Судоку простые примеры решать. Как разгадывать судоку? Правила и способы решения

Не буду рассказывать про правила, а сразу перейду к методикам.
Для решения головоломки, не важно сложной или простой, изначально ищутся ячейки очевидные для заполнения.

1.1 «Последний герой»

Рассмотрим седьмой квадрат. Всего четыре свободных клетки, значит что-то можно быстро заполнить.
"8 " на D3 блокирует заполнение H3 и J3 ; точно также "8 " на G5 закрывает G1 и G2
С чистой совестью ставим "8 " на H1

1.2 «Последний герой» в строке

После просмотра квадратов на очевидные решения, переходим к столбцам и строкам.
Рассмотрим "4 " на поле. Понятно, что она будет где-то в строке A .
У нас есть "4 " на G3 , что зыкрывает A3 , есть "4 " на F7 , убирающая A7 . И ещё одна "4 " во втором квадрате запрещает её повтор на A4 и A6 .
«Последний герой» для нашей "4 " это A2

1.3 «Выбора нет»

Иногда есть несколько причин для конкретного расположения. "4 " в J8 будет отличным примером.
Синие стрелки показывают, что это последнее возможное число в квадрате. Красные и синие стрелки дают нам последнее число в столбце 8 . Зеленые стрелки дают последнее возможное число в строке J .
Как видим, выбора у нас нет, кроме как поставить эту "4 " на место.

1.4 «А кто, как не я?»

Заполнение чисел проще проводить вышеописанными методами. Однако проверка числа, как последнего возможного значения, тоже даёт результаты. Метод стоит применять, когда кажется, что все числа есть, но чего-то не хватает.
"5 " в B1 ставится исходя из того, что все числа от "1 " до "9 ", кроме "5 " есть в строке, столбце и квадрате (отмечено зеленым).

На жаргоне это "Голая одиночка ". Если заполнять поле возможными значениями (кандидатами), то в ячейке такое число будет единственным возможным. Развивая эту методику, можно искать "Скрытые одиночки " - числа, уникальные для конкретной строки, столбца или квадрата.

2. «Голая миля»

2.1 «Голые» пары

"«Голая» пара " - набор из двух кандидатов, расположенных в двух ячейках, принадлежащих одному общему блоку: строке, столбцу, квадрату.
Понятно, что правильные решения головоломки будут только в этих ячейках и только с этими значениями, в то время как все другие кандидаты из общего блока могут быть убраны.


В этом примере несколько «голых пар».
Красным в строке А выделены ячейки А2 и А3 , обе содержащие "1 " и "6 ". Я пока не знаю, как именно они расположены здесь, но я спокойно могу убрать все другие "1 " и "6 " из строки A (отмечено желтым). Также А2 и А3 принадлежат общему квадрату, поэтому убираем "1 " из C1 .

2.2 «Threesome»

«Голые тройки» - усложненный вариант «голых пар».
Любая группа из трех ячеек в одном блоке содержащая в общем три кандидата является «голой тройкой» . Когда такая группа нашлась, эти три кандидата могут быть убраны из других ячеек блока.

Комбинации кандидатов для «голой тройки» могуть быть такими:

// три числа в трех ячейках.
// любые комбинации.
// любые комбинации.

В этом примере все довольно очевидно. В пятом квадрате ячейки E4 , E5 , E6 содержат [5,8,9 ], [5,8 ], [5,9 ] соответственно. Получается, что в общем у этих трех ячеек есть [5,8,9 ], и только эти числа там могут быть. Это позволяет нам убрать их из других кандидатов блока. Этот трюк даёт нам решение "3 " для ячейки E7 .

2.3 «Великолепная четверка»

"«Голая» четверка" весьма редкое явление, особенно в полной форме, и все же дает результаты при обнаружении. Логика решения такая же как и у «голых троек» .

В указанном примере в первом квадрате ячейки A1 , B1 , B2 и C1 в общем содержат [1,5,6,8 ], поэтому эти числа займут только эти ячейки и никакие другие. Убираем подсвеченных желтым кандидатов.

3. «Все тайное становится явным»

3.1 Скрытые пары

Отличным способом раскрыть поле будет поиск скрытых пар . Этот метод позволяет убрать лишних кандидатов из ячейки и дать развитие более интересным стратегиям.

В этой головоломке мы видим, что 6 и 7 есть в первом и втором квадратах. Кроме этого 6 и 7 есть в столбце 7 . Комбинируя эти условия, мы можем утверждать, что в ячейках A8 и A9 будут только эти значения и все другие кандидаты мы убираем.

Более интересный и сложный пример скрытых пар . Синим выделена пара [2,4 ] в D3 и E3 , убирающая 3 , 5 , 6 , 7 из этих ячеек. Красным выделены две скрытые пары, состоящие из [3,7 ]. C одной стороны, они уникальны для для двух ячеек в 7 столбце, с другой стороны - для строки E . Выделеные желтым кандидаты убираются.

3.1 Скрытые тройки

Мы можем развить скрытые пары до скрытых троек или даже скрытых четверок . Скрытая тройка состоит из трех пар чисел, расположенных в одном блоке. Такие как , и. Однако, как и в случае с «голыми тройками» , в каждой из трех ячеек не обязательно должно быть по три числа. Сработают всего три числа в трех ячейках. Например , , . Скрытые тройки будут замаскированы другими кандидатами в ячейках, поэтому сначала надо убедиться, что тройка применима к конкретному блоку.

В этом сложном примере есть две скрытые тройки . Первая, отмеченная красным, в столбце А . Ячейка А4 содержит [2,5,6 ], A7 - [2,6 ] и ячейка A9 -[2,5 ]. Эти три ячейки единственные, где могут быть 2 ,5 или 6, поэтому только они там и будут. Следовательно убираем лишних кандидатов.

Вторая, в столбце 9 . [4,7,8 ] уникальны для ячеек B9 , C9 и F9 . Используя ту же логику, убираем кандидатов.

3.1 Скрытые четверки

Прекрасный пример скрытых четверок . [1,4,6,9 ] в пятом квадрате могут быть только в четырех ячейках D4 , D6 , F4 , F6 . Следуя нашей логике, убираем всеъ других кандидатов (отмеченых желтым).

4. «Нерезиновая»

Если любое из чисел появляется дважды или трижды в одном блоке (строке, столбце, квадрате), тогда мы можем убрать это число из сопряженного блока. Есть четыре вида сопряжения:

1. Пара или Тройка в квадрате - если они расположены в одной строке, то можно убрать все другие такие же значения из соответствующей строки.
2. Пара или Тройка в квадрате - если они расположены в одном столбце, то можно убрать все другие такие же значения из соответствующего столбца.
3. Пара или Тройка в строке - если они расположены в одном квадрате, то можно убрать все другие такие же значения из соответствующего квадрата.
4. Пара или Тройка в столбце - если они расположены в одном квадрате, то можно убрать все другие такие же значения из соответствующего квадрата.

