Отражение и преломление на границе двух идеальных диэлектриков. Отражение и преломление света (Граничные условия

Допустим, что граница раздела сред плоская и неподвижная. На нее падает плоская монохроматическая волна :

отражённая волна при этом имеет вид:

для преломленной волны имеем:

отраженная и преломленная волны будут тоже плоскими, и иметь ту же частоту: ${\omega }_{pad}=\omega_{otr}=\omega_{pr}=\omega $. Равенство частот следует из линейности и однородности граничных условий.

Разложим электрическое поле каждой волны на две компоненты. Одну, находящуюся в плоскости падения, другая в перпендикулярной плоскости. Эти составляющие называют главными составляющими волн. Тогда можно записать:

где ${{\overrightarrow{e}}_x,\overrightarrow{e}}_y,\ {\overrightarrow{e}}_z$ -- единичные векторы вдоль осей $X$,$Y$,$Z.$ ${\overrightarrow{e}}_1,\ {\overrightarrow{e}}"_1,{\overrightarrow{e}}_2$ -- единичные векторы, которые находятся, в плоскости падения и перпендикулярны соответственно, падающему, отраженному и преломленному лучам (рис.1). То есть можно записать:

Рисунок 1.

Скалярно умножим выражение (2.а) на вектор ${\overrightarrow{e}}_x,$ получаем:

Аналогичным путем получают:

Так, выражения (4) и (5) дают $x-$, $y-$. $z-$ составляющие электрического поля на границе раздела веществ (при $z=0$). Если не учитывать магнитных свойств вещества ($\overrightarrow{H}\equiv \overrightarrow{B}$), то компоненты магнитного поля можно записать как:

Соответствующие выражения для отраженной волны имеют вид:

Для преломленной волны:

Для нахождения $E_{pr\bot }$,$\ E_{pr//},\ E_{otr\bot },\ E_{otr//}$ используют граничные условия:

Подставим в выражения (11) формулы (10), получим:

Из системы уравнений (12),учитывая равенство угла падения и угла отражения (${\alpha }_{pad}=\alpha_{otr}=\alpha $) получим:

Отношения, которые стоят в левых частях выражений (13) называют коэффициентами Френеля. Данные выражения формулами Френеля.

При обычном отражении коэффициенты Френеля вещественные. Это доказывает, что отражение и преломление не сопровождает изменение фазы, исключение -- изменение фазы отраженной волны на $180^\circ$. В том случае, если падающая волна является поляризованной, то отраженная и преломленная волны тоже поляризованы.

Получая формулы Френеля, мы полагали свет монохроматическим, однако, если среда не является диспергирующей и происходит обычное отражение, то данные выражения справедливы и для немонохроматических волн. Надо только под составляющими ($\bot $ и //) понимать соответствующие компоненты напряженностей электрического поля падающей, отраженной и преломленной волн на границе раздела.

Пример 1

Задание: Объясните, почему изображение заходящего солнца при тех же условиях не уступает по яркости самому солнцу.

Решение:

Для объяснения подобного явления используем следующую формулу Френеля:

\[\frac{E_{otr\bot }}{E_{pad\bot }}=-\frac{sin (\alpha -{\alpha }_{pr})}{sin (\alpha +{\alpha }_{pr})};\ \frac{E_{otr//}}{E_{pad//}}=\frac{tg (\alpha -{\alpha }_{pr})}{tg (\alpha +{\alpha }_{pr})}(1.1).\]

В условиях скользящего падения, когда угол падения ($\alpha $) практически равен $90^\circ$ получаем:

\[\frac{E_{otr\bot }}{E_{pad\bot }}=\frac{E_{otr//}}{E_{pad//}}\to -1(1.2).\]

При скользящем падении света коэффициенты Френеля (по модулю) стремятся к единице, то есть отражение получается практически полным. Это объясняет яркие изображения берегов в спокойной воде водоема и яркость заходящего солнца.

Пример 2

Задание: Получите выражение для отражательной способности ($R$), если так называют коэффициент отражения при нормальном падении света на поверхность.

