Формула объема пирамиды через трехгранный угол. Формулы объема правильной треугольной пирамиды
Одной из самых простых объемных фигур является треугольная пирамида, поскольку она состоит из наименьшего числа граней, из которого можно образовать фигуру в пространстве. В данной статье рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти объем треугольной правильной пирамиды.
Треугольная пирамида
Согласно общему определению пирамида представляет собой многоугольник, все вершины которого соединены с одной точкой, не расположенной в плоскости этого многоугольника. Если последний представляет собой треугольник, то вся фигура называется треугольной пирамидой.
Рассматриваемая пирамида состоит из основания (треугольника) и трех боковых граней (треугольников). Точка, в которой соединены три боковые грани, называется вершиной фигуры. Опущенный на основание перпендикуляр из этой вершины является высотой пирамиды. Если точка пересечения перпендикуляра с основанием совпадает с точкой пересечения медиан треугольника в основании, тогда говорят о правильной пирамиде. В противном случае она будет наклонной.
Как было сказано, основание треугольной пирамиды может представлять собой треугольник общего типа. Однако если он является равносторонним, а сама пирамида прямой, тогда говорят о правильной объемной фигуре.
Любая имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Если длины всех ребер равны между собой, тогда такая фигура называется тетраэдром.
общего типа
Прежде чем записать правильной треугольной пирамиды, приведем выражение этой физической величины для пирамиды общего типа. Это выражение имеет вид:
Здесь S o - площадь основания, h - высота фигуры. Это равенство будет справедливым для любого типа основания многоугольника пирамиды, а также для конуса. Если же в основании находится треугольник, имеющий длину стороны a и высоту h o , опущенную на нее, тогда формула для объема запишется так:
Формулы объема правильной треугольной пирамиды
Треугольная имеет равносторонний треугольник в основании. Известно, что высота этого треугольника связана с длиной его стороны равенством:
Подставляя это выражение в формулу для объема треугольной пирамиды, записанную в предыдущем пункте, получаем:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Объем правильной пирамиды с треугольным основанием является функцией длины стороны основания и высоты фигуры.
Поскольку любой правильный многоугольник можно вписать в окружность, радиус которой однозначно определит длину стороны многоугольника, тогда эту формулу можно записать через соответствующий радиус r:
Эту формулу легко получить из предыдущей, если учесть, что радиус r описанной окружности через длину стороны a треугольника определяется выражением:
Задача на определение объема тетраэдра
Покажем, как использовать приведенные выше формулы при решении конкретных задач геометрии.
Известно, что тетраэдр имеет длину ребра 7 см. Найдите объем правильной треугольной пирамиды-тетраэдра.
Напомним, что тетраэдр является правильной треугольной пирамидой, в которой все основания равны между собой. Чтобы воспользоваться формулой объема правильной пирамиды треугольной, необходимо вычислить две величины:
- длину стороны треугольника;
- высоту фигуры.
Первая величина известна из условия задачи:
Чтобы определить высоту, рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке.
Отмеченный треугольник ABC является прямоугольным, где угол ABC равен 90 o . Сторона AC - это гипотенуза, длина которой равна a. Путем несложных геометрических рассуждений можно показать, что сторона BC имеет длину:
Заметим, что длина BC является радиусом описанной вокруг треугольника окружности.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Теперь можно h и a подставить в соответствующую формулу для объема:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Таким образом, мы получили формулу объема тетраэдра. Видно, что объем зависит только от длины ребра. Если в выражение подставить значение из условия задачи, тогда получаем ответ:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 см 3 .
Если сравнить эту величину с объемом куба, имеющим такое же ребро, то получим, что объем тетраэдра в 8,5 раз меньше. Это свидетельствует о том, что тетраэдр является компактной фигурой, которая реализуется в некоторых природных веществах. Например, молекула метана имеет тетраэдрическую форму, а каждый атом углерода в алмазе соединен с четырьмя другими атомами, образующими тетраэдр.
Задача с гомотетичными пирамидами
Решим одну любопытную геометрическую задачу. Предположим, что имеется треугольная правильная пирамида с некоторым объемом V 1 . Во сколько раз следует уменьшить размеры этой фигуры, чтобы получить гомотетичную ей пирамиду с объемом, в три раза меньшим исходного?
Задачу начнем решать с записи формулы для исходной правильной пирамиды:
V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .
Пусть необходимый по условию задачи объем фигуры получится, если умножить ее параметры на коэффициент k. Имеем:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Поскольку из условия известно отношение объемов фигур, то получаем значение коэффициента k:
k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.
