблица 1

Условия задачи				Pезультаты решения задачи
Условия задачи				уравнение регрессии			сигма регрессии	шкала регрессии (ожидаемая масса тела (в кг))
	М	σ	r ху	R у/x	х	У	σ R x/y	y - σ Rу/х	y + σ Rу/х
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Рост (х)	109 см	± 4,4см	+0,9	0,16	100см	17,56 кг	± 0,35 кг	17,21 кг	17,91 кг
Масса тела (y)	19 кг	± 0,8 кг			110 см	19,16 кг		18,81 кг	19,51 кг
Масса тела (y)	19 кг	± 0,8 кг			120 см	20,76 кг		20,41 кг	21,11 кг

Решение .

Вывод. Таким образом, шкала регрессии в пределах расчетных величин массы тела позволяет определить ее при любом другом значении роста или оценить индивидуальное развитие ребенка. Для этого следует восстановить перпендикуляр к линии регрессии.

Власов В.В. Эпидемиология. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. - 464 с.
Лисицын Ю.П. Общественное здоровье и здравоохранение. Учебник для вузов. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2007. - 512 с.
Медик В.А., Юрьев В.К. Курс лекций по общественному здоровью и здравоохранению: Часть 1. Общественное здоровье. - М.: Медицина, 2003. - 368 с.
Миняев В.А., Вишняков Н.И. и др. Социальная медицина и организация здравоохранения (Руководство в 2 томах). - СПб, 1998. -528 с.
Кучеренко В.З., Агарков Н.М. и др.Социальная гигиена и организация здравоохранения (Учебное пособие) - Москва, 2000. - 432 с.
С. Гланц. Медико-биологическая статистика. Пер с англ. - М., Практика, 1998. - 459 с.

Основы анализа данных.

Типичной задачей, возникающей на практике, является определение зависимостей или связей между переменными. В реальной жизни переменные связаны друг с другом . Например, в маркетинге количество денег, вложенных в рекламу, влияет на объемы продаж; в медицинских исследованиях доза лекарственного препарата влияет на эффект; в текстильном производстве качество окрашивания ткани зависит от температуры, влажности и др. параметров; в металлургии качество стали зависит от специальных добавок и т.д. Найти зависимости в данных и использовать их в своих целях - задача анализа данных.

Предположим, вы наблюдаете значения пары переменных X и Y и хотите найти зависимость между ними. Например:

X - количество посетителей интернет магазина, Y - объем продаж;

X - диагональ плазменной панели, Y - цена;

X - цена покупки акции, Y- цена продажи;

X - стоимость алюминия на Лондонской бирже, Y – объемы продаж;

X - количеством прорывов на нефтепроводах, Y - величина потерь;

X - «возраст» самолета, Y - расходы на его ремонт;

X - торговая площадь, Y - оборот магазина;

X - доход, Y - потребление и т. д.

Переменная X обычно носит название независимой переменной (англ. independent variable), переменная Y называется зависимой переменной (англ. dependent variable). Иногда переменную X называют предиктором, переменную Y - откликом.

Мы хотим определить именно зависимость от X или предсказать, какими будут значения Y при данных значениях X. В данном случае мы наблюдаем значения X и соответствующие им значения Y. Задача состоит в том, чтобы построить модель, позволяющую по значениям X, отличным от наблюдаемых, определить Y. В статистике подобные задачи решаются в рамках регрессионного анализа.

Существуют различные регрессионные модели , определяемые выбором функции f(x 1 ,x 2 ,…,x m):

1) Простая линейная регрессия

2) Множественная регрессия

3) Полиномиальная регрессия

Коэффициенты называются параметрами регрессии.

Основная особенность регрессионного анализа: при его помощи можно получить конкретные сведения о том, какую форму и характер имеет зависимость между исследуемыми переменными.

Последовательность этапов регрессионного анализа

1. Формулировка задачи. На этом этапе формируются предварительные гипотезы о зависимости исследуемых явлений.

2. Определение зависимых и независимых (объясняющих) переменных.

3. Сбор статистических данных. Данные должны быть собраны для каждой из переменных, включенных в регрессионную модель.

4. Формулировка гипотезы о форме связи (простая или множественная, линейная или нелинейная).

5. Определение функции регрессии (заключается в расчете численных значений параметров уравнения регрессии)

6. Оценка точности регрессионного анализа.