Решение:

Для решения задачи используем формулы Френеля:

\[\frac{E_{otr\bot }}{E_{pad\bot }}=\frac{n_1cos\left(\alpha \right)-n_2cos\left({\alpha }_{pr}\right)}{n_1cos\left(\alpha \right)+n_2cos\left({\alpha }_{pr}\right)},\ \frac{E_{otr//}}{E_{pad//}}=\frac{n_2{cos \left(\alpha \right)\ }-n_1{cos \left({\alpha }_{pr}\right)\ }}{n_2{cos \left(\alpha \right)\ }+n_1{cos \left({\alpha }_{pr}\right)\ }}\left(2.1\right).\]

При нормальном падении света формулы упрощаются и превращаются в выражения:

\[\frac{E_{otr\bot }}{E_{pad\bot }}=-\frac{E_{otr//}}{E_{pad//}}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}=\frac{n-1}{n+1}(2.2),\]

где $n=\frac{n_1}{n_2}$

Коэффициентом отражения называют отношение энергии отраженной к энергии падающей. При этом известно, что энергия пропорциональна квадрату амплитуды, следовательно, можно положить, что искомый коэффициент можно найти как:

Ответ: $R={\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}^2.$

ФРЕНЕЛЯ ФОРМУЛЫ - определяют отношения амплитуды, фазы и состояния отражённой и преломлённой световых волн, возникающих при прохождении света через границу раздела двух прозрачных , к соответствующим характеристикам падающей волны. Установлены О. Ж. Френелем в 1823 на основе представлений об упругих поперечных колебаниях эфира. Однако те же самые соотношения - Ф. ф.- следуют в результате строгого вывода из эл--магн. теории света при решении ур-ний Максвелла.

Пусть плоская световая волна падает на границу раздела двух сред с показателями преломления п 1 и п 2 (рис.). Углы j, j" и j"" есть соответственно углы падения, отражения и преломления, причём всегда n 1 sinj=n 2 sinj"" (закон преломления) и |j|=|j"| (закон отражения). Амплитуду электрического вектора падающей волны А разложим на составляющую с амплитудой А р , параллельную плоскости падения, и составляющую с амплитудой A s , перпендикулярную плоскости падения. Аналогично разложим амплиту ды отражённой волны R на составляющие R p и R s , а преломлённой волны D - на D p и D s (на рис. показаны только р -составляющие). Ф. ф. для этих амплитуд имеют вид

Из (1) следует, что при любом значении углов j и j"" знаки А р и D p совпадают. Это означает, что совпадают и фазы, т. е. во всех случаях преломлённая волна сохраняет фазу падающей. Для компонент отражённой волны (R p и R s )фазовые соотношения зависят от j, n 1 и n 2 ; если j=0, то при n 2 >n 1 фаза отражённой волны сдвигается на p.

В экспериментах обычно измеряют не амплитуду световой волны, а её интенсивность, т. е. переносимый ею поток энергии, пропорциональный квадрату амплитуды (см.

Лит.: Борн М., Вольф Э., Основы оптики, пер. с англ., 2 изд., М., 1973; Калитеевский Н. И., Волновая оптика, 2 изд., М., 1978. Л. Н. Капорский .

Формулы Френеля

Фо́рмулы Френе́ля определяют амплитуды и интенсивности преломлённой и отражённой электромагнитной волны при прохождении через плоскую границу раздела двух сред с разными показателями преломления . Названы в честь Огюста Френеля , французского физика, который их вывел. Отражение света, описываемое формулами Френеля, называется френелевским отражением .

Формулы Френеля справедливы в том случае, когда граница раздела двух сред гладкая, среды изотропны, угол отражения равняется углу падения, а угол преломления определяется законом Снеллиуса . В случае неровной поверхности, особенно когда характерные размеры неровностей одного порядка с длиной волны , большое значение имеет диффузное рассеяние света на поверхности.

При падении на плоскую границу различают две поляризации света. s p

Формулы Френеля для s -поляризации и p -поляризации различаются. Поскольку свет с разными поляризациями по-разному отражается от поверхности, то отражённый свет всегда частично поляризован, даже если падающий свет неполяризован. Угол падения, при котором отражённый луч полностью поляризован, называется углом Брюстера ; он зависит от отношения показателей преломления сред, образующих границу раздела.

s -Поляризация

s -Поляризация - это поляризация света, для которой напряжённость электрического поля электромагнитной волны перпендикулярна плоскости падения (т.е. плоскости, в которой лежат и падающий, и отражённый луч).