Отметим, что аналогичное значение коэффициента k мы бы получили для пирамиды произвольного типа, а не только для правильной треугольной.
Определение. Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).
Определение. Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.
Определение. Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.
Определение. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.
Определение. Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.
Определение. Правильная пирамида - это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.
Объём и площадь поверхности пирамиды
Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:
Свойства пирамиды
Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).
Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.
Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.
Свойства правильной пирамиды
1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.
2. Все боковые ребра равны.
3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.
4. Апофемы всех боковых граней равны.
5. Площади всех боковых граней равны.
6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.
7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.
8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.
9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n , где n - это количество углов в основании пирамиды.
Связь пирамиды со сферой
Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.
Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.
В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.
Связь пирамиды с конусом
Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.
Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.
Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.
Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.
Связь пирамиды с цилиндром
Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.
Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.
Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол .
Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).
Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).
Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.
Определение. Остроугольная пирамида - это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.
Определение. Тупоугольная пирамида - это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.
Определение. Правильный тетраэдр - четырехгранник у которого все четыре грани - равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.
Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.
Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание - правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.
Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.
Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.
Чтобы найти объем пирамиды, нужно знать несколько формул. Рассмотрим их.
Как найти объем пирамиды – 1-ый способ
Объем пирамиды можно узнать с помощью высоты и площади ее основания. V = 1/3*S*h. Так, например, если высота пирамиды 10 см, а площадь ее основания 25 см 2 , то объем будет равен V = 1/3*25*10 = 1/3*250 = 83.3 см 3
Как найти объем пирамиды – 2-ой способ
Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то найти ее объем можно по следующей формуле: V = na 2 h/12*tg(180/n), где а – сторона лежащего в основании многоугольника, а n – количество его сторон. Например: В основании лежит правильный шестиугольник, то есть n = 6. Так как он правильный, все его стороны равно, то есть все a равны. Скажем a = 10, а h – 15. Вставляем числа в формулу и получаем приблизительный ответ – 1299 см 3
Как найти объем пирамиды – 3-ий способ
Если в основании пирамиды лежит равносторонний треугольник, то ее объем можно найти по следующей формуле: V = ha 2 /4√3, где а – сторона равностороннего треугольника. Например: высота пирамиды – 10 см, сторона основания – 5 см. Объем будет равен V = 10*25/4√ 3 = 250/4√ 3. Обычно то, что получилось в знаменателе не вычисляют и оставляют в таком же виде. Можно также умножить и числитель, и знаменатель на 4√ 3. Получим 1000√ 3/48. Сократив получим 125√ 3/6 см 3 .
Как найти объем пирамиды – 4-ый способ
Если в основании пирамиды лежит квадрат, то ее объем можно найти по следующей формуле: V = 1/3*h*a 2 , где a – сторон квадрата. Например: высота – 5 см, сторона квадрата – 3 см. V = 1/3*5*9 = 15 см 3
Как найти объем пирамиды – 5-ый способ
Если пирамида является тетраэдром, то есть у нее все грани – равносторонние треугольники, найти объем пирамиды можно по следующей формуле: V = a 3 √2/12, где a – ребро тетраэдра. Например: ребро тетраэдра = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 см 3
Слово «пирамида» невольно ассоциируется с величественными великанами в Египте, верно хранящими покой фараонов. Может быть поэтому пирамиду как безошибочно узнают все, даже дети.
Тем не менее, попробуем дать ей геометрическое определение. Представим на плоскости несколько точек (А1,А2,..., Ап) и еще одну (Е), не принадлежайшую ей. Так вот, если точку Е (вершину) соединить с вершинами многоугольника, образованного точками А1,А2,..., Ап (основание), получится многогранник, который и называют пирамидой. Очевидно, что вершин у многоугольника в основании пирамиды может быть сколько угодно, и в зависимости от их количества пирамиду можно назвать треугольной и четырехугольной, пятиугольной и т.д.
Если внимательно присмотреться к пирамиде, то станет ясно, почему ее определяют еще и по-другому - как геометрическую фигуру, имеющую в основании многоугольник, а в качестве боковых граней - треугольники, объединенные общей вершиной.
Поскольку пирамида - пространственная фигура, то и у нее есть такая количественная характеристика, как вычисляют по хорошо известной равного трети произведения основания пирамиды на ее высоту:
Объем пирамиды при выводе формулы первоначально рассчитывается для треугольной, взяв за основу постоянное соотношение, связывающее эту величину с объемом треугольной призмы, имеющей то же основание и высоту, которая, как оказывается, в три раза превышает этот объем.
А поскольку любая пирамида разбивается на треугольные, и ее объем не зависит от выполняемых при доказательстве построений, правомерность приведенной формулы объема - очевидна.