7. Интерпретация полученных результатов. Полученные результаты регрессионного анализа сравниваются с предварительными гипотезами. Оценивается корректность и правдоподобие полученных результатов.

8. Предсказание неизвестных значений зависимой переменной.

При помощи регрессионного анализа возможно решение задачи прогнозирования и классификации. Прогнозные значения вычисляются путем подстановки в уравнение регрессии параметров значений объясняющих переменных. Решение задачи классификации осуществляется таким образом: линия регрессии делит все множество объектов на два класса, и та часть множества, где значение функции больше нуля, принадлежит к одному классу, а та, где оно меньше нуля, - к другому классу.

Основные задачи регрессионного анализа: установление формы зависимости, определение функции регрессии, оценка неизвестных значений зависимой переменной.

Линейная регрессия

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

Или . (1.1)

x - называется независимой переменной или предиктором.

Y – зависимая переменная или переменная отклика. Это значение, которое мы ожидаем для y (в среднем), если мы знаем величину x , т.е. это «предсказанное значение y »

· a – свободный член (пересечение) линии оценки; это значение Y , когда x=0 (Рис.1).

· b – угловой коэффициент или градиент оценённой линии; она представляет собой величину, на которую Y увеличивается в среднем, если мы увеличиваем x на одну единицу.

· a и b называют коэффициентами регрессии оценённой линии, хотя этот термин часто используют только для b .

· e - ненаблюдаемые случайные величины со средним 0, или их еще называют ошибками наблюдений, предполагается что ошибки не коррелированы между собой.

Рис.1. Линия линейной регрессии, показывающая пересечение a и угловой коэффициент b (величину возрастания Y при увеличении x на одну единицу)

Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора х иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора х . На графике теоретические значения представляют линию регрессии.

В большинстве случав (если не всегда) наблюдается определенный разброс наблюдений относительно регрессионной прямой.

Теоретической линией регрессии называется та линия, вокруг которой группируются точки корреляционного поля и которая указывает основное направление, основную тенденцию связи.

Важным этапом регрессионного анализа является определение типа функции, с помощью которой характеризуется зависимость между признаками. Главным основанием для выбора вида уравнения должен служить содержательный анализ природы изучаемой зависимости, ее механизма.

Для нахождения параметров а и b уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов (МНК) . При применении МНК для нахождения такой функции, которая наилучшим образом соответствует эмпирическим данным, считается, что сумма квадратов отклонений (остаток) эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

Подгонка оценивается, рассматривая остатки (вертикальное расстояние каждой точки от линии, например, остаток = наблюдаемому y – предсказанный y , Рис. 2).

Линию лучшей подгонки выбирают так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной.

Рис. 2. Линия линейной регрессии с изображенными остатками (вертикальные пунктирные линии) для каждой точки.

После несложных преобразований получим систему нормальных уравнений способа наименьших квадратов для определения величины параметров a и b уравнения прямолинейной корреляционной связи по эмпирическим данным:

. (1.2)

Решая данную систему уравнений относительно b , получим следующую формулу для определения этого параметра:

(1.3)

Где и - средние значения y, x.

Значение параметра а получим, разделив обе части первого уравнения в данной системе на n :

Параметр b в уравнении называют коэффициентом регрессии. При наличии прямой корреляционной зависимости коэффициент регрессии имеет положительное значение, а в случае обратной зависимости коэффициент регрессии – отрицательный.

Если знак при коэффициенте регрессии - положительный, связь зависимой переменной с независимой будет положительной.

Если знак при коэффициенте регрессии - отрицательный, связь зависимой переменной с независимой является отрицательной (обратной).

Коэффициент регрессии показывает, на сколько в среднем изменяется величина результативного признака y при изменении факторного признака х на единицу, геометрический коэффициент регрессии представляет собой наклон прямой линии, изображающей уравнение корреляционной зависимости, относительно оси х (для уравнения ).

Из-за линейного соотношения и мы ожидаем, что изменяется, по мере того как изменяется , и называем это вариацией, которая обусловлена или объясняется регрессией. Остаточная вариация должна быть как можно меньше.

Если это так, то большая часть вариации будет объясняться регрессией, а точки будут лежать близко к линии регрессии, т.е. линия хорошо соответствует данным.

Количественной характеристикой степени линейной зависимости между случайными величинами X и Y является коэффициент корреляции r ( Показатель тесноты связи между двумя признаками) .