4.1 Указавыющие пары, тройки

В качестве примера покажу эту головоломку. В третьем квадрате "3 " находится только в B7 и B9 . Следуя утверждению №1 , мы убираем кандидатов из B1 , B2 , B3 . Аналогично, "2 " из восьмого квадрата убирает возможное значение из G2 .

Особенная головоломка. Очень сложная в решении, но, если присмотреться, можно заметить несколько указывающих пар . Понятно, что не всегда обязательно находить их все, чтобы продвинуться в решении, однако каждая такая находка облегчает нам задачу.

4.2 Сокращаем несокращаемое

Эта стратегия включает в себя аккуратный анализ и сравнение строк и столбцов с содержимым квадратов (правила №3 , №4 ).
Рассмотрим строку А . "2 " возможны только в А4 и А5 . Следуя правилу №3 , убираем "2 " их B5 , C4 , C5 .

Продолжим решать головоломку. Имеем единственное расположение "4 " в пределах одного квадрата в 8 столбце. Согласно правилу №4 , убираем лишних кандитатов и, в добавок, получаем решение "2 " для C7 .

Математическая головоломка под названием « » родом из Японии. Она получила широкое распространение во всем мире благодаря своей увлекательности. Для ее решения потребуется сконцентрировать внимание, память, задействовать логическое мышление.

Головоломку печатают в газетах и журналах, существуют компьютерные версии игры и мобильные приложения. Суть и правила в любой из них одинаковы.

Как играть

За основу головоломки взят латинский квадрат. Поле для игры выполнено в форме именно этой геометрической фигуры, каждая сторона которой состоит из 9 клеток. Большой квадрат заполнен маленькими квадратными блоками, подквадратами, со стороной в три клетки. В начале игры в определенные из них уже вписаны цифры-«подсказки».

Необходимо заполнить все оставшиеся пустые ячейки натуральными числами от 1 до 9.

Сделать это нужно так, чтобы цифры не повторялись:

• в каждом столбце,
• в каждой строке,
• в любом из малых квадратов.

Таким образом в каждой строке и каждом столбце большого квадрата будут расположены цифры от одного до десяти, любой малый квадрат также будет содержать эти цифры без повторений.

Уровни сложности

Игра имеет единственное правильное решение. Есть различные уровни сложности: простую головоломку, с большим количеством заполненных клеток, можно решить за несколько минут. На сложную, где расставлено малое количество цифр, можно потратить несколько часов.

Методики решения

Применяются различные подходы к решению задач. Рассмотрим самые распространенные.

Метод исключения

Это дедуктивный способ, он предполагает поиск однозначных вариантов - когда для записи в ячейку подходит лишь одна цифра.

В первую очередь принимаемся за квадрат, наиболее заполненный цифрами, - левый нижний. В нем не хватает единицы, семерки, восьмерки и девятки. Чтобы узнать, куда поставить единичку, посмотрим на столбцы и строки, где есть эта цифра: она есть во втором столбце, поэтому наша пустая клетка (самая нижняя во втором столбце) не может ее содержать. Остается три возможных варианта. Но нижняя строка и вторая с самого низа строка также содержат единичку - поэтому методом исключения у нас остается правая верхняя пустая клетка в рассматриваемом подквадрате.

Подобным образом заполняем все пустые клетки.

Запись чисел-кандидатов в ячейку

Для решения в левом верхнем углу клетки записываются варианты - числа-кандидаты. Затем неподходящие по правилам игры «кандидаты» вычеркиваются. Таким образом постепенно заполняется все свободное пространство.

Опытные игроки соревнуются друг с другом в мастерстве, в скорости заполнения пустых клеток, хотя эту головоломку лучше всего решать не спеша - и тогда успешное завершение судоку принесет огромное удовлетворение.

Решение судоку - процесс творческий. Правила головоломки очень просты, хотя логические рассуждения во время поиска решения могут быть разной степени сложности. Опыт приходит только со временем, и каждый игрок разрабатывает собственную стратегию. А чтобы вы могли лучше ориентироваться в способах решения головоломок и вошли во вкус, представляем некоторые рекомендации.

Начните решение с единицы.

1. Сначала "осмотритесь" на игровом поле, отыскав все ячейки с цифрой "1".

2. Проверьте последовательно каждый из блоков 3х3, содержит ли он уже единицу. Если содержит, рассмотрите следующий.

3. Если единицы в блоке еще нет, попробуйте найти все ячейки внутри этого блока, в которых могла бы стоять единица. Не забывайте о правиле: каждая цифра может стоять в каждой строке, в каждом столбце и каждом блоке только один раз. Исключите из рассмотрения все ячейки блока, в которых цифра "1" не может находиться, потому что столбец или строка уже "заняты". Вполне вероятно, что найдется такой блок, в котором останется всего одна клетка, в которой может находиться единица. Впишите ее.

4. Если вы не уверены в однозначности решения, лучше оставить этот блок и попробовать с другим. Подходящий блок найдется обязательно.

После того как вы "пройдете" все блоки с цифрой "1", повторите поиск с другим числом. Например с двойкой. Потом с тройкой и так далее. До тех пор, пока вы не проверите все цифры от 1 до 9. И вы увидите, что заполнили уже много клеток. После чего советуем повторить всю "процедуру" еще раз с самого начала - снова от 1 до 9. Во второй раз дело пойдет легче, потому что многие клетки уже заполнены. И там, где вы сомневались, можно уверенно вписать цифру.

Пользуясь рекомендациями, решить простую головоломку не составит большого труда. По своему опыту мы знаем, что люди, легко решающие простые судоку, могут испытывать трудности со сложными. По этому рассмотрим подробно решение одной из задач.

Для удобства объяснения будем использовать нумерацию строк, столбцов и блоков 3х3 от 1 до 9. Порядок нумерации: слева - направо и сверху - вниз.

Обозначения:

1. Серый блок, строка или столбец - это "зона", которую анализируем в поисках решения;

2. Выделенная "жирная" цифра(синего цвета) - искомая цифра, найденная в процессе анализа;

3. Линии показывают, что по этому направлению не может быть поставлена цифра, от которой эта линия начинается.

Находим цифру "1" во 2-м блоке. Линии, идущие от единиц 5-го и 8-го блоков, перечеркивают остальные пустые клетки.