где - угол падения, - угол преломления, - магнитная проницаемость среды, из которой падает волна, - магнитная проницаемость среды, в которую волна проходит, - амплитуда волны, которая падает на границу раздела, - амплитуда отражённой волны, - амплитуда преломлённой волны. В оптическом диапазоне частот с хорошей точностью и выражения упрощаются до указанных после стрелок .

Углы падения и преломления для связаны между собой законом Снеллиуса

Отношение называется относительным показателем преломления двух сред.

Обратите внимание, коэффициент пропускания не равен , так как волны одинаковой амплитуды в разных средах несут разную энергию.

p -Поляризация

p -Поляризация - поляризация света, для которой вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения.

где , и - амплитуды волны, которая падает на границу раздела, отражённой волны и преломлённой волны, соответственно, а выражения после стрелок вновь соответствуют случаю .

Коэффициент отражения

Коэффициент пропускания

Нормальное падение

В важном частном случае нормального падения света исчезает разница в коэффициентах отражения и пропускания для p - и s -поляризованных волн. Для нормального падения

Примечания

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. - М .. - Т. IV. Оптика.
• Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - «Наука», 1973.
• Колоколов А. А. Формулы Френеля и принцип причинности // УФН . - 1999. - Т. 169. - С. 1025.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Рейд, Фиона
• Баслаху

Смотреть что такое "Формулы Френеля" в других словарях:

ФРЕНЕЛЯ ФОРМУЛЫ - определяют отношения амплитуды, фазы и состояния поляризации отражённой и преломлённой световых волн, возникающих при прохождении света через границу раздела двух прозрачных диэлектриков, к соответствующим хар кам падающей волны. Установлены… … Физическая энциклопедия

ФРЕНЕЛЯ ФОРМУЛЫ - определяют амплитуды, фазы и поляризации отраженной и преломленной плоских волн, возникающих при падении плоской монохроматической световой волны на неподвижную плоскую границу раздела двух однородных сред. Установлены О.Ж. Френелем в 1823 … Большой Энциклопедический словарь

Френеля формулы - определяют амплитуды, фазы и поляризации отражённой и преломлённой плоских волн, возникающих при падении плоской монохроматической световой волны на неподвижную плоскую границу раздела двух однородных сред. Установлены О. Ж. Френелем в 1823. * *… … Энциклопедический словарь

ФРЕНЕЛЯ ИНТЕГРАЛЫ - специальные функции Ф. и. представляют в виде рядов Асимптотич. представление при больших х: В прямоугольной системе координат (х, y)проекциями кривой где t действительный параметр, на координатные плоскости являются Корню спираль и кривые (см … Математическая энциклопедия

Френеля формулы - определяют отношения амплитуды, фазы и состояния поляризации отражённой и преломленной световых волн, возникающих при прохождении света через неподвижную границу раздела двух прозрачных диэлектриков, к соответствующим характеристикам… … Большая советская энциклопедия

ФРЕНЕЛЯ ФОРМУЛЫ - определяют амплитуды, фазы и поляризации отражённой и преломлённой плоских волн, возникающих при падении плоской монохроматич. световой волны на неподвижную плоскую границу раздела двух однородных сред. Установлены О. Ж. Френелем в 1823 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Уравнения Френеля - Переменные, используемые в уравнениях Френеля. Формулы Френеля или уравнения Френеля определяют амплитуды и интенсивности преломлённой и отражённой волны при прохождении света (и вообще электромагнитных волн) через плоскую границу раздела двух… … Википедия

Свет* - Содержание: 1) Основные понятия. 2) Teopия Ньютона. 3) Эфир Гюйгенса. 4) Принцип Гюйгенса. 5) Принцип интерференции. 6) Принцип Гюйгенса Френеля. 7) Принцип поперечности колебаний. 8) Завершение эфирной теории света. 9) Основание эфирной теории.… …