Коэффициент корреляции:

где x - значение факторного признака;

y - значение результативного признака;

n - число пар данных.

Рис.3 - Варианты расположения «облака» точек

Если коэффициент корреляции r=1 , то между X и Y имеет место функциональная линейная зависимость, все точки (x i ,y i) будут лежать на прямой.

Если коэффициент корреляции r=0 (r~0) , то говорят, что X и Y некоррелированы, т.е. между ними нет линейной зависимости.

Связь между признаками (по шкале Чеддока) может быть сильной, средней и слабой. Тесноту связи определяют по величине коэффициента корреляции, который может принимать значения от -1 до +1 включительно . Критерии оценки тесноты связи показаны на рис. 1.

Рис. 4. Количественные критерии оценки тесноты связи

Любая зависимость между переменными обладает двумя важными свойствами: величиной и надежностью. Чем сильнее зависимость между двумя переменными, тем больше величина зависимости и тем легче предсказать значение одной переменной по значению другой переменной. Величину зависимости легче измерить, чем надежность.

Надежность зависимости не менее важна, чем ее величина. Это свойство связано с представительностью исследуемой выборки. Надежность зависимости характеризует, насколько вероятно, что эта зависимость будет снова найдена на других данных.

С ростом величины зависимости переменных ее надежность обычно возрастает.

Долю общей дисперсии , которая объясняется регрессией называют коэффициентом детерминации , обычно выражают через процентное соотношение и обозначают R 2 (в парной линейной регрессии это величина r 2 , квадрат коэффициента корреляции), позволяет субъективно оценить качество уравнения регрессии.

Коэффициент детерминации измеряет долю разброса относительно среднего значения, которую «объясняет» построенная регрессия. Коэффициент детерминации лежит в пределах от 0 до 1. Чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем лучше регрессия «объясняет» зависимость в данных, значение близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели. Коэффициент детерминации может максимально приближаться к 1, если все предикторы различны.

Разность представляет собой процент дисперсии, который нельзя объяснить регрессией.

Множественная регрессия

Множественная регрессия применяется в ситуациях, когда из множества факторов, влияющих на результативный признак, нельзя выделить один доминирующий фактор и необходимо учитывать влияние нескольких факторов. Например, объем выпуска продукции определяется величиной основных и оборотных средств, численностью персонала, уровнем менеджмента и т. д., уровень спроса зависит не только от цены, но и от имеющихся у населения денежных средств.

Основная цель множественной регрессии – построить модель с несколькими факторами и определить при этом влияние каждого фактора в отдельности, а также их совместное воздействие на изучаемый показатель.

Множественной регрессией называют уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

Использование графического метода .
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции .
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x i и y i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε i , а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид:

10a + 356b = 49
356a + 2135b = 9485

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 68.16, a = 11.17

Уравнение регрессии :
y = 68.16 x - 11.17

1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

Выборочные дисперсии.

Среднеквадратическое отклонение

1.1. Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока :
0.1 < r xy < 0.3: слабая;
0.3 < r xy < 0.5: умеренная;
0.5 < r xy < 0.7: заметная;
0.7 < r xy < 0.9: высокая;
0.9 < r xy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма высокая и прямая.

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 68.16 x -11.17
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл. Коэффициент уравнения регрессии показывает, на сколько ед. изменится результат при изменении фактора на 1 ед.
Коэффициент b = 68.16 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 68.16.
Коэффициент a = -11.17 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Но если х=0 находится далеко от выборочных значений x , то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения x , можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между у и x определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты. Коэффициент эластичности находится по формуле:

Он показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Он не учитывает степень колеблемости факторов.
В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами - Х существенно влияет на Y.
Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего Y на 0.9796 среднеквадратичного отклонения этого показателя.

1.4. Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

1.6. Коэффициент детерминации.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R 2 = 0.98 2 = 0.9596
т.е. в 95.96 % случаев изменения x приводят к изменению у. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 4.04 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

x	y	x 2	y 2	x y	y(x)	(y i -y cp) 2	(y-y(x)) 2	(x i -x cp) 2	\|y - y x \|:y
0.371	15.6	0.1376	243.36	5.79	14.11	780.89	2.21	0.1864	0.0953
0.399	19.9	0.1592	396.01	7.94	16.02	559.06	15.04	0.163	0.1949
0.502	22.7	0.252	515.29	11.4	23.04	434.49	0.1176	0.0905	0.0151
0.572	34.2	0.3272	1169.64	19.56	27.81	87.32	40.78	0.0533	0.1867
0.607	44.5	.3684	1980.25	27.01	30.2	0.9131	204.49	0.0383	0.3214
0.655	26.8	0.429	718.24	17.55	33.47	280.38	44.51	0.0218	0.2489
0.763	35.7	0.5822	1274.49	27.24	40.83	61.54	26.35	0.0016	0.1438
0.873	30.6	0.7621	936.36	26.71	48.33	167.56	314.39	0.0049	0.5794
2.48	161.9	6.17	26211.61	402	158.07	14008.04	14.66	2.82	0.0236
7.23	391.9	9.18	33445.25	545.2	391.9	16380.18	662.54	3.38	1.81

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=7 находим t крит:
t крит = (7;0.05) = 1.895
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
Если t набл > t критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t набл > t крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим
В парной линейной регрессии t 2 r = t 2 b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S 2 y = 94.6484 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).
S y = 9.7287 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
S a - стандартное отклонение случайной величины a.

S b - стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения.
Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.
Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя. (a + bx p ± ε)
где

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X p = 1 (-11.17 + 68.16*1 ± 6.4554)
(50.53;63.44)

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X .
(a + bx i ± ε)
где

x i	y = -11.17 + 68.16x i	ε i	y min	y max
0.371	14.11	19.91	-5.8	34.02
0.399	16.02	19.85	-3.83	35.87
0.502	23.04	19.67	3.38	42.71
0.572	27.81	19.57	8.24	47.38
0.607	30.2	19.53	10.67	49.73
0.655	33.47	19.49	13.98	52.96
0.763	40.83	19.44	21.4	60.27
0.873	48.33	19.45	28.88	67.78
2.48	158.07	25.72	132.36	183.79

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Проверим гипотезу H 0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H 1 не равно) на уровне значимости α=0.05.
t крит = (7;0.05) = 1.895

Поскольку 12.8866 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 2.0914 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b - t крит S b ; b + t крит S b)
(68.1618 - 1.895 5.2894; 68.1618 + 1.895 5.2894)
(58.1385;78.1852)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
(a - t a)
(-11.1744 - 1.895 5.3429; -11.1744 + 1.895 5.3429)
(-21.2992;-1.0496)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

2) F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с lang=EN-US>n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H 0: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=7, Fkp = 5.59
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Проверка на наличие автокорреляции остатков .
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция , нежели отрицательная автокорреляция . В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию , можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности : выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.

Обнаружение автокорреляции

1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения e i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения e i (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скоре всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости e i от e i-1 .

Критерий Дарбина-Уотсона .
Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.
При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин e i .

y	y(x)	e i = y-y(x)	e 2	(e i - e i-1) 2
15.6	14.11	1.49	2.21	0
19.9	16.02	3.88	15.04	5.72
22.7	23.04	-0.3429	0.1176	17.81
34.2	27.81	6.39	40.78	45.28
44.5	30.2	14.3	204.49	62.64
26.8	33.47	-6.67	44.51	439.82
35.7	40.83	-5.13	26.35	2.37
30.6	48.33	-17.73	314.39	158.7
161.9	158.07	3.83	14.66	464.81
			662.54	1197.14

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:

Критические значения d 1 и d 2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 9 и количества объясняющих переменных m=1.
Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:
d 1 < DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.

КОЭФФИЦИЕНТ РЕГРЕССИИ

- англ. coefficient, regression; нем. Regressionskoeffizient. Одна из характеристик связи между зависимой у и независимой переменной х. К. р. показывает, на сколько единиц увеличивается значение, принимаемое у, если переменная х изменится на единицу своего изменения. Геометрически К. р. является угловым коэффициентом наклона прямой линии у.