Находим цифру "1" в 4-м блоке. Для этого снала определим, где в 6-м блоке могут быть единицы, проводя линии от единиц 5-го и 9-го блоков - две единички в верхнем ряду. Уже от них проводим линию в сторону 4-го блока и линию от единицы 5-го блока.

Поиск возможных двоек не увенчался успехом, но можно найти тройку в 9-м блоке, проведя линии от троек в 3-м и 6-м блоках. Не нашлись варианты и для цифр "4", "5", "6", "7". А вот цифра "8" нашлась в 8-м квадрате: линии от восьмерок 2-го, 5-го и 7-го блоков. Девятка тоже не нашлась.

Начнем новый поиск единиц. Нашлась единица в первом блоке: линии от единиц во 2-м и 9-м блоках определили возможные положения единицы в 3-м блоке, от них линии потянулись в 1-й блок. Остальные линии видны на рисунке. Следующая единица нашлась в блоке 7.

Первая двойка нашлась в блоке 4, после чего там же определилась и первая пятерка. Цифры "3", "4", "6", "7" найдены не были.

Цифра "8" блока 1 определяется по линиям от восьмерок из блоков 4 и 7. Затем найдем девятку 9-го ряда: так как ее не может быть в блоках 7 и 8 (см. линии от соответствующих девяток), то она стоит в блоке 9.

Цифра "9" в 1-й строке: ее не может быть в блоке 2, значит она в блоке 3. В оставшуюся клетку строки вписываем "5". Две цифры "9" нашлись в блоках 5 и 6. Начинаем опять с цифры "1".

Первой нашлась четвертка 6-го блока. Затем четверка 5-го столбца - она не может быть в 4-й и в 7-й строке. Тройки не может быть в 7-й строке, значит она в 4-й. Тогда в оставшейся ячейке шестерка.

В следующем шаге очередь не обязательна: сначала находим восьмерку, а затем единицу в блоке 6, или наоборот.

Продолжаем расставлять восьмерки: сначала находим "8" в блоке 9, а от нее ведем линию, определяя восьмерку в блоке 3.

Следующими нашлись цифры "1" и "6" в блоке 3, очередность нахождения не принципиальна.

Затем определимся с цифрой "7" в 9-м столбце: ее не может быть в блоке 6, тогда она во 2-й строке. От пятерки в блоке 1 проводим линию - находим место цифре "5" в 3-м блоке. В свободную клетку вписываем последнюю цифру - "2".

Во втором ряду находим цифру "2", затем "4" и, наконец "9".

Затем находим цифру "4" в блоке 8. В оставшейся клетке - "7". Ведем от нее линию вверх до блока 5 - новая семерка. В незаполненной клетке 9-й строки - "7".

Найдем последовательно цифры "5", "2", "6" в блоке 5 и цифры "7", "3" в 6-м ряду. Затем получим "5" и "6" в 6-м блоке. Последняя цифра "6" в 4-м блоке.

Следующие "7" и "3" в 1-м блоке; цифры "7" и "2" в 7-м столбце и "5" в блоке 9. Анализируем 7-ю строку, 2-й столбец и расставляем сначала "9", затем "3" и "2". Последний штрих - "4" и "6".

Решение закончено.

В очень сложных задачах встречается еще один прием. Его используют, когда никак не получается вычислить единственный ход. Есть как минимум две клетки для одной цифры в блоке (строке/столбце). Перебирать в уме все последствия от выбранной наугад позиции чрезвычайно трудно. Тогда следует цифру вписать наугад, но карандашем. При этом единственные варианты можно сразу вписывать шариковой ручкой. Если через несколько ходов обнаруживается ошибка, например, какую либо цифру вписать в блок невозможно - нет подходящего места, то весь карандашный вариант стирается и в начальных клетках вписывается второй вариант. Еще можно использовать запись в клетках всех возможных цифр на данный момент, это помогает быстрее ориентироваться в поиске решения. В любом случае начинайте с легких головоломок и успехов вам!

В предыдущих статьях мы рассматривали разные подходы в решении проблем на примерах головоломок судоку. Пришло время попытаться, в свою очередь, проиллюстрировать возможности рассмотренных подходов на достаточно сложном примере решения проблем. Итак, сегодня мы приступим к самому "невероятному" варианту судоку. Терминологию и предварительные сведения вы, уж будьте так любезны, посмотрите в , иначе вам трудно будет понять содержание данной статьи.

Вот какие сведения я нашел об этом сверхсложном варианте в интернете:

Профессор Хельсинского университета Арто Инкала (Arto Inkala) утверждает (2011г.), что он создал самый сложный в мире кроссворд судоку. Эту сложнейшую головоломку он создавал три месяца.

По его словам, созданный им кроссворд невозможно решить с помощью одной лишь только логики. Арто Инкала утверждает, что даже самые опытные игроки на решение потратят не меньше нескольких дней. Изобретение профессора получило название AI Escargot (AI – инициалы ученого, Escargot – от англ. «улитка»).

Для решения этой непростой задачи, как утверждает Арто Инкала, в голове одновременно нужно держать восемь последовательностей, в отличие от обычных головоломок, где помнить нужно об одной-двух последовательностях.

Ну, "последовательности переборов" – это все же отдает машинным вариантом решения проблем, а те, кто решал задачу Арто Инкала посредством собственных мозгов, говорят об этом по-разному. Кто-то решал ее пару месяцев, кто-то объявил о том, что на это потребовалось лишь 15 минут. Ну что ж, чемпион мира по шахматам возможно и справился бы с задачей за такое время, а экстрасенс, если таковые обитают на нашей плане, возможно и еще быстрее. А еще мог быстро решить задачу тот, кто случайно с первого разу подобрал несколько удачных цифр для заполнения пустых ячеек. Скажем, одному из тысячи решателей задачи могло бы подобным образом и повезти.

Так вот, о переборе: если удачно выбрать две три правильных цифры, то перебирать восемь последовательностей (а это десятки вариантов) может и не потребоваться. Такое у меня было соображение, когда я решил приступить к решению указанной задачи. Для начала я, будучи уже подготовленным в рамках методик предыдущих статей, решил забыть о том, что знал до сих пор. Есть такой прием, заключающийся в том, что поиск решения должен протекать свободно, без навязанных ему схем и идей. А ситуация для меня была новой, так что требовалось на нее и по-новому взглянуть. Я расположил (в Эксель) исходную таблицу (справа) и рабочую таблицу, о смысле которой я уже имел случай рассказать в первой о судоку моей статье :

Рабочая таблица, напомню, содержит предварительно допустимые сочетания цифр в исходно пустых ячейках.