Свет - Содержание: 1) Основные понятия. 2) Теория Ньютона. 3) Эфир Гюйгенса. 4) Принцип Гюйгенса. 5) Принцип интерференции. 6) Принцип Гюйгенса Френеля. 7) Принцип поперечности колебаний. 8) Завершение эфирной теории света. 9) Основание эфирной теории.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Френель, Огюстен Жан - Огюстен Жан Френель Augustin Jean Fresnel Огюстен … Википедия

Формулы Френеля

Определим связь между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн. Рассмотрим вначале падающую волну с нормальной поляризацией. Если падающая волна имеет нормальную поляризацию, то и отраженная и преломленная волны будут иметь такую же поляризацию. В справедливости этого можно убедиться, анализируя граничные условия на поверхности раздела сред.

Если иметь составляющую с параллельной поляризацией, то граничные условия не будут выполняться ни в одной точке граничной поверхности.

Плоскость падения волны параллельна плоскости (ZoY). Направления распространения отраженной и преломленной волн также будут параллельны плоскости (ZoY) и у всех волн угол между осью X и направлением распространения волны будет равен: , а коэффициент

В соответствии со сказанным выше вектор всех волн параллелен оси X, а векторы параллельны плоскости падения волны (ZoY), поэтому у всех трёх волн проекция вектора на ось X равна нулю:

Вектор падающей волны определяется выражением:

Вектор падающей волны имеет две составляющие:

Уравнения для векторов отраженной волны имеют вид:

Уравнения для векторов поля преломленной волны имеют вид:

Для нахождения связи между комплексными амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн воспользуемся граничными условиями для касательных составляющих векторов электромагнитного поля на границе раздела сред:

Поле в первой среде на границе раздела сред в соответствии с (1.27) будет иметь вид:

Поле во второй среде определяется полем преломленной волны:

Так как вектор всех трёх волн параллелен границе раздела сред, а касательная составляющая вектора есть составляющая, то граничные условия (1.27) можно представить в виде:

Падающая и отраженная волны являются однородными, поэтому для них справедливы равенства:

где - волновое сопротивление первой среды.

Так как поля любой из рассматриваемых волн связаны между собой линейной зависимостью, то для преломления волн можно записать:

где - коэффициент пропорциональности.

Из выражений (1.29) получим проекции векторов:

Подставив равенства (1.31) в уравнения (1.28) и учтя равенство (1.30), получим новую систему уравнений:

Отражение и преломление на границе двух идеальных диэлектриков

У идеальных диэлектриков потери отсутствуют и. Тогда диэлектрические проницаемости сред - действительные величины и коэффициенты Френеля тоже будут действительными величинами. Определим, при каких условиях падающая волна без отражения переходит во вторую среду. Это происходит при полном прохождении волны через границу раздела сред и коэффициент отражения в этом случае должен быть равен нулю:

Рассмотрим падающую волну с нормальной поляризацией.

Коэффициент отражения будет равен нулю: в случае, если равен нулю числитель в формуле (1.34):

Однако, следовательно, для волны с нормальной поляризацией при любых углах падения волны на границу раздела. Это значит, что волна с нормальной поляризацией всегда отражается от границы раздела сред.

Волны с круговой и эллиптической поляризацией, которые можно представить в виде суперпозиции двух линейно поляризованных волн с нормальной и параллельной поляризацией, будут отражаться при любых углах падения на границу раздела сред. Однако соотношение между амплитудами нормально и параллельно поляризованных составляющих в отраженной и преломленной волнах будут иным, чем в падающей волне. Отражённая волна будет линейно поляризованной, а преломленная - эллиптически поляризованной.

Рассмотрим падающую волну с параллельной поляризацией.

Коэффициент отражения будет равен нулю: в случае, если равен нулю числитель в формуле (1.35):

Решив уравнение (1.37), получим:

Таким образом, падающая волна с параллельной поляризацией без отражения проходит через границу раздела, если угол падения волны определяется выражением (1.38). Этот угол называется угол Брюстера.

Определим, при каких условиях будет происходит полное отражение падающей волны от границы раздела двух идеальных диэлектриков. Рассмотрим случай, когда падающая волна распространяется в более плотной среде, т.е. .