Antinazi. Энциклопедия социологии , 2009

Смотреть что такое "КОЭФФИЦИЕНТ РЕГРЕССИИ" в других словарях:

коэффициент регрессии - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN regression coefficient … Справочник технического переводчика

Коэффициент регрессии - 35. Коэффициент регрессии Параметр модели регрессионного анализа Источник: ГОСТ 24026 80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения …

коэффициент регрессии - Коэффициент при независимой переменной в уравнении регрессии … Словарь социологической статистики

КОЭФФИЦИЕНТ РЕГРЕССИИ - англ. coefficient, regression; нем. Regressionskoeffizient. Одна из характеристик связи между зависимой у и независимой переменной х. К. р. показывает, на сколько единиц увеличивается значение, принимаемое у, если переменная х изменится на… … Толковый словарь по социологии

выборочный коэффициент регрессии - 2.44. выборочный коэффициент регрессии Коэффициент при переменной в уравнении кривой или поверхности регрессии Источник: ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Частный коэффициент регрессии - статистическая мера, обозначающая степень влияния независимой переменной на зависимую в ситуации, когда взаимовлияние всех остальных переменных в модели находится под контролем исследователя … Социологический словарь Socium

РЕГРЕССИИ, ВЕС - Синоним понятия коэффициент регрессии … Толковый словарь по психологии

КОЭФФИЦИЕНТ НАСЛЕДУЕМОСТИ - Показатель относительной доли генетической изменчивости в общей фенотипической вариации признака. Наиболее распространены следующие методы оценки наследуемости хозяйственно полезных признаков: где h2 коэффициент наследуемости; r внутриклассовая… … Термины и определения, используемые в селекции, генетике и воспроизводстве сельскохозяйственных животных

- (R квадрат) это доля дисперсии зависимой переменной, объясняемая рассматриваемой моделью зависимости, то есть объясняющими переменными. Более точно это единица минус доля необъяснённой дисперсии (дисперсии случайной ошибки модели, или условной… … Википедия

Коэффициент при независимой переменной в уравнении регрессии. Так, напр., в уравнении линейной регрессии, связывающей случайные величины Yи X, Р. к. b0 и b1 равны: где r корреляции коэффициент X и Y, . Вычисление оценок Р. к. (в ы б о р о ч н… … Математическая энциклопедия

Книги

Введение в эконометрику (CDpc) , Яновский Леонид Петрович, Буховец Алексей Георгиевич. Даны основы эконометрики и статистического анализа одномерных временных рядов. Большое внимание уделено классической парной и множественной регрессии, классическому и обобщенному методам…
Скорочтение. Эффективный тренажер (CDpc) , . Программа адресована пользователям, желающим в кратчайшие сроки овладеть методикой скоростного чтения. Курс построен по принципу "теория - практика" . Теоретический материал и практические…

Коэффициенты регрессии показывают интенсивность влияния факторов на результативный показатель. Если проведена предварительная стандартизация факторных показателей, то b 0 равняется среднему значению результативного показателя в совокупности. Коэффициенты b 1 , b 2 , ..., b n показывают, на сколько единиц уровень результативного показателя отклоняется от своего среднего значения, если значения факторного показателя отклоняются от среднего, равного нулю, на одно стандартное отклонение. Таким образом, коэффициенты регрессии характеризуют степень значимости отдельных факторов для повышения уровня результативного показателя. Конкретные значения коэффициентов регрессии определяют по эмпирическим данным согласно методу наименьших квадратов (в результате решения систем нормальных уравнений).

Линия регрессии - линия, которая точнее всего отражает распределение экспериментальных точек на диаграмме рассеяния и крутизна наклона которой характеризует зависимость между двумя интервальными переменными.

Линия регрессии чаще всего ищется в виде линейной функции (линейная регрессия), наилучшим образом приближающей искомую кривую. Делается это с помощью метода наименьших квадратов, когда минимизируется сумма квадратов отклонений реально наблюдаемых от их оценок (имеются в виду оценки с помощью прямой линии, претендующей на то, чтобы представлять искомую регрессионную зависимость):

(M - объём выборки). Этот подход основан на том известном факте, что фигурирующая в приведённом выражении сумма принимает минимальное значение именно для того случая, когда .
57. Основные задачи теории корреляции.

Теория корреляции представляет собой аппарат, оценивающий тесноту связей между явлениями, которые находятся не только в причинно-следственных отношениях. С помощью теории корреляции оцениваются стохастические, но не причинные связи. Автором совместно с Лукацкой М. Л. предпринята попытка получить оценки для причинных связей. Однако вопрос о причинно-следственных отношениях явлений, о том, как опознать причину и следствие, остается открытым, и кажется, что на формальном уровне он принципиально не разрешим.

Теория корреляции и ее применен к анализу производства.

Теория корреляции, являющаяся одним из разделов математической статистики, позволяет сделать обоснованные предположения о возможных пределах, в которых с известной степенью надежности будет находиться исследуемый параметр, если другие статистически связанные с ним параметры получат определенные значения.

В теории корреляции принято выделять две основные задачи .

Первая задача теории корреляции - установить форму корреляционной связи, т.е. вид функции регрессии (линейная, квадратичная и т.д.).

Вторая задача теории корреляции - оценить тесноту (силу) корреляционной связи.

Теснота корреляционной связи (зависимости) У на X оценивается по величине рассеивания значений У вокруг условного среднего. Большое рассеивание свидетельствует о слабой зависимости У от X, малое рассеивание указывает на наличие сильной зависимости.
58. Корреляционная таблица и ее числовые характеристики.

На практике в результате независимых наблюдений над величинами X и Y, как правило, имеют дело не со всей совокупностью всех возможных пар значений этих величин, а лишь с ограниченной выборкой из генеральной совокупности, причем объем n выборочной совокупности определяется как количество имеющихся в выборке пар.

Пусть величина Х в выборке принимает значения x 1 , x 2 ,....x m , где количество различающихся между собой значений этой величины, причем в общем случае каждое из них в выборке может повторяться. Пусть величина Y в выборке принимает значения y 1 , y 2 ,....y k , где k - количество различающихся между собой значений этой величины, причем в общем случае каждое из них в выборке также может повторяться. В этом случае данные заносят в таблицу с учетом частот встречаемости. Такую таблицу с группированными данными называют корреляционной.

Первым этапом статистической обработки результатов является составление корреляционной таблицы.

Y\X	x 1	x 2	...	x m	n y
y 1	n 12	n 21		n m1	n y1
y 2		n 22		n m2	n y2
...
y k	n 1k	n 2k		n mk	n yk
n x	n x1	n x2		n xm	n

В первой строке основной части таблицы в порядке возрастания перечисляются все встречающиеся в выборке значения величины X. В первом столбце также в порядке возрастания перечисляются все встречающиеся в выборке значения величины Y. На пересечении соответствующих строк и столбцов указываются частоты n ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,k) равные количеству появлений пары (x i ;y i) в выборке. Например, частота n 12 представляет собой количество появлений в выборке пары (x 1 ;y 1).

Так же n xi n ij , 1≤i≤m, сумма элементов i-го столбца, n yj n ij , 1≤j≤k, - сумма элементов j-ой строки и n xi = n yj =n

Аналоги формул, полученные по данным корреляционной таблицы, имеют вид:

59. Эмпирическая и теоретическая линии регрессии.

Теоретическая линия регрессии может быть рассчитана в этом случае по результатам отдельных наблюдений. Для решения системы нормальных уравнений нам потребуются те же данные: х, у, ху и хг. Мы располагаем данными об объеме производства цемента и объеме основных производственных фондов в 1958 г. Ставится задача: исследовать зависимость между объемом производства цемента (в натуральном выражении) и объемом основных фондов. [1 ]

Чем меньше теоретическая линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической (эмпиричной), тем меньше средняя ошибка аппроксимации.

Процесс нахождения теоретической линии регрессии представляет собой выравнивание эмпирической линии регрессии на основе метода наименьших квадратов.

Процесс нахождения теоретической линии регрессии называется выравниванием эмпирической линии регрессии и заключается в выборе и обосновании типа; кривой и расчете параметров ее уравнения.

Эмпирическая регрессия строится по данным аналитической или комбинационной группировок и представляет собой зависимость групповых средних значений признака-результата от групповых средних значений признака-фактора. Графическим представлением эмпирической регрессии – ломаная линия, составленная из точек, абсциссами которых являются групповые средние значения признака-фактора, а ординатами – групповые средние значения признака-результата. Число точек равно числу групп в группировке.

Эмпирическая линия регрессии отражает основную тенденцию рассматриваемой зависимости. Если эмпирическая линия регрессии по своему виду приближается к прямой линии, то можно предположить наличие прямолинейной корреляционной связи между признаками. А если линия связи приближается к кривой, то это может быть связано с наличием криволинейной корреляционной связи.
60. Выборочные коэффициенты корреляции и регрессии.

