Правило лопиталя примеры с решениями. Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы

• Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
• Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
• Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"
• Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"
• Раскрытие неопределённостей вида "бесконечность минус бесконечность"

Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей

Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей значительно упрощается с помощью правила Лопиталя.

Суть правила Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Вообще, под правилами Лопиталя понимаются несколько теорем, которые могут быть переданы в следующей одной формулировке.

Правило Лопиталя . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , причём в этой окрестности

(1)

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

В равенстве (1) величина , к которой стремится переменная, может быть либо конечным числом, либо бесконечностью, либо минус бесконечностью.

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"

Пример 1. Вычислить

x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:

Пример 2. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x

Пример 3. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:

Пример 4. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

Замечание. Если предел отношения производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к пределу отношения вторых производных, и т.д.

Пример 5. Вычислить

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.

Пример 6. Вычислить

Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).

Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин . Если функции f (x ) и g (x a a , причём в этой окрестности g "(x a равны между собой и равны нулю

().

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a , за исключением, может быть, самой точки a , причём в этой окрестности g "(x )≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности

(),

то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных

().

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

Замечания .

1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f (x ) и g (x ) не определены при x = a .

2. Если при вычисления предела отношения производных функций f (x ) и g (x ) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).

3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a , а к бесконечности (x → ∞).

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"

Пример 1.

x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем

В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе - производную сложной логарифмической функции . Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел , подставляя вместо икса двойку.

Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x

Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 4. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"

Пример 12. Вычислить

.

Решение. Получаем

В этом примере использовано тригонометрическое тождество .

Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"

Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида

Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма .

Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:

Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.

Пример 13.

Решение. Получаем

.

.

Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

.

.

Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Пусть при $x\to a$ функции $f(x)$ и $\varphi(x)$ обе бесконечно малые или обе бесконечно большие. Тогда их отношение не определено в точке $x=a$ , и в этом случае говорят, что оно представляет собой неопределенность типа $\left[\frac{0}{0}\right]$ или соответственно. Это отношение может иметь конечный или бесконечный предел в точке $x=a$ . Нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности.

t_E1_p217_1
Теорема (Теорема Лопиталя-Бернулли.)
Пусть в некоторой окрестности $P$ точки $x=a$ функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы всюду, кроме, может быть, самой точки $x=a$ , и пусть $g"(x)\neq0$ на $P$ . Если функции $f(x)$ и $\varphi(x)$ являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при $x\to a$ и при этом существует предел отношения $\frac{f"(x)}{\varphi"(x)}$ их производных при $x\to a$ , то тогда существует также и предел отношения $\frac{f(x)}{g(x)}$ самих функций, причем

(1)

\begin{align} \lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f"(x)}{g"(x)}. \end{align}

Правило () применимо и в случае, когда $a=\infty$ .

m_KR_p156_1
Метод (Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей типа $\left[\frac{0}{0}\right]$ и $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ .)
В силу теоремы () существует общий способ нахождения предела отношений двух функций, основанный на равенстве
$$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f"(x)}{g"(x)}.$$
Этот способ называется правилом Лопиталя .
Если для производных $f"(x)$ и $g"(x)$ выполняются условия теоремы (), то правило Лопиталя можно применять повторно:
$$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f"(x)}{g"(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f""(x)}{g""(x)}.$$
При этом на каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приемами вычисления пределов.

e_E1_p218_1

Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\arctan5x}.$$
Используя формулу (), получаем: $$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\arctan5x}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim\limits_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{\frac{1}{1+25x^2}\cdot5}=\frac{2}{5},$$ поскольку $e^{2x}\to1$ и $\frac{1}{1+25x^2}\to1$ при $x\to0$ .

e_E1_p218_1

Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln2x}{x^3}.$$
Применяя дважды формулу (), получаем: $$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln^2x}{x^3}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\frac{2\ln x}{x}}{3x^2}=\frac{2}{3}\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^3}=\frac{2}{3}\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{3x^2}=0.$$

e_E1_p218_1

Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}.$$
Используем формулу (): $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{\cos^2x}-\cos x}{3x^2}=\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos^3x}{x^2\cos^2x}.$$
Освободим знаменатель дроби от множителя $\cos^2x$ , поскольку он имеет предел $1$ при $x\to0$ . Развернем стоящую в числителе разность кубов и освободим числитель от сомножителя $(1+\cos x+\cos^2x)$ , имеющего предел $3$ при $x\to0$ . После этих упрощений получаем $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}.$$
Применим снова формулу (): $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}.$$
Используя первый замечательный предел, получаем окончательный ответ $\frac{1}{2}$ , уже не прибегая к правилу Лопиталя.