После обычной почти рутинной обработки таблиц ситуации немного упростилась:

Эту ситуацию я и начал изучать. Ну а поскольку я уже подзабыл, как именно я решал эту задачу несколькими днями раньше, то начинаю осмысливать ее по новой. Прежде всего, я обратил внимание на два числа 67 в ячейках четвертого блока и совместил их с механизмом вращения (перемещения) ячеек, о котором рассказывал в предыдущей статье. Перебрав все варианты вращения трех первых столбцов таблицы, я пришел к выводу, что цифры 6 и 7 не могут находиться в одном столбце и не могут вращаться асинхронно, они, в процессе вращения, могут лишь следовать одна за другой. Также, если присмотреться, семерка с четверкой как бы передвигаются синхронно по всем трем столбцам. Поэтому я делаю правдоподобное предположение, что в нижней левой ячейке блока 4 должна разместиться цифра 7, а в правой верхней – соответственно 6.

Но этот результат я пока принимаю лишь как возможный ориентир в опробовании других вариантов. А основное внимание я обращаю на число 59 в ячейке 4-го блока. Здесь может быть либо цифра 5, либо 9. Девятка обещает уничтожить очень много лишних цифр, т.е. упростить дальнейший ход решения задачи, и я начинаю с этого варианта. Но довольно быстро захожу в "тупик", т.е. далее надо снова делать какой-то выбор и как знать, как долго мой выбор будет проверяться. Я предполагаю, что если бы девятка действительно была когда-то правильным выбором, то Инкала вряд ли бы оставил такой очевидный вариант на виду, хотя механизм его программы мог и допустить подобный ляпсус. В общем, так или иначе, я решил сначала досконально проверить вариант с цифрой 5 в ячейке с числом 59.

Но уже позже, когда решил задачу, я, так сказать для очистки совести, все же вернулся к варианту с цифрой 9, чтобы определить как долго пришлось бы его проверять. Проверять пришлось не очень долго. Когда у меня в правой верхней ячейке блока 4 оказалась цифра 6, как и полагалось по предварительно выбранному ориентиру, то в правой средней ячейке возникло число 19 (убралась 6 из 169). Я выбрал для дальнейшего опробование цифру 9 в этой ячейке и быстро пришел к противоречивому результату, т.е. выбор девятки не верен. Тогда выбираю цифру 1 и снова проверяю, что из этого выйдет.

На каком-то шаге прихожу к ситуации:

где снова приходится делать выбор – цифру 2 или 8 в верхней средней ячейке блока 4. Проверяю оба варианта (2 и 8) и в обоих случаях заканчиваю противоречивым (не отвечающим условию судоку) результатом. Так что мог бы проверить вариант с цифрой 9 в средней нижней ячейке блока 4 с самого начала и много времени на это не потребовалось бы. Но я все же, как уже говорил, остановился на цифре 5 в упомянутой ячейке. Это привело меня к следующему результату:

Расположение цифр 4 и 7 в первых трех столбцах (колонках) свидетельствует о том, что они вращаются синхронно, что собственно и предполагалось при выборе цифры 7 для нижней левой ячейки 4-го блока. При этом двойка или девятка, будь любая из них требуемой цифрой в средней левой ячейке этого блока, должны соответственно двигаться асинхронно паре 4 и 7. Предпочтение в данном случае я отдал цифре 2, так как она "обещала" устранить много лишних цифр из чисел ячеек и, соответственно, быструю проверку допустимости данного варианта. А девятка быстро заводила в тупик – требовала подбора новых цифр. Таким образом, в левой средней ячейке блока с числом 29 я проставил не мой взгляд более предпочтительную из цифр – 2. Результат вышел следующим:

Далее мне пришлось еще раз сделать так сказать полупроизвольный выбор: выбрал двойку в ячейке с числом 26 в девятом блоке. Для этого достаточно было заметить, что 5 и 2 в трех нижних строках вращаются синхронно, так как 5 не вращалась синхронно ни с 1, ни с 6. Правда, синхронно могли вращаться еще 2 и 1, но из каких-то соображений – точно не помню – я выбрал 2 вместо числа 26, возможно потому, что этот вариант, по моей оценке, быстро проверялся. Впрочем, уже оставалось немного вариантов, и можно было достаточно быстро проверить любой из них. Можно было также вместо варианта с двойкой предположить, что цифры 7 и 8 вращаются синхронно в последних трех столбцах (колонках), а отсюда следовало, что в левой верхней ячейке 9-го блока могла быть только цифра 8, что также приводит к быстрой развязке задачи.

Надо сказать, что задача Арто Инкала не допускает чисто логического решения в рамках возможностей обычного человека – так она задумана, – но все же позволяет заметить некоторые перспективные варианты перебора возможных подстановок цифр и существенно сократить этот перебор. Попробуйте начать перебор с иных, чем в данной статье, позиций, и вы, убедитесь, что почти все варианты очень быстро заводят в тупик и требуется делать все новые и новые предположения относительно дальнейшего выбора подходящих подстановок цифр. Месяца два назад я уже пытался решить эту задачу, не имея той подготовки, которую я описал в предыдущих статьях. Проверил вариантов десять ее решения и оставил дальнейшие попытки. Последний же раз, уже будучи более подготовленным, я решал эту задачу полдня или немного более, но при этом с одновременным обдумыванием выбора с моей точки зрения наиболее показательных для читателей вариантов и также с предварительным обдумыванием текста будущей статьи. А окончательный результат решения получился следующий:

Собственно, данная статья не имеет самостоятельного значения, она написана лишь для иллюстрации того, как приобретенные навыки и теоретические соображения, описанные в предыдущих статьях, позволяют решать довольно сложные проблемы. А статьи были, напомню, не о судоку, а о механизмах решения проблем на примере судоку. Предметы, как по мне, совершенно разные. Однако поскольку судоку интересует многих, то я таким образом решил привлечь внимание к более существенному вопросу, касающемуся не собственно судоку, но решения проблем.

А в остальном – желаю вам успехов в решении всех проблем.

Первое, с чем следовало бы определиться в методологии решения проблем, это вопрос собственно понимания того, чего мы достигаем и можем достигнуть в вопросах решения проблем. Понимание обычно мыслится как нечто само собой разумеющееся, и мы упускаем из виду тот момент, что понимание имеет определенную начальную точку отсчета понимания, лишь относительно которой мы можем говорить о том, что понимание действительно имеет место с определенного нами конкретного момента. Судоку здесь, в нашем рассмотрении, удобна тем, что позволяет на ее примере в некоторой мере смоделировать вопросы понимания и решения проблем. Однако начнем мы с несколько иных и не менее важных, чем судоку, примеров.

Физик, изучающий специальную теорию относительности, может говорить о "кристально ясных" положениях Эйнштейна. Такое словосочетание мне встретилось на одном из сайтов в интернете. Но с чего начинается это понимание "кристальной ясности". Оно начинается с усвоение математической записи постулатов, из которых могут строиться по известным и понятным правилам все многоэтажные математические конструкции СТО. Но чего не понимает физик, как и я, это почему работают постулаты СТО именно так, а не иначе.

Прежде всего, подавляющее большинство обсуждающих это учение не понимают, что именно заключается в постулате постоянства скорости света в переложении из математического его применения на реальность. А этот постулат подразумевает постоянство скорости света во всех мыслимых и не мыслимых смыслах. Скорость света постоянна относительно любых покоящихся и движущих объектов разом. Скорость луча света, согласно постулату, постоянна даже относительно встречного, поперечного и удаляющегося луча света. А, при этом, реально мы имеем лишь замеры, косвенно связанные со скоростью света, интерпретируемые как ее постоянство.

Законы Ньютона для физика и даже для просто изучающих физику столь привычны, что представляются настолько понятными, как нечто само собой разумеющееся и иного быть не может. Но, скажем, применение закона всемирного тяготения начинается с его математической записи, по которой можно рассчитать даже траектории космических объектов и характеристики орбит. Но почему эти законы работают именно так, а не иначе – такого понимания у нас нет.

Аналогично и судоку. В интернете можно найти многократно повторяющиеся описания "базовых" способов решения задач судоку. Если запомнить эти правила, то можно понимать как решается та или иная задача судоку посредством применения "базовых" правил. Но у меня вопрос: а понимаем ли мы, почему эти "базовые" способы срабатывают именно так, а не иначе.

Итак, мы переходим к следующему ключевому положению в методологии решения проблем. Понимание возможно только на основе какой-то модели, предоставляющей базу для этого понимания и возможность произвести некоторый натурный или мысленный эксперимент. Без этого мы можем иметь лишь правила применения заученных исходных положений: постулатов СТО, законов Ньютона или "базовых" способов в судоку.

У нас нет и в принципе не может быть моделей, удовлетворяющих постулату ничем не ограничиваемого постоянства скорости света. У нас нет, но могут быть придуманы недоказуемые модели, согласующиеся с законами Ньютона. И такие "ньютоновские" модели есть, но они как-то не впечатляют продуктивными возможностями для проведения натурного или мысленного эксперимента. Зато судоку предоставляет нам такие возможности, которые мы можем использовать и для понимания собственно задач судоку, и для иллюстрации моделирования, как общего подхода в решении проблем.

Одна из возможных моделей задач судоку – это рабочая таблица. Создается она простым заполнением всех пустых клеток (ячеек) заданной в задаче таблицы числами 123456789. Далее задача сводится к последовательному удалению всех лишних цифр из ячеек до тех пор, пока все клетки таблицы будут заполнены единичными (эксклюзивными) цифрами, удовлетворяющими условию задачи.

Я создаю такую рабочую таблицу в Excel. Сначала выделяю все пустые ячейки (клетки) таблицы. Нажимаю F5-"Выделить"-"Пустые ячейки"-"OK". Более общий способ выделения нужных ячеек: удерживаю Ctrl и кликом мышки выделяю эти ячейки. Затем для выделенных ячеек устанавливаю синий цвет, размер 10 (исходный – 12) и шрифт Arial Narrow. Это все для того, чтобы хорошо просматривались последующие изменения в таблице. Далее я ввожу в пустые клетки числа 123456789. Делаю это следующим образом: записываю и сохраняю это число в отдельной ячейке. Затем нажимаю на F2, выделяю и копирую это число операцией Ctrl+C. Далее перехожу к ячейкам таблицы и, последовательно обходя все пустые ячейки, ввожу в них число 123456789 операцией Ctrl+V, и рабочая таблица готова.

Лишние цифры, о которых будет речь далее, я удаляю следующим образом. Операцией Ctrl+клик мышкой - выделяю ячейки с лишней цифрой. Затем нажимаю Ctrl+H и в верхнее поле открывшегося окошка ввожу удаляемую цифру, а нижнее поле должно быть совершенно пустым. Далее остается щелкнуть по опции "Заменить все" и лишняя цифра удалена.

Судя по тому, что мне обычно удается сделать более продвинутую обработку таблиц обычными "базовыми" способами, чем в примерах, приводимых в интернете, рабочая таблица является наиболее простым инструментом в решении задач судоку. Более того, многие ситуации, касающиеся применения наиболее сложных из так называемых "базовых" правил, у меня в рабочей таблице попросту не возникали.

В то же время, рабочая таблица – это и модель, на которой можно провести эксперименты с последующим выявлением всех "базовых" правил и разных нюансов их применения, вытекающего из экспериментов.

Итак, перед вами фрагмент рабочей таблицы с девятью блоками, нумеруемыми слева-направо и сверху-вниз. В данном случае у нас заполнен цифрами 123456789 четвертый блок. Это и есть наша модель. Вне блока красным цветом мы выделили "активированные" (окончательно определенные) цифры, в данном случае четверки, которые намерены подставить в оформляемую таблицу. Голубые пятерки – это пока не определенные относительно их дальнейшей роли цифры, о которых после поговорим. Назначенные нами активированные цифры как бы вычеркивают, выталкивают, удаляют – в общем, вытесняют одноименные цифры в блоке, поэтому там они представлены бледным цветом, символизирующим тот факт, что эти бледные цифры удалены. Хотел было сделать этот цвет еще бледнее, но тогда они могли бы стать вообще не заметными при просмотре в интернете.

В итоге в четвертом блоке в ячейке E5 оказалась одна, тоже активированная, но скрытая четверка. "Активированная" потому, что она, в свою очередь тоже может удалять лишние цифры, если таковые окажутся на ее пути, а "скрытая" потому, что она находится среди других цифр. Если ячейку E5 атаковать остальными, кроме 4, активированными цифрами 12356789, то в E5 возникнет "голая" одиночка – 4.

Теперь уберем одну активированную четверку, например из F7. Тогда четверка в заполненном блоке может оказаться уже и только в ячейке E5 или F5, оставаясь при этом активированной в строке 5. Если к этой ситуации привлечь активированные пятерки, без F7=4 и F8=5, то в ячейках E5 и F5 возникнет голая или скрытая активированная пара 45.

После того как вы в достаточной мере отработаете и осмыслите разные варианты с голыми и скрытыми одиночками, двойками, тройками и т.д. не только в блоках, но и в строках и столбцах, мы можем перейти к еще одному эксперименту. Создадим голую пару 45, как было сделано раньше, а потом подключим активированные F7=4 и F8=5. В результате возникнет ситуация E5=45. Подобные ситуация очень часто возникает в процессе обработки рабочей таблицы. Такая ситуация означает, что одна из этих цифр, в данном случае 4 или 5, обязательно должна находиться в блоке, строке и столбце, включающих в себя ячейку E5, потому что во всех этих случаях должны присутствовать две цифры, а не одна из них.

А главное, мы теперь уже знаем, каким образом возникают часто встречающиеся ситуации, подобные E5=45. Подобным же образом определимся с ситуациями, когда в одной ячейке возникает тройка цифр и т.п. И когда мы доведем степень осмысления и восприятия этих ситуаций до состояния самоочевидности и простоты, тогда следующий шаг – это уже, так сказать, научное осмысление ситуаций: мы тогда сможем делать статистический анализ таблиц судоку, выявлять закономерности и использовать наработанный материал для решения самых сложнейших задач.

Таким образом, экспериментируя на модели, мы получаем наглядное и даже "научное" представление относительно скрытых или открытых одиночек, пар, троек и т.д. Если вы ограничитесь только операциями с описанной простой моделью, то некоторые ваши представления окажутся неточными или даже ошибочными. Однако как только вы перейдете к решению конкретных задач, то неточности первоначальных представлений быстро выявятся, ну а модели, на которых проводились эксперименты, придется переосмыслить и уточнить. Таков неизбежный путь гипотез и уточнений в решении любых проблем.

Надо сказать, что скрытые и открытые одиночки, а также открытые пары, тройки и даже четверки, – это обычные ситуации, возникающие при решении задач судоку с рабочей таблицей. Скрытые пары случались редко. А вот скрытые тройки, четверки и т.д. мне при обработке рабочих таблиц как-то не попадались, так же, как и многократно описанные в интернете методы обхода контуров "x-wing" и "рыба-меч", при которых возникают "кандидаты" на удаление при любом из двух альтернативных способов обхода контуров. Смысл этих способов: если уничтожаем "кандидата" х1, то остается эксклюзивный кандидат х2 и при этом удаляется кандидат х3, а если уничтожаем х2, то остается эксклюзивный х1, но и в этом случае удаляется кандидат х3, так что в любом случае следует удалить х3, не затрагивая пока кандидатов х1 и х2. В более общем плане, это частный случай ситуации: если два альтернативных способа приводят к одному и тому же результату, то этот результат может использоваться для решения задачи судоку. В таком, более общем, плане ситуации мне встречались, но не в варианте "x-wing" и "рыба-меч" и не при решении задач судоку, для которых достаточно знания лишь "базовых" подходов.

Особенности применения рабочей таблицы можно показать на следующем нетривиальном примере. На одном из форумов решателей судоку http://zforum.net/index.php?topic=3955.25;wap2 мне встретилась задача, представленная как одна из сложнейших задач судоку, не решаемая обычными способами, без применения перебора с допущениями относительно подставляемых в ячейки цифр. Покажем, что с рабочей таблицей можно решить эту задачу без подобного перебора:

Справа исходная задача, слева рабочая таблица после "вычеркивания", т.е. рутинной операции удаления лишних цифр.

Сначала договоримся об обозначениях. ABC4=689 означает, что в ячейках A4, B4 и C4 находятся цифры 6, 8 и 9 – по одной или по несколько цифр на ячейку. Со строками аналогично. Так, B56=24 означает, что в ячейках В5 и В6 находятся цифры 2 и 4. Знак ">" – это знак обусловленного действия. Так, D4=5>I4-37 означает, что вследствие сообщения D4=5 следует поместить число 37 в ячейку I4. Сообщение может быть явным – "голым" – и скрытым, которое следует выявить. Воздействие сообщения может быть последовательным (передаваться опосредованно) по цепочке и параллельным (воздействовать непосредственно на другие ячейки). Например:

D3=2; D8=1>A9-1>A2-2>A3-4,G9-3; (D8=1)+(G9=3)>G8-7>G7-1>G5-5

Эта запись означает, что D3=2, но этот факт нужно выявить. D8=1 передает A3 свое воздействие по цепочке и в A3 следует записать 4; одновременно D3=2 воздействует непосредственно на G9, что приводит к результату G9-3. (D8=1)+(G9=3)>G8-7 – совместное воздействие факторов (D8=1) и (G9=3) приводит к результату G8-7. И т.п.

В записях может также встретиться сочетание типа H56/68. Оно означает, что в ячейках H5 и H6 запрещены цифры 6 и 8, т.е. их следует из этих ячеек удалить.

Итак, начинаем работу с таблицей и для начала применяем хорошо проявленное, заметное условие ABC4=689. Это означает, что во всех остальных (кроме A4, B4 и C4) ячейках блока 4 (средний, левый) и 4-й строки должны быть удалены цифры 6, 8 и 9:

Аналогичным образом применяем B56=24. В совокупности имеем D4=5 и (после D4=5>I4-37) HI4=37, а также (после B56=24>C6-1) C6=1. Применим это к рабочей таблице:

В I89=68скрытая>I56/68>H56-68: т.е. в ячейках I8 и I9 находится скрытая пара цифр 5 и 6, которая запрещает нахождение этих цифр в I56, что приводит к результату H56-68. Этот фрагмент мы можем рассмотреть по другому, подобно тому, как это делали в экспериментах на модели рабочей таблицы: (G23=68)+(AD7=68)>I89-68; (I89=68)+(ABC4=689)>H56-68. То есть, двусторонняя "атака" (G23=68) и (AD7=68) приводит к тому, что в I8 и I9 могут находиться только цифры 6 и 8. Далее (I89=68) подключается к "атаке" на H56 совместно с предыдущими условиями, что и приводит к H56-68. Дополнительно к этой "атаке" подключается (ABC4=689), что в данном примере выглядит излишним, однако если бы мы работали без рабочей таблицы, то фактор воздействия (ABC4=689) оказался бы скрытым, и вполне уместным было бы обратить на него внимание специально.

Следующее действие: I5=2>G1-2,G6-9,B6-4,B5-2.

Надеюсь, оно уже понятно без комментариев: подставляйте цифры, которые стоят после тире, не ошибетесь:

H7=9>I7-4; D6=8>D1-4,H6-6>H5-8:

Следующая серия действий:

D3=2; D8=1>A9-1>A2-2>A3-4,G9-3;

(D8=1)+(G9=3)>G8-7>G7-1>G5-5;

D5=9>E5-6>F5-4:

I=4>C9-4>C7-2>E9-2>EF7-35>B7-7,F89-89,

то есть, в результате "вычеркивания" – удаления лишних цифр – в ячейках F8 и F9 возникает открытая, "голая" пара 89, которую, вместе с другими результатами, указанными в записи, применяем к таблице:

H2=4>H3-1>F2-1>F1-6>A1-3>B8-3,C8-5,H1-7>I2-5>I3-3>I4-7>H4-3

Их результат:

Затем следуют довольно рутинные, очевидные действия:

H1=7>C1-8>E1-5>F3-7>E2-9>E3-8,C3-9>B3-5>B2-6>C2-7>C4-6>A4-9>B4-8;

B2=6>B9-9>A8-6>I8-8>F8-9>F9-8>I9-6;

E7=3>F7-5,E6-7>F6-3

Их результат: окончательное решение задачи:

Так или иначе, будем считать, что с "базовыми" способами в судоку или в иных областях интеллектуального приложения мы разобрались на основе подходящей для этого модели и даже научились их применять. Но это лишь часть нашего продвижения в методологии решения проблем. Далее, повторюсь, следует не всегда учитываемый, но непременный этап доведения предварительно усвоенных способов до состояния простоты их применения. Решение примеров, осмысливание результатов и способов этого решения, переосмысливание этого материала на основе принятой модели, снова продумывание всех вариантов с доведением степени их понимания до автоматизма, когда решение с применением "базовых" положений становится рутинных и исчезает как проблема. Что это дает: это каждый должен прочувствовать на своем опыте. А суть в том, что когда проблемная ситуация становится рутинной, то поисковый механизм интеллекта направляется к освоению все более сложных положений в области решаемых проблем.

А что такое "более сложные положения"? Это всего лишь новые "базовые" положения в решении проблемы, понимание которых, в свою очередь, тоже можно довести до состояния простоты, если найти для этой цели подходящую модель.

В статье Василенко С.Л. "Числовая гармония Судоку" я нахожу пример задачи с 18 симметричными ключами:

Относительно этой задачи утверждается, что она может быть решена с применением "базовых" приемов только до некоторого состояния, после достижения которого остается лишь применить простой перебор с пробной подстановкой в ячейки некоторых предполагаемых эксклюзивных (единичных, одиночных) цифр. Это состояние (продвинутое чуть далее, чем в примере Василенко) имеет вид:

Такая модель есть. Это своеобразный механизм вращения выявленных и не выявленных эксклюзивных (единичных) цифр. В простейшем случае, некоторая тройка эксклюзивных цифр вращается в правом или левом направлении, переходя этой группой от строки к строке или от столбца к столбцу. В целом же, при этом вращаются в каком-то одном направлении три группы троек цифр. В более сложных случаях, три пары эксклюзивных цифр вращается в одном направлении, а тройка одиночек вращается в противоположном направлении. Так, например, происходит вращение эксклюзивных цифр в первых трех строках рассматриваемой задачи. И, что самое здесь важное, это своеобразное вращение можно заметить, рассматривая расположение цифр в обработанной рабочей таблице. Этих сведений пока достаточно, а другие нюансы модели вращения мы поймем в процессе решения задачи.

Итак, в первых (верхних) трех строках (1, 2 и3) мы можем заметить вращение пар (3+8) и (7+9), а также (2+х1) с неизвестным х1 и тройка одиночек (х2+4+1) с неизвестным х2. При этом, мы можем обнаружить, что каждое из х1 и х2 могут быть либо 5, либо 6.

В строках 4, 5 и 6 просматриваются пары (2+4) и (1+3). Должна быть также 3-я неизвестная пара и тройка одиночек из которых известна лишь одна цифра 5.

Аналогичным образом просматриваем строки 789, затем тройки столбцов ABC, DEF и GHI. Собранную информацию мы запишем в символическом и, надеюсь, достаточно понятном виде:

Пока нам эта информация нужна только для понимания общей ситуации. Тщательно продумайте ее и тогда мы сможем далее продвинуться вперед к следующей специально подготовленной для этого таблице:

Цветами я выделил альтернативные варианты. Голубой цвет означает "разрешено", а желтый – "запрещено". Если, скажем, разрешено в A2=79 разрешено A2=7, то C2=7 – запрещено. Или наоборот – разрешено A2=9, запрещено C2=9. А далее разрешения и запрещения передаются по логической цепочке. Такая расцветка сделана для того, чтобы было проще просматривать разные альтернативные варианты. В общем, это некоторая аналогия упомянутым ранее способов "x-wing" и "рыба-меч" при обработке таблиц.

Просматривая вариант B6=7 и, соответственно, B7=9, мы можем обнаружить сразу два момента, несовместимых с этим вариантом. Если B7=9, то в строках 789 возникает синхронно вращающаяся тройка, что недопустимо, так как синхронно (в одном направлении) могут вращаться либо только три пары (и три одиночки асинхронно им), либо три тройки (без одиночек). Кроме этого, если B7=9, то через несколько шагов обработки рабочей таблицы в 7-й строке обнаружим несовместимость: B7=D7=9. Так что подставляем единственно приемлемый из двух альтернативных вариант B6=9, и далее задача решается простыми средствами обычной обработки без всякого слепого перебора:

Далее, у меня есть готовый пример с применением модели вращения для решения задачи из чемпионата мира по судоку, но этот пример я опускаю, чтобы слишком уж не растягивать данную статью. К тому же, как оказалось, эта задача имеет три варианта решения, что плохо подходит для первоначального освоения модели вращения цифр. Еще я изрядно "попыхтел" над вытащенной из интернета задачей Гэри МакГайра с 17 ключами для решения его головоломки, пока с еще более изрядным раздражением не выяснил, что эта "головоломка" имеет более 9 тысяч вариантов решения.

Итак, волей-неволей, приходится переходить к разработанной Арто Инкала "самой сложной в мире" задаче судоку, имеющей, как известно, единственное решение.

После внесения двух вполне очевидных эксклюзивных цифр и обработки рабочей таблицы, задача имеет следующий вид:

Черным и более крупным шрифтом выделены ключи, заданные исходной задаче. Чтобы продвинуться в решении этой задачи, мы снова должны опереться на адекватную, подходящую для этой цели модель. Модель эта – своеобразный механизм вращения цифр. Она уже не однажды обсуждалась в этой и предыдущих статьях, но чтобы понять дальнейший материал статьи, этот механизм следует продумать и проработать в деталях. Примерно так, как если бы вы поработали с таким механизмом эдак с десяток лет. Но вы все равно сможете понять этот материал если не с первого чтения, то со второго или третьего и т.д. Более того, если проявите настойчивость, то и этот "сложный для понимания" материал вы доведете до состояния его рутинности и простоты. Нового в этом плане здесь ничего нет: то, что сначала очень сложно, постепенно становится не так уж сложным, а при дальнейшей непрекращающейся проработке все самым очевидным и не требующих умственных усилий становится на свои подобающие места, после чего вы можете освободить свой умственный потенциал для дальнейшего продвижения вперед по данной решаемой проблеме или относительно других проблем.

При внимательном анализе структуры задачи Арто Инкала можно заметить, что вся она построена по принципу трех синхронно вращающихся пар и тройки вращающихся асинхронно парам одиночек: (х1+х2)+(х3+х4)+(х5+х6)+(х7+х8+х9). Порядок вращения может быть, например, такой: в первых трех строках 123 первая пара (х1+х2) переходит из первой строки первого блока во вторую строку второго блока, затем в третью строку третьего блока. Вторая пара переходит из второй строки первого блока в третью строку второго блока, затем, в этом вращении, перепрыгивает в первую строку третьего блока. Третья пара из третьей строки первого блока перепрыгивает в первую строку второго блока и далее в этом же направлении вращения переходит во вторую строку третьего блока. Тройка одиночек движется в подобном режиме вращения, но в противоположном вращению пар. Ситуация со столбцами выглядит аналогично: если таблицу мысленно (или реально) повернуть на 90 градусов, то строки станут столбцами, с тем же, как ранее для строк, характером движения одиночек и пар.

Проворачивая в уме эти вращения применительно к задаче Арто Инкала, мы постепенно доходим до понимания очевидных ограничений на выбор вариантов этого вращения для выбранной тройки строк или столбцов:

Не должно быть синхронно (в одном направлении) вращающихся троек и пар – такие тройки, в отличие от тройки одиночек, будем в дальнейшем называть триплетами;

Не должно быть асинхронных между собой пар или асинхронных между собой одиночек;

Не должно быть вращающихся в одном (например, в правом) направлении и пар и одиночек – это повторение предыдущих ограничений, но может быть оно покажется более понятным.

Кроме этого есть и другие ограничения:

Не должно быть ни одной пары в 9-ти строках, совпадающей с парой в каком-либо из столбцов и то же самое относительно столбцов и строк. Это должно быть очевидным: потому что сам факт расположения двух цифр в одной строке свидетельствует о том, что они находятся в разных столбцах.

Еще можно сказать, что очень редко бывают совпадения пар в разных тройках строк или подобное совпадение в тройках столбцов, а также редко бывают совпадения троек одиночек в строках и/или столбцах, но это уже, так сказать, вероятностные закономерности.

Исследование блоков 4,5,6.

В блоках 4-6 возможны пары (3+7) и (3+9). Если принять (3+9), то получится недопустимое синхронное вращение триплета (3+7+9), так что имеем пару (7+3). После подстановки этой пары и последующей обработки таблицы обычными средствами получим:

При этом мы можем сказать, что 5 в B6=5 может быть лишь одиночкой, асинхронной (7+3), а 6 в I5=6 является параобразующей, так как она находится в одной строке H5=5 в шестом блоке и, следовательно, она не может быть одиночкой и может двигаться лишь синхронно с (7+3.

и расположил кандидатов на одиночки по количеству появления их в этой роли в данной таблице:

Если принять, что наиболее частотные 2, 4 и 5 и есть одиночки, то по правилам вращения с ними могут сочетаться только пары: (7+3), (9+6) и (1+8) - пара (1+9) отброшена, так как она отрицает пару (9+6). Далее после подстановки этих пар и одиночек и дальнейшей обработки таблицы обычными методами получим:

Вот такая непокорная таблица оказалась – не желает обрабатываться до конца.

Придется поднапрячься и заметить, что в столбцах ABC есть пара (7+4) и что 6 перемещается синхронно 7 в этих столбцах, поэтому 6 – параобразующая, так что в столбце "C" 4-го блока возможно лишь сочетания (6+3)+8 либо (6+8)+3. Первое из этих сочетаний не проходит, так как тогда в 7-м блоке в столбце "B" возникнет недопустимая синхронная тройка – триплет (6+3+8). Ну а далее, после подстановки варианта (6+8)+3 и обработки таблицы обычным способом приходим к благополучному завершению задачи.

Второй вариант: вернемся к таблице, полученной после выявления сочетания (7+3)+5 в строках 456 и перейдем к исследованию столбцов ABC.

Здесь мы можем заметить, что пара (2+9) не может иметь место в ABC. Другие комбинации (2+4), (2+7), (9+4) и (9+7) дают синхронную тройку - триплет в A4+A5+A6 и B1+B2+B3, что неприемлемо. Остается одна приемлемая пара (7+4). Причем 6 и 5 двигаются синхронно 7, значит они параобразующие, т.е. образуют какие-то пары, но не 5+6.

Составим список возможных пар и их сочетаний с одиночками:

Сочетание (6+3)+8 не проходит, т.к. иначе образуется недопустимая тройка-триплет в одном столбце (6+3+8), о чем уже говорили и в чем можем убедиться еще раз, проверив все варианты. Из кандидатов на одиночки больше всех очков набирает цифра 3, а наиболее вероятное из всех приведенных сочетаний: (6+8)+3, т.е. (С4=6 + C5=8) + C6=3, что дает:

Далее самый вероятный кандидат на одиночку либо 2, либо 9 (по 6 баллов), однако в любом из этих случаев остается в силе кандидат 1 (4 балла). Начнем с (5+29)+1, где 1 асинхронно 5, т.е. поставим 1 из В5=1 в качестве асинхронной одиночки во все столбцы ABC:

В блоке 7, столбец A, возможны лишь варианты (5+9)+3 и (5+2)+3. Но мы лучше обратим внимание на то, что в строках 1-3 теперь проявились пары (4+5) и (8+9). Их подстановка приводит к быстрому результату, т.е. к завершению задачи после обработки таблицы обычными средствами.

Ну а теперь, потренировавшись на предыдущих вариантах, мы можем попробовать решить задачу Арто Инкала без привлечения статистических оценок.

Снова возвращаемся в исходное положение:

В блоках 4-6 возможны пары (3+7) и (3+9). Если принять (3+9), то получится недопустимое синхронное вращение триплета (3+7+9), так что для подстановки в таблицу имеем только вариант (7+3):

5 здесь, как мