Уравнение параболы. Каноническое уравнение параболы

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.

Лекция 17. Парабола.

Глава 17. Парабола.

п.1. Основные определения.

Определение. Параболой называется ГМТ плоскости равноудаленных от одной фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, и одной фиксированной прямой, называемой директрисой.

Определение. Расстояние от произвольной точки М плоскости до фокуса параболы называется фокальным радиусом точки М.

Обозначения: F– фокус параболы,r– фокальный радиус точки М,d– расстояние от точки М до директрисыD.

По определению параболы, точка М является точкой параболы тогда и только тогда, когда
.

По определению параболы, его фокус и директриса есть фиксированные объекты, поэтому расстояние от фокуса до директрисы есть величина постоянная для данной параболы.

Определение. Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется фокальным параметром параболы.

Обозначение:
.

Введем на данной плоскости систему координат, которую мы будем называть канонической для параболы.

Определение. Ось, проведенная через фокус параболы перпендикулярно директрисе называется фокальной осью параболы.

Построим каноническую для параболы ПДСК, см. рис.2.

В качестве оси абсцисс выбираем фокальную ось, направление на которой выбираем от директрисы к фокусу.

Ось ординат проводим через середину отрезка FNперпендикулярно фокальной оси. Тогда фокус имеет координаты
.

п.2. Каноническое уравнение параболы.

Теорема. В канонической для параболы системе координат уравнение параболы имеет вид:

. (1)

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на параболе удовлетворяют уравнению (1). На втором этапе мы докажем, что любое решение уравнения (1) дает координаты точки, лежащей на параболе. Отсюда будет следовать, что уравнению (1) удовлетворяют координаты тех и только тех точек координатной плоскости, которые лежат на параболе.

Отсюда и из определения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (1) является уравнением параболы.

1) Пусть точка М(х, у) является точкой параболы, т.е.

.

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на координатной плоскости и найдем по этой формуле фокальный радиус данной точки М:

.

Из рисунка 2 мы видим, что точка параболы не может иметь отрицательной абсциссы, т.к. в этом случае
. Поэтому
и
. Отсюда получаем равенство

.

Возведем обе части равенства в квадрат:

и после сокращения получаем:

.

2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (1) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.

Тогда подставляем равенство (1) в выражение для фокального радиуса точки М:

, откуда, по определению параболы, следует, что точка М(х, у) лежит на параболе.

Здесь мы воспользовались тем, что из равенства (1) следует, что
и, следовательно,
.

Теорема доказана.

Определение. Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы.

Определение. Начало канонической для параболы системы координат называется вершиной параболы.

п.3. Свойства параболы.

Теорема. (Свойства параболы.)

1. В канонической для параболы системе координат, в полосе

нет точек параболы.

2. В канонической для параболы системе координат вершина параболы О(0; 0) лежит на параболе.

3. Парабола является кривой, симметричной относительно фокальной оси.

Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения параболы.

3) Пусть М(х, у) – произвольная точка параболы. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнению (1). Но тогда координаты точки
также удовлетворяют уравнению (1), и, следовательно, эта точка также является точкой параболы, откуда и следует утверждение теоремы.

Теорема доказана.

п.4. Построение параболы.

В силу симметрии достаточно построить параболу в первой четверти, где она является графиком функции

,

а затем отобразить полученный график симметрично относительно оси абсцисс.

Строим график этой функции, учитывая, что данная функция является возрастающей на промежутке
.

п.5. Фокальный параметр гиперболы.

Теорема. Фокальный параметр параболы равен длине перпендикуляра к ее оси симметрии, восстановленного в фокусе параболы до пересечения с параболой.

Доказательство. Так как точка
является точкой пересечения параболы
с перпендикуляром
(см. рис.3), то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы:

.

Отсюда находим
, откуда и следует утверждение теоремы.

Теорема доказана.

п.6. Единое определение эллипса, гиперболы и параболы.

Используя доказанные свойства эллипса и гиперболы, и определение параболы можно дать единое для всех трех кривых определение.