m_E1_p219_1
Метод (Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенности типа $\left$ .)
Для вычисления $\lim\limits_{x\to a}f(x)g(x)$ , где $f(x)$ — бесконечно малая, а $g(x)$ — бесконечно большая функции при $x\to a$ , следует преобразовать произведение к виду $\frac{f(x)}{1/g(x)}$ (неопределенность типа $\left[\frac{0}{0}\right]$ ) или к виду $\frac{g(x)}{1/f(x)}$ (неопределенность типа $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ ) и далее использовать правило Лопиталя.

e_E1_p219_1

Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to1}\sin(x-1)\cdot\tan\frac{\pi x}{2}.$$
Имеем: $$\begin{array}{c}\lim\limits_{x\to1}\sin(x-1)\cdot\tan\frac{\pi x}{2}=\left=\lim\limits_{x\to1}\frac{\sin(x-1)}{\cot\frac{\pi x}{2}}=\left[\frac{0}{0}\right]=\\=\lim\limits_{x\to1}\frac{\cos(x-1)}{-\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sin^2\frac{\pi x}{2}}}=-\frac{2}{\pi}\lim\limits_{x\to1}\cos(x-1)\sin^2\frac{\pi x}{2}=-\frac{2}{\pi}.\end{array}$$

m_E1_p220_1
Метод (Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенности типа $\left[\infty-\infty\right]$ .)
Для вычисления $\lim\limits_{x\to a}(f(x)-g(x))$ , где $f(x)$ и $g(x)$ — бесконечно большие функции при $x\to a$ , следует преобразовать разность к виду $f(x)\left(1-\frac{g(x)}{f(x)}\right)$ , затем раскрыть неопределенность $\frac{g(x)}{f(x)}$ типа $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ . Если $\lim\limits_{x\to a}\frac{g(x)}{f(x)}\neq1$ , то $\lim\limits_{x\to a}(f(x)-\varphi(x))=\infty$ . Если же $\lim\limits_{x\to a}\frac{\varphi(x)}{f(x)}=1$ , то получаем неопределенность типа $[\infty\cdot0]$ , рассмотренную ранее.

e_E1_p220_1

Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to+\infty}(x-\ln^3x).$$
Имеем: $$\lim\limits_{x\to+\infty}(x-\ln^3x)=[\infty-\infty]=\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(1-\frac{\ln^3x}{x}\right).$$
Так как $$\begin{array}{c}\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln^3x}{x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{3\ln^2x\cdot\frac{1}{x}}{1}=3\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln^2x}{x}=\\=3\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2\ln x\cdot\frac{1}{x}}{1}=6\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=6\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=6\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0,\end{array}$$ то $$\lim\limits_{x\to+\infty}(x-\ln^3x)=+\infty.$$

m_E1_p221_1
Метод (Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей типа $\left$ , $\left[\infty^0\right]$ , $\left$ .)
Во всех трех случаях имеется в виду вычисление предела выражения $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ , где $f(x)$ есть в первом случае бесконечно малая, во втором случае — бесконечно большая, в третьем случае — функция, имеющая предел равный единице. Функция же $g(x)$ в первых двух случаях является бесконечно малой, а в третьем случае — бесконечно большой.
Логарифмируя выражение $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ , получим равенство
$$\ln y=g(x)\ln f(x).$$
Найдем предел $\ln y$ , после чего найдем предел $y$ . Во всех трех случаях $\ln y$ является неопределенностью типа $$ , метод раскрытия которой изложен ранее.

e_E1_p221_1

Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}.$$
Введем обозначение $y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}$ . Тогда $\ln y=2x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$ является неопределенностью $[\infty\cdot0]$ . Преобразуя выражение $\ln y$ к виду $\ln y=2\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{1/x}$ , находим по правилу Лопиталя $$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln y=2\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}}=2\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=2.$$
Следовательно, $$\lim\limits_{x\to+\infty}y=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=e^2.$$

Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций. Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность 0/0. Раскрыть ее поможет . В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел.

1. Неопределенность 0/0. Первое п.Л.

Если = 0, то , если последний существует.

2. Неопределенность вида ∞/∞ Второе п. Л.

Нахождение пределов такого типа называется раскрытием неопределенностей.

Если = ∞, то , если последний существует.

3. Неопределенности 0⋅∞, ∞- ∞, 1 ∞ и 0 0 сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем преобразований. Такая запись служит для краткого указания случая при отыскании предела. Каждая неопределенность раскрывается по своему. Правило Лопиталя можно применять несколько раз, пока не избавимся от неопределенности. Применение правила Лопиталя приносит пользу тогда, когда отношение производных удается преобразовать к более удобному виду легче, чем отношение функций.