Известно, что угол преломления определяется из закона Снеллиуса:

Так как: , то из выражения (1.38) следует, что:.

При некотором значении угла падения волны на границу раздела сред получаем:

Из равенства (1.40) видно, что: и преломленная волна скользит вдоль границы раздела сред.

Угол падения волны на границу раздела сред, определяемый уравнением (1.40), называется критическим углом:

Если угол падения волны на границу раздела сред больше критического: , то. Амплитуда отражённой волны, независимо от вида поляризации, равна по амплитуде падающей волне, т.е. происходит полное отражение падающей волны.

Остается выяснить, проникает ли электромагнитное поле во вторую среду. Анализ уравнения преломленной волны (1.26) показывает, что преломленная волна представляет собой плоскую неоднородную волну, распространяющуюся во второй среде вдоль границе раздела. Чем больше различие проницаемости сред, тем быстрее уменьшается поле во второй среде при удалении от границы раздела. Поле практически существует в достаточно тонком слое у границы раздела сред. Подобная волна называется поверхностной.

1.1. Граничные условия. Формулы Френеля

Классической задачей, для решения которой оказывается важной ориентация вектора Е , является прохождение световой волны через границу раздела двух сред. В силу геометрии задачи возникает разница в отражении и преломлении двух независимых компонент, поляризованных параллельно и перпендикулярно плоскости падения, и, следовательно, исходно неполяризованный свет после отражения или преломления становится частично поляризованным.

Граничные условия для векторов напряженности и индукции, известные из электростатики, уравнивают на границе раздела тангенциальные компоненты векторов Е и H и нормальные компоненты векторов D и B , по сути, выражая отсутствие токов и зарядов вдоль границы и ослабление внешнего электрического поля в e раз при попадании в диэлектрик:

При этом поле в первой среде складывается из полей падающей и отраженной волн, а во второй среде – равно полю преломленной волны (см. рис. 2.1).

Поле в любой из волн может быть записано в виде соотношений типа . Т. к. граничные условия (5.1) должны выполняться в любой точке границы раздела и в любой момент времени, из них можно получить законы отражения и преломления:

1. Частоты всех трех волн одинаковы: w 0 = w 1 = w 2 .

2. Волновые вектора всех волн лежат в одной плоскости:.

3. Угол падения равен углу отражения: a = a".

4. Закон Снеллиуса: . Можно показать, что произведение n ×sin a остается постоянным при любом законе изменения показателя преломления вдоль оси Z, не только ступенчатом на границах раздела, но и непрерывном.

На эти законы поляризация волн не влияет.

C другой стороны непрерывность соответствующих компонент векторов Е и H приводит к так называемым формулам Френеля, позволяющим рассчитать относительные амплитуды и интенсивности отраженной и прошедшей волн для обеих поляризаций. Выражения оказываются существенно различными для параллельной (вектор E лежит в плоскости падения) и перпендикулярной поляризации, естественно, совпадая для случая нормального падения (a = b = 0).

Геометрия полей для параллельной поляризации показана на рис. 5.2а, для перпендикулярной – на рис. 5.2б. Как было отмечено в разделе 4.1, в электромагнитной волне вектора E , H и k образуют правую ортогональную тройку. Поэтому если тангенциальные компоненты векторов E 0 и E 1 падающей и отраженной волн направлены одинаково, то соответствующие проекции магнитных векторов имеют разные знаки. С учетом этого, граничные условия приобретают вид:

(5.2)

для параллельной поляризации и

(5.3)

для перпендикулярной поляризации. Кроме того, в каждой из волн напряженности электрического и магнитного полей связаны соотношениями . С учетом этого, из граничных условий (5.2) и (5.3) можно получить выражения для амплитудных коэффициентов отражения и пропускания :

(5.4)

Помимо амплитудных, представляют интерес энергетические коэффициенты отражения R и пропускания T , равные отношению потоков энергии соответствующих волн. Т. к. интенсивность световой волны пропорциональна квадрату напряженности электрического поля, для любой поляризации выполняется равенство .Кроме того, справедливо соотношение R + T = 1, выражающее закон сохранения энергии при отсутствии поглощения на границе раздела. Таким образом,

(5.5)

Совокупность формул (5.4), (5.5) и называется формулами Френеля . Особый интерес представляет предельный случай нормального падения света на границу раздела (a = b = 0). При этом исчезает различие между параллельной и перпендикулярной поляризациями и

(5.6)

Из (5.6) находим, что при нормальном падении света из воздуха (n 1 = 1) на стекло (n 2 = 1.5) отражается 4% энергии светового пучка, а проходит 96%.

1.2. Анализ формул Френеля

Рассмотрим сначала энергетические характеристики. Из (5.5) видно, что при a + b = p/2 коэффициент отражения параллельной компоненты обращается в нуль: R || = 0. Угол падения, при котором возникает этот эффект, называется углом Брюстера . Из закона Снеллиуса легко найти, что

, (5.7)

где n 12 – относительный показатель преломления. В то же время для перпендикулярной компоненты R ^ ¹ 0. Поэтому при падении неполяризованного света под углом Брюстера отраженная волна оказывается линейно поляризованной в плоскости, перпендикулярной плоскости падения, а прошедшая – частично поляризованной с преобладанием параллельной компоненты (рис. 5.3а) и степенью поляризации

.

Для перехода воздух-стекло угол Брюстера близок к 56 о.

На практике получение линейно поляризованного света за счет отражения под углом Брюстера используется редко из-за низкого коэффициента отражения. Однако возможно построение поляризатора, работающего на пропускание, с использованием стопы Столетова (рис. 5.3б). Стопа Столетова состоит из нескольких плоскопараллельных стеклянных пластинок. При прохождении через нее света под углом Брюстера, перпендикулярная компонента практически полностью рассеивается на границах раздела, а прошедший луч оказывается поляризован в плоскости падения. Такие поляризаторы используются в мощных лазерных системах, когда поляризаторы других типов могут быть разрушены лазерным излучением. Другим применением эффекта Брюстера является снижение потерь на отражение в лазерах за счет установки оптических элементов под углом Брюстера к оптической оси резонатора.

Вторым важнейшим следствием формул Френеля является существование полного внутреннего отражения (ПВО) от оптически менее плотной среды при углах падения больших, чем предельный угол, определяемый из соотношения

Подробно эффект полного внутреннего отражения будет рассмотрен в следующем разделе, сейчас отметим только, что из формул (5.7) и (5.8) следует, что угол Брюстера всегда меньше предельного угла.

На графиках рис. 5.4а приведены зависимости коэффициентов отражения при падении света из воздуха на границы со средами с n 2 " = 1.5 (сплошные линии) и n 2 "" = 2.5 (штриховые линии). На рис. 5.4б направление прохождения границы раздела обратное.

Обратимся теперь к анализу амплитудных коэффициентов (5.4). Нетрудно видеть, что при любых соотношениях между показателями преломления и при любых углах коэффициенты пропускания t положительны. Это означает, что преломленная волна всегда софазна падающей.

Коэффициенты отражения r , напротив, могут быть отрицательны. Поскольку всякую отрицательную величину можно записать как , отрицательность соответствующего коэффициента можно интерпретировать как сдвиг фазы на p при отражении. Об этом эффекте часто говорят также как о потере полволны при отражении.

Из (5.4) следует, что при отражении от оптически более плотной среды (n 1 < n 2 , a > b) r ^ < 0 при всех углах падения, а r || < 0 при углах падения меньших угла Брюстера. При отражении от оптически менее плотной среды (n 1 > n 2 , a < b) отражение софазное за исключением случая падения света с параллельной поляризацией под углом большим угла Брюстера (но меньшим предельного угла). Очевидно, что при нормальном падении на оптически более плотную среду фаза отраженной волны всегда сдвинута на p.

Таким образом, естественно поляризованный свет при прохождении границы раздела двух сред превращается в частично поляризованный, а при отражении под углом Брюстера даже в линейно поляризованный. Линейно поляризованный свет при отражении и преломлении остается линейно поляризованным, но ориентация плоскости поляризации может измениться из-за различия коэффициентов отражения двух компонент.