Определение. ГМТ плоскости, для которых отношение расстояния до одной фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до одной фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, называется:

а) эллипсом, если эта постоянная величина меньше 1;

б) гиперболой, если эта постоянная величина больше 1;

в) параболой, если эта постоянная величина равна 1.

Эта постоянная величина, о которой идет речь в определении, называется эксцентриситетом и обозначается , расстояние от данной точки до фокуса есть ее фокальный радиусr, расстояние от данной точки до директрисы обозначается черезd.

Из определения следует, что те точки плоскости, для которых отношение есть величина постоянная образуют эллипс, гиперболу или параболу, взависимости от величины этого отношения.

Если
, то мы получаем эллипс, если
, то мы получаем гиперболу, если
, то мы получаем параболу.

п.7. Касательная к параболе.

Теорема. Пусть
– произвольная точка параболы

.

Тогда уравнение касательной к этой параболе

в точке
имеет вид:

. (2)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в первой четверти. Тогда уравнение параболы имеет вид:

и ее можно рассматривать как график функции
.

Воспользуемся уравнением касательной к графику функции
в точке
:

где
– значение производной данной функции в точке
.

Найдем производную функции
и ее значение в точке касания:

,
.

Здесь мы воспользовались тем, что точка касания
является точкой параболы и поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению параболы, т.е.

.

Подставляем найденное значение производной в уравнение касательной:

,

откуда получаем:

.

Так как точка
принадлежит параболе, то ее координаты удовлетворяют ее уравнению, т.е.
, откуда получаем

или
.

Отсюда следует

.

Теорема доказана.

п.8. Зеркальное свойство параболы.

Теорема. Касательная к параболе образует равные углы с ее осью симметрии и с фокальным радиусом точки касания.

Доказательство. Пусть
– точка касания,– ее фокальный радиус. Обозначим черезNточку пересечения касательной с осью абсцисс. Ордината точкиNравна нулю и точкаNлежит на касательной, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной. Подставляя координаты точкиNв уравнение касательной, получаем:

,

откуда абсцисса точки Nравна
.

Рассмотрим треугольник
. Докажем, что он равнобедренный.

Действительно,
. Здесь мы воспользовались равенством, полученным при выводе канонического уравнения параболы:

.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Отсюда

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Доказанную теорему можно сформулировать в виде зеркального свойства параболы.

Луч света, выпущенный из фокуса параболы, после отражения от зеркала параболы, идет параллельно оси симметрии параболы.

Действительно, так как угол падения луча на касательную равен углу отражения от нее, то угол между касательной и отраженным лучом равен углу между касательной и осью абсцисс, откуда следует, что отраженный луч параллелен оси абсцисс.

Замечание. Это свойство параболы получило широкое применение в технике. Если параболу вращать вокруг ее оси симметрии, то получим поверхность, которая называется параболоидом вращения. Если выполнить отражающую поверхность в форме параболоида вращения и в фокусе поместить источник света, то отраженные лучи идут параллельно оси симметрии параболоида. Так устроены прожектора и автомобильные фары. Если же в фокусе поместить устройство принимающее электромагнитные колебания (волны), то они отражаясь от поверхности параболоида попадают в это принимающее устройство. По такому принципу работают спутниковые тарелки.

Существует легенда, что в древности один полководец выстроил своих воинов вдоль берега, придав их строю форму параболы. Солнечный свет, отражаясь от начищенных до блеска щитов воинов собирался в пучок (в фокусе построенной параболы). Таким образом были сожжены корабли неприятеля. Некоторые источники приписывают это Архимеду. Так или иначе, но арабы называли параболоид вращения "зажигательным зеркалом".

Кстати, слово "focus" латинское и в переводе означает огонь, очаг. С помощью "зажигательного зеркала" можно в солнечный день разжечь костер и вскипятить воду. Так что становится понятным происхождение этого термина.

Слово "фокус" означает также некоторый трюк или хитрый прием. Раньше цирк назывался балаганом. Так еще балаганные артисты использовали зеркальное свойство эллипса и зажигая свет в одном фокусе эллипса они разжигали что-нибудь лекговоспламеняющее, помещенное в другом его фокусе. Это зрелище также стали называть фокусом. (Читайте замечательную книжку Виленкина Н.Я. "За страницами учебника математики")

п.9. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.