• 0⋅∞ произведение двух функций, первая стремится к нулю, вторая к бесконечности;
• ∞- ∞ разность функций, стремящихся к бесконечности;
• 1 ∞ степень, ее основание стремится к единице, а показатель к бесконечности;
• ∞ 0 степень, ее основание стремится к бесконечности, а степень к нулю;
• 0 0 степень, ее основание стремится к 0 и показатель тоже стремятся к нулю.

Пример 1. В этом примере неопределенность 0/0

Пример 2. Здесь ∞/∞

В этих примерах производные числителя делим на производные знаменателя и подставляем предельное значение вместо х.

Пример 3. Вид неопределенности 0⋅∞ .

Неопределенность 0⋅∞ преобразуем к ∞/∞, для этого х переносим в знаменатель в виде дроби 1/x , в числителе пишем производную от числителя, а в знаменателе производную от знаменателя.

Пример 4 Вычислить предел функции

Здесь неопределенность вида ∞ 0 Сначала логарифмируем функцию, затем найдем от нее предел

Для получения ответа надо е возвести в степень -1, получим e -1 .

Пример 5. Вычислить предел от если x → 0

Решение. Вид неопределенности ∞ -∞ Приведя дробь к общему знаменателю перейдем от ∞-∞ к 0/0. Применим правило Лопиталя, однако снова получим неопределенность 0/0, поэтому п. Л. надо применить второй раз. Решение имеет вид:

= = = =
= =

Пример 6 Решить

Решение. Вид неопределенности ∞/∞, раскрыв ее получим

В случаях 3), 4), 5) сначала логарифмируют функцию и находят предел логарифма, а затем искомый предел е возводим в полученную степень.

Пример 7. Вычислить предел

Решение. Здесь вид неопределенности 1 ∞ . Обозначим A =

Тогда lnA = = = = 2.

Основание логарифма е, поэтому для получения ответа надо е возвести в квадрат, получим e 2 .

Иногда бывают случаи, когда отношение функций имеет предел, в отличие от отношения производных, которое не имеет его.

Рассмотрим пример:

Т.к. sinx ограничен, а х неограниченно растет, второй член равен 0.

Эта функция не имеет предела, т.к. она постоянно колеблется между 0 и 2, к этому примеру неприменимо п. Л.

Правило говорит, что если функции f (x ) и g (x ) обладают следующим набором условий:

тогда существует . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

История

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованного в „Анализе бесконечно малых“ метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», .

Доказательство

Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида ).

Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f (a ) = g (a ) = 0 . Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши . По этой теореме получим:

,

но f (a ) = g (a ) = 0 , поэтому .

Src="/pictures/wiki/files/56/85e2b8bb13d6fb1ddcf88e22a4bb6ef2.png" border="0"> для конечного предела и src="/pictures/wiki/files/101/e8b2f2b8861947c8728d4d1be40366d4.png" border="0"> для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A . Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α , где α - (1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем t из отрезка и применим теорему Коши ко всем x из отрезка :

, что можно привести к следующему виду: .

Для x , достаточно близких к a , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f (t ) и g (t ) - константы , а f (x ) и g (x ) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1 + β , где β - бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для α :

.

Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α) , и . По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен A .

Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

(x)}{g"(x)}>2M)" src="/pictures/wiki/files/101/e46c5113c49712376d1c357b5b202a65.png" border="0">.

В определении β будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x , достаточно близких к a , а тогда src="/pictures/wiki/files/50/2f7ced4a9b4b06f7b9085e982250dbcf.png" border="0">.

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Примеры

(Только если числитель и знаменатель ОБА стремятся или к 0 ; или к ; или к .)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Лопиталя правило" в других словарях:

Исторически неправильное наименование одного из основных правил раскрытия неопределённостей. Л. п. было найдено И. Бернулли и сообщено им Г. Лопиталю (См. Лопиталь), опубликовавшему это правило в 1696. См. Неопределённые выражения … Большая советская энциклопедия

Раскрытие неопределенностей вида сведением предела отношения функций к пределу отношения производных рассматриваемых функций. Так, для случая, когда действительные функции f и gопределены в проколотой правосторонней окрестности точки ачисловой… … Математическая энциклопедия

Правило Бернулли Лопиталя метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.… … Википедия

В математическом анализе правилом Лопиталя называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу… … Википедия

В математическом анализе правилом Лопиталя называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу… … Википедия