Особняком среди всех пирамид стоят правильные, у которых в основании лежит Что же касается , то она должна «оканчиваться» в центре основания.
В случае неправильного многоугольника в основании для вычисления площади основания потребуется:
- разбить его на треугольники и квадраты;
- подсчитать площадь каждого из них;
- сложить полученные данные.
В случае правильного многоугольника в основании пирамиды, его площадь рассчитывают по готовым формулам, поэтому объем правильной пирамиды вычисляется совсем просто.
Например, чтобы вычислить объем четырехугольной пирамиды, если она правильная, возводят длину стороны правильного четырехугольника (квадрата) в основании в квадрат и, умножив на высоту пирамиды, делят полученное произведение на три.
Объем пирамиды можно вычислить, используя и другие параметры:
- как треть произведения радиуса шара, вписанного в пирамиду, на площадь ее полной поверхности;
- как две трети произведения расстояния между двумя произвольно взятыми скрещивающимися ребрами и площади параллелограмма, который образуют середины оставшихся четырех ребер.
Объем пирамиды вычисляется просто и в случае, когда его высота совпадает с одним из боковых ребер, то есть в случае прямоугольной пирамиды.
Говоря о пирамидах, нельзя обойти вниманием также усеченные пирамиды, полученные сечением пирамиды параллельной основанию плоскостью. Их объем практически равен разности объемов целой пирамиды и отсеченной вершины.
Первым объем пирамиды, правда не совсем в его современном виде, однако равным 1/3 объема известной нам призмы, нашел Демокрит. Его метод подсчета Архимед назвал «без доказательства», поскольку Демокрит подходил к пирамиде, как к фигуре, сложенной из бесконечно тонких, подобных пластинок.
К вопросу нахождения объема пирамиды «обратилась» и векторная алгебра, используя для этого координаты ее вершин. Пирамида, построенная на тройке векторов a,b,c, равна одной шестой от модуля смешанного произведения заданных векторов.
Здесь разберём примеры связанные с понятием объёма. Для решения подобных заданий обязательно нужно знать формулу объёма пирамиды:
S
h – высота пирамиды
Основанием может быть любой многоугольник. Но в большинстве задач на ЕГЭ речь в условии, как правило, идёт о правильных пирамидах. Напомню одно из её свойств:
Вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания
Посмотрите на проекцию правильной треугольной, четырёхугольной и шестиугольной пирамид (ВИД СВЕРХУ):
Можете на блоге, где разбирались задачи связанные с нахождением объёма пирамиды. Рассмотрим задачи:
27087. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна корню из трёх.
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Найдём площадь основания пирамиды, это правильный треугольник. Воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:
Ответ: 0,25
27088. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен корню из трёх.
Такие понятия как высота пирамиды и характеристики её основания связаны формулой объёма:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Сам объём нам известен, площадь основания можем найти, так как известны стороны треугольника, который является основанием. Зная указанные величины без труда найдём высоту.
Для нахождения площади основания воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:
Таким образом, подставив данные значения в формулу объема можем вычислить высоту пирамиды:
Высота равна трём.
Ответ: 3
27109. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
Объём пирамиды вычисляется по формуле:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Высота нам известна. Необходимо найти площадь основания. Напомню, что вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Мы можем найти его диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен синим):
Отрезок соединяющий центр квадрата с точкой В это катет, который равен половине диагонали квадрата. Этот катет можем вычислить по теореме Пифагора:
Значит BD = 16. Вычислим площадь квадрата воспользовавшись формулой площади четырёхугольника:
Следовательно:
Таким образом, объём пирамиды равен:
Ответ: 256
27178. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
Высота пирамиды и её и объём известны, значит можем найти площадь квадрата, который является основанием. Зная площадь квадрата, мы сможем найти его диагональ. Далее рассмотрев прямоугольный треугольник по теореме Пифагора вычислим боковое ребро:
Найдём площадь квадрата (основания пирамиды):
Вычислим диагональ квадрата. Так как его площадь равна 50, то сторона будет равна корню из пятидесяти и по теореме Пифагора:
Точка О делит диагональ BD пополам, значит катет прямоугольного треугольника ОВ = 5.
Таким образом, можем вычислить чему равно боковое ребро пирамиды:
Ответ: 13
245353. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.
Как уже неоднократно было сказано – объём пирамиды вычисляется по формуле:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Боковое ребро перпендикулярное основанию равно трём, это означает, что высота пирамиды равна трём. Основания пирамиды – это многоугольник, площадь которого равна:
Таким образом:
Ответ: 27
27086. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