Пусть на плоскости дана точка F, которую мы назовем фокусом и прямаяD, которую мы назовем директрисой. Проведем через фокус прямую перпендикулярную директрисе (фокальная ось) и введем полярную систему координат. Полюс поместим в фокус, а в качестве полярного луча возьмем ту часть прямой, которая не пересекает директрису (см. рис.5).

Пусть точка М лежит на эллипсе, гиперболе или параболе. В дальнейшем будем называть зллипс гиперболу или параболу просто кривой.

Теорема. Пусть
– полярные координаты точки кривой (эллипса, гиперболы или параболы). Тогда

, (3)

где р – фокальный параметр кривой, – эксцентриситет кривой (для параболы полагаем
).

Доказательство. Пусть Q– проекция точки М на фокальную ось кривой, В – на директрису кривой. Пусть полярный уголточки М является тупым, как на рисунке 5. Тогда

,

где по построению,
– расстояние от точки М до директрисы,и

. (4)

С другой стороны, по единому определению эллипса, гиперболы и параболы отношение

(5)

равно эксцентриситету соответствующей кривой для любой точки М на данной кривой. Пусть точка
– точка пересечения кривой с перпендикуляром к фокальной оси, воостановленного в фокусеFи А – ее проекция на директрису. Тогда

, откуда
. Но
, откуда

и, подставляя в равенство (4), получаем

или, учитывая равенство (5),

откуда и следует доказываемое равенство (3).

Заметим, что равенство (4) остается верным и в случае, когда полярный угол точки М является острым, т.к. в этом случае точкаQнаходится правее фокусаFи

Теорема доказана.

Определение. Уравнение (3) называется полярным уравнением эллипса, гиперболы и параболы.

Определение 1

Парабола - это кривая, образованная геометрическим множеством точек, находящихся на одинаковом расстоянии от некой точки $F$, называемой фокусом и не лежащей ни на этой кривой, ни на прямой $d$.

То есть отношение расстояний от произвольной точки на параболе до фокуса и от этой же точки до директрисы всегда равно единице, это отношение называется эксцентриситетом.

Термин “эксцентриситет” также используется для гипербол и эллипсов.

Основные термины из канонического уравнения параболы

Точка $F$ называется фокусом параболы, а прямая $d$ - её директрисой.

Осью симметрии параболы называется прямая, проходящая через вершину параболы $O$ и её фокус $F$, так, что она образует прямой угол с директрисой $d$.

Вершиной параболы называется точка, расстояние от которой до директрисы минимальное. Эта точка делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.

Что из себя представляет каноническое уравнение параболы

Определение 2

Каноническое уравнение параболы довольно простое, его несложно запомнить и оно имеет следующий вид:

$y^2 = 2px$, где число $p$ должно быть больше нуля.

Число $p$ из уравнения носит название "фокальный параметр".

Данное уравнение параболы, вернее именно эта наиболее часто применяемая в высшей математике формула, применимо в том случае, когда ось параболы совпадает с осью $OX$, то есть парабола располагается как будто на боку.

Парабола, описанная уравнением $x^2 = 2py$ - это парабола, ось которой совпадает с осью $OY$, к таким параболам мы привыкли в школе.

А парабола, которая имеет минус перед второй частью уравнения ($y^2 = - 2px$), развёрнута на 180° по отношению к каноничной параболе.

Парабола является частным случаем кривой 2-ого порядка, соответственно, в общем виде уравнение для параболы выглядит точно также как для всех таких кривых и подходит для всех случаев, а не только когда парабола параллельна $OX$.

При этом дискриминант, вычисляющийся по формуле $B^2 – 4AC$ равен нулю, а само уравнение выглядит так: $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\cdot y + F = 0$

Вывод с помощью графика канонического уравнения для параболы

Рисунок 1. График и вывод канонического уравнения параболы

Из определения, приведённого выше в данной статье, составим уравнение для параболы с верхушкой, расположенной на пересечении координатных осей.