Если зависимость между признаками на графике указывает на линейную корреляцию, рассчитывают коэффициент корреляции r , который позволяет оценить тесноту связи переменных величин, а также выяснить, какая доля изменений признака обусловлена влиянием основного признака, какая – влиянием других факторов. Коэффициент варьирует в пределах от –1 до +1. Если r =0, то связь между признаками отсутствует. Равенство r =0 говорит лишь об отсутствии линейной корреляционной зависимости, но не вообще об отсутствии корреляционной, а тем более статистической зависимости. Если r = ±1, то это означает наличие полной (функциональной) связи. При этом все наблюдаемые значения располагаются на линии регрессии, которая представляет собой прямую.
Практическая значимость коэффициента корреляции определяется его величиной, возведенной в квадрат, получившая название коэффициента детерминации.
Регрессия, аппроксимируемая (приближенно описывающаяся) линейной функцией y = kX + b. Для регрессии У на X уравнение регрессии: `y x = ryx X + b; (1). Угловой коэффициент ryx прямой регрессии Y на X называется коэффициентом регрессии Y на X.

Если уравнение (1) отыскивается по выборочным данным, то оно называется выборочным уравнением регрессии . Соответственно, ryx - выборочный коэффициент регрессии Y на X, а b - выборочный свободный член уравнения. Коэффициент регрессии измеряет вариацию Y, приходящуюся на единицу вариации X. Параметры уравнения регрессии (коэффициенты ryx и b) находятся методом наименьших квадратов.
61. Оценка значимости коэффициента корреляции и тесноты корреляционной связи в генеральной совокупности

Значимость коэффициентов корреляции проверяемся по критерию Стьюдента:

где - среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции, которая определяется по формуле:

Если расчетное значение (выше табличного, то можно сделать заключение о том, что величина коэффициента корреляции является значимой. Табличные значения t находят по таблице значений критериев Стьюдента. При этом учитываются количество степеней свободы (V = п - 1)и уровень доверительной вероятности (в экономических расчетах обычно 0,05 или 0,01). В нашем примере количество степеней свободы равно: п - 1 = 40 - 1 = 39. При уровне доверительной вероятности Р = 0,05; t = 2,02. Поскольку (фактическое во всех случаях выше t-табличного, связь между результативным и факторными показателями является надежной, а величина коэффициентов корреляции - значимой.

Оценка коэффициента корреляции , вычисленная по ограниченной выборке, практически всегда отличается от нуля. Но из этого еще не следует, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от нуля. Требуется оценить значимость выборочной величины коэффициента или, в соответствии с постановкой задач проверки статистических гипотез, проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции. Если гипотеза Н 0 о равенстве нулю коэффициента корреляции будет отвергнута, то выборочный коэффициент значим, а соответствующие величины связаны линейным соотношением. Если гипотеза Н 0 будет принята, то оценка коэффициента не значима, и величины линейно не связаны друг с другом (если по физическим соображениям факторы могут быть связаны, то лучше говорить о том, что по имеющимся ЭД эта взаимосвязь не установлена). Проверка гипотезы о значимости оценки коэффициента корреляции требует знания распределения этой случайной величины. Распределение величины  ik изучено только для частного случая, когда случайные величины U j и U k распределены по нормальному закону.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы Н 0 применяют случайную величину . Если модуль коэффициента корреляции относительно далек от единицы, то величина t при справедливости нулевой гипотезы распределена по закону Стьюдента с n – 2 степенями свободы. Конкурирующая гипотеза Н 1 соответствует утверждению, что значение  ik не равно нулю (больше или меньше нуля). Поэтому критическая область двусторонняя.
62. Вычисление выборочного коэффициента корреляции и построение выборочного уравнения прямой линии регрессии.

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле

где - выборочные средние квадратические отклонения величин и .

Выборочный коэффициент корреляции показывает тесноту линейной связи между и : чем ближе к единице, тем сильнее линейная связь между и .

Простая линейная регрессия позволяет найти линейную зависимость между одной входной и одной выходной переменными. Для этого определяется уравнение регрессии - это модель, отражающая зависимость значений Y, зависимой величины Y от значений х, независимой переменной х и генеральной совокупности, описывается уровнением:

где А0 - свободный член уравнения регрессии;

А1 - коэффициент уравнения регрессии

Затем строится соответствующая прямая, называемая линией регрессии. Коэффициенты А0 и А1, называемые также параметрами модели, выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений точек, соответствующих реальным наблюдениям данных, от линии регрессии, была бы минимальной. Подбор коэффициентов производится по методу наименьших квадратов. Иными словами, простая линейная регрессия описывает линейную модель, которая наилучшим образом аппроксимирует зависимость между одной входной и одной выходной переменными.

КАТЕГОРИИ