Используя имеющийся график, определим по нему $x$ и $y$ точки $F$ из определения параболической кривой, данного выше, $x = \frac{p}{2}$ и $y = 0$.

Для начала составим уравнение для прямой $d$ и запишем его: $x = - \frac{p}{2}$.

Для произвольной точки M, лежащей на нашей кривой, согласно определению, справедливо следующее соотношение:

$FM$ = $ММ_d$ (1), где $М_d$ - точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c директрисой $d$.

Икс и игрек для этой точки равны $\frac{p}{2}$ $y$ соответственно.

Запишем уравнение (1) в координатной форме:

$\sqrt{(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 }= x + \frac{p}{2}$

Теперь для того чтобы избавиться от корня необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:

$(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = x^2 +px^2 + \frac{p^2}{4}$

После упрощения получаем каноническое уравнение параболы: $y^2 = px$.

Парабола, описываемая с помощью квадратичной функции

Уравнение, описывающее параболу с верхушкой, расположенной где угодно на графике и необязательно совпадающей с пересечением осей координат, выглядит так:

$y = ax^2 + bx + c$.

Чтобы вычислить $x$ и $y$ для вершины такой параболы, необходимо воспользоваться следующими формулами:

$x_A = - \frac{b}{2a}$

$y_A = - \frac{D}{4a}$, где $D = b^2 – 4ac$.

Пример 1

Пример составления классического уравнения параболы

Задача. Зная расположение фокусной точки, составить каноническое уравнение параболы. Координаты точки фокуса $F$ $(4; 0)$.

Так как мы рассматриваем параболу, график которой задан каноническим уравнением, то её вершина $O$ находится на пересечении осей икс и игрек, следовательно расстояние от фокуса до вершины равно $\frac{1}{2}$ фокального параметра $\frac{p}{2} = 4$. Путём нехитрых вычислений получим, что сам фокальный параметр $p = 8$.

После подстановки значения $p$ в каноническую форму уравнения, наше уравнение примет вид $y^2 = 16x$.

Как составить уравнение параболы по имеющемуся графику

Пример 2

Рисунок 2. Каноническое уравнение для параболы график и пример для решения

Для начала необходимо выбрать точку $М$, принадлежащую графику нашей функции, и, опустив из неё перпендикуляры на оси $OX$ и $OY$, записать её икс и игрек, в нашем случае точка $M$ это $(2;2)$.

Теперь нужно подставить полученные для этой точки $x$ и $y$ в каноническое уравнение параболы $y^2 = px$, получаем:

$2^2 = 2 \cdot 2p$

Сократив, получаем следующее уравнение параболы $y^2 = 2 \cdot x$.

Парабола - это бесконечная кривая, которая состоит из точек, равноудаленых от заданной прямой, называемой директрисой параболы, и заданной точки - фокуса параболы. Парабола является коническим сечением, то есть представляет собой пересечение плоскости и кругового конуса.

В общем виде математическое уравнение параболы имеет вид: y=ax^2+bx+c, где a не равно нулю, b отражает смещение графика функции по горизонтали относительно начала координат, а c - вертикальное смещение графика функции относительно начала координат. При этом, если a>0, то при построении графика будут направленны вверх, а в случае, если aСвойства параболы

Парабола - это кривая второго порядка, которая имеет ось симметрии, проходящую через фокус параболы и перпендикулярную директрисе параболы.

Парабола обладает особым оптическим свойством, заключающемся в фокусировки параллельных относительно оси ее симметрии световых лучей, направленных в параболу, в вершине параболы и расфокусировки пучка света, направленного в вершину параболы, в параллельные световые лучи относительной той же оси.

Если произвести отражение параболы относительно любой касательной, то образ параболы окажется на ее директрисе. Все параболы подобны между собой, то есть для каждых двух точек A и B одной параболы, найдутся точки A1 и B1, для которых верно утверждение |A1,B1| = |A,B|*k, где k – коэффициент подобия, который в численном значении всегда больше нуля.

Проявление параболы в жизни

Некоторые космические тела, такие как кометы или астероиды, проходящие вблизи крупных космических объектов на высокой скорости имеют траекторию движения в форме параболы. Это свойство малых космических тел используется при гравитационных маневрах космических кораблей.

Для тренировок будущих космонавтов, на земле проводятся специальные полеты самолетов по траектории параболы, чем достигается эффект невесомости в гравитационном поле земли.

В быту параболы можно встретить в различных осветительных приборах. Это связано с оптическим свойством параболы. Одним из последних способов применения параболы, основанных на ее свойствах фокусировки и расфокусировки световых лучей, стали солнечные батареи, которые все больше входят в сферу энергоснабжения в южных регионах России.

Во всей этой главе предполагается, что в плоскости (в которой лежат все рассматриваемые далее фигуры) выбран определенный масштаб; рассматриваются лишь прямоугольные системы координат с этим масштабом.

§ 1. Парабола

Парабола известна читателю из школьного курса математики как кривая, являющаяся графиком функции

(рис. 76). (1)

График любого квадратного трехчлена

также является параболой; можно посредством одного лишь сдвига системы координат (на некоторый вектор ОО), т. е. преобразования

достигнуть того, чтобы график функции (во второй системе координат) совпадал с графиком (2) (в первой системе координат).

В самом деле, произведем подстановку (3) в равенство (2). Получим

Мы хотим подобрать так, чтобы коэффициент при и свободный член многочлена (относительно ) в правой части этого равенства были равны нулю. Для этого определяем из уравнения

что и дает

Теперь определяем из условия

в которое подставляем уже найденное значение . Получим

Итак, посредством сдвига (3), в котором

мы перешли к новой системе координат, в которой уравнение параболы (2) получило вид

(рис. 77).

Вернемся к уравнению (1). Оно может служить определением параболы. Напомним ее простейшие свойства. Кривая имеет ось симметрии: если точка удовлетворяет уравнению (1), то точка симметричная точке М относительно оси ординат, также удовлетворяет уравнению (1) - кривая симметрична относительно оси ординат (рис. 76).

Если , то парабола (1) лежит в верхней полуплоскости , имея с осью абсцисс единственную общую точку О.

При неограниченном возрастании модуля абсцисс ордината также неограниченно возрастает. Общий вид кривой дай на рис. 76, а.

Если (рис. 76, б), то кривая расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс к кривой .

Если перейти к новой системе координат, полученной из старой заменой положительного направления оси ординат на противоположное, то парабола, имеющая в старой системе уравнение , получит в новой системе координат уравнение у . Поэтому при изучении парабол можно ограничиться уравнениями (1), в которых .

Поменяем, наконец, названия осей, т. е. перейдем к иовой системе координат, в которой осью ординат будет старая ось абсцисс, а осью абсцисс - старая ось ординат. В этой новой системе уравнение (1) запишется в виде

Или, если число - обозначить через , в виде

Уравнение (4) называется в аналитической геометрии каноническим уравнением параболы; прямоугольная система координат, в которой данная парабола имеет уравнение (4), называется канонической системой координат (для этой параболы).

Сейчас мы установим геометрический смысл коэффициента . Для этого берем точку

называемую фокусом параболы (4), и прямую d, определенную уравнением

Эта прямая называется директрисой параболы (4) (см. рис. 78).

Пусть - произвольная точка параболы (4). Из уравнения (4) следует, что Поэтому расстояние точки М от директрисы d есть число

Расстояние точки М от фокуса F есть

Но , поэтому

Итак, все точки М параболы равноудалены от ее фокуса и директрисы:

Обратно, каждая точка М, удовлетворяющая условию (8), лежит на параболе (4).

В самом деле,

Следовательно,

и, после раскрытия скобок и приведения подобных членов,

Мы доказали, что каждая парабола (4) есть геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса F и от директрисы d этой параболы.

Вместе с тем мы установили и геометрический смысл коэффициента в уравнении (4): число равно расстоянию между фокусом и директрисой параболы.

Пусть теперь на плоскости даны произвольно точка F и прямая d, не проходящая через эту точку. Докажем, что существует парабола с фокусом F и директрисой d.

Для этого проведем через точку F прямую g (рис. 79), перпендикулярную к прямой d; точку пересечения обеих прямых обозначим через D; расстояние (т. е. расстояние между точкой F и прямой d) обозначим через .

Прямую g превратим в ось, прнняв на ней направление DF в качестве положительного. Эту ось сделаем осью абсцисс прямоугольной системы координат, началом которой является середина О отрезка

Тогда и прямая d получает уравнение .

Теперь мы можем в выбранной системе координат написать каноническое уравнение параболы:

причем точка F будет фокусом, а прямая d - директрисой параболы (4).

Мы установили выше, что парабола есть геометрическое место точек М, равноудаленных от точки F и прямой d. Итак, мы можем дать такое геометрическое (т. е. не зависящее ни от какой системы координат) определение параболы.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки («фокуса» параболы) и некоторой фиксированной прямой («директрисы» параболы).

Обозначая расстояние между фокусом и директрисой параболы через , мы можем всегда найти прямоугольную систему координат, каноническую для данной параболы, т. е. такую, в которой уравнение параболы имеет канонический вид:

Обратно, всякая кривая, имеющая такое уравнение в некоторой прямоугольной системе координат, является параболой (в только что установленном геометрическом смысле).

Расстояние между фокусом и директрисой параболы называется фокальным параметром, или просто параметром параболы.

Прямая, проходящая через фокус перпендикулярно к директрисе параболы, называется ее фокальной осью (или просто осью); она является осью симметрии параболы - это вытекает из того, что ось параболы является осью абсцисс в системе координат, относительно которой уравнение параболы имеет вид (4).

Если точка удовлетворяет уравнению (4), то этому уравнению удовлетворяет и точка , симметричная точке М относительно оси абсцисс.

Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы; она является началом системы координат, канонической для данной параболы.

Дадим еще одно геометрическое истолкование параметра параболы.

Проведем через фокус параболы прямую, перпендикулярную к оси параболы; она пересечет параболу в двух точках (см. рис. 79) и определит так называемую фокальную хорду параболы (т. е. хорду, проходящую через фокус параллельно директрисе параболы). Половина длины фокальной хорды и есть параметр параболы.

В самом деле, половина длины фокальной хорды есть абсолютная величина ординаты любой из точек , абсцисса каждой из которых равна абсциссе фокуса, т. е. . Поэтому для ординаты каждой из точек имеем

что и требовалось доказать.

Парабола есть множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса ) и от данной прямой, не проходящей через данную точку (директрисы ), расположенных в той же плоскости (рис.5).

При этом система координат выбрана так, что ось
проходит перпендикулярно директрисе через фокус, положительное ее направление выбрано от директрисы в сторону фокуса. Ось ординат проходит параллельно директрисе, посередине между директрисой и фокусом, откуда уравнение директрисы
, координаты фокуса
. Начало координат является вершиной параболы, а ось абсцисс – ее осью симметрии. Эксцентриситет параболы
.

В ряде случаев рассматриваются параболы, заданные уравнениями

а)

б)
(для всех случаев
)

в)
.

В случае а) парабола симметрична относительно оси
и направлена в ее отрицательную сторону (рис.6).

В случаях б) и в) осью симметрии является ось
(рис.6). Координаты фокусов для этих случаев:

а)
б)
в)
.

Уравнение директрис:

а)
б)
в)
.

Пример 4. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку
и симметрична относительно оси
. Написать ее уравнение.

Решение:

Так как парабола симметрична относительно оси
и проходит через точкус положительной абсциссой, то она имеет вид, представленный на рис.5.

Подставляя координаты точки в уравнение такой параболы
, получим
, т.е.
.

Следовательно, искомое уравнение

,

фокус этой параболы
, уравнение директрисы
.

4. Преобразование уравнения линии второго порядка к каноническому виду.

Общее уравнение второй степени имеет вид

где коэффициенты
одновременно в нуль не обращаются.

Всякая определяемая уравнением (6) линия называется линией второго порядка. С помощью преобразования системы координат уравнение линии второго порядка может быть приведено к простейшему (каноническому) виду.

1. В уравнении (6)
. В данном случае уравнение (6) имеет вид

Оно преобразуется к простейшему виду с помощью параллельного переноса осей координат по формулам

(8)

где
– координаты нового начала
(в старой системе координат). Новые оси
и
параллельны старым. Точка
является центром эллипса или гиперболы и вершиной в случае параболы.

Приведение уравнения (7) к простейшему виду удобно делать методом выделения полных квадратов аналогично тому, как это делалось для окружности.

Пример 5. Уравнение линии второго порядка привести к простейшему виду. Определить вид и расположение этой линии. Найти координаты фокусов. Сделать чертеж.

Решение:

Группируем члены, содержащие только и только, вынося коэффициенты прииза скобку:

Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:

Таким образом, данное уравнение преобразовано к виду

Обозначаем

или

Сравнивая с уравнениями (8), видим, что эти формулы определяют параллельный перенос осей координат в точку
. В новой системе координат уравнение запишется так:

Перенося свободный член вправо и разделив на него, получим:

.

Итак, данная линия второго порядка есть эллипс с полуосями
,
. Центр эллипса находится в новом начале координат
, а его фокальная ось есть ось
. Расстояние фокусов от центра, так что новые координаты правого фокуса
. Старые координаты этого же фокуса находятся из формул параллельного переноса:

Аналогично, новые координаты левого фокуса
,
. Его старые координаты:
,
.

Замечание . Для уточнения чертежа полезно найти точки пересечения данной линии (7) со старыми координатными осями. Для этого надо в формуле (7) положить сначала
, а затем
и решить получающиеся уравнения.

Появления комплексных корней будет означать, что линия (7) соответствующую координатную ось не пересекает.

Например, для эллипса только что разобранной задачи получаются такие уравнения:

Второе из этих уравнений имеет комплексные корни, так что эллипс ось
не пересекает. Корни первого уравнения:

В точках
и
эллипс пересекает ось
(рис.7).

Пример 6. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка . Определить вид и расположении линии, найти координаты фокуса.

Решение:

Так как член с отсутствует, то надо выделить полный квадрат только по:

Выносим также за скобку коэффициент при

.

Обозначаем

или

Тем самым производится параллельный перенос системы координат в точку
. После переноса уравнение примет вид

.

Поэтому фокус имеет новые координаты

.

Его старые координаты

Если в данном уравнении положить
или
, то обнаружим, что парабола пересекает ось
в точке
, а ось
она не пересекает.

2. В уравнении (1)
. Общее уравнение (1) второй степени преобразуется к виду (2), т.е. к рассмотренному в п.1. случаю, с помощь поворота координатных осей на угол
по формулам

(9)

где
– новые координаты. Угол
находится из уравнения

Оси координат поворачиваются при этом так, чтобы новые оси
и
были параллельны осям симметрии линии второго порядка.

Зная
, можно найти
и
по формулам тригонометрии

,
.

Если угол поворота
условиться считать острым, то в этих формулах надо брать знак плюс, и для
надо взять также положительное решение уравнения (5).

В частности, при
систему координат нужно повернуть на угол
. Формулы поворота на уголимеют вид:

(11)

Пример 7. Уравнение линии второго порядка привести к простейшему виду. Установить вид и расположение этой линии.

Решение:

В данном случае
, 1
,
, поэтому угол поворота
находится из уравнения

.

Решение этого уравнения
и
. Ограничиваясь острым углом
, берем первое из них. Тогда

,

,
.

Подставляя эти значения ив данное уравнение

Раскрывая скобки и приводя подобные, получим

.

Наконец, разделив на свободный член, придем к уравнению эллипса

.

Отсюда следует, что
,
, причем большая ось эллипса направлена по оси
, а малая – по оси
.

Получится точка
, радиус которой
наклонен к оси
под углом
, для которого
. Следовательно, через эту точку
и пройдет новая ось абсцисс. Затем отмечаем на осях
и
вершины эллипса и чертим эллипс (рис.9).

Заметим, что данный эллипс пересекает старые координатные оси в точках, которые находятся из квадратных уравнений (если в данном уравнении положить
или
):

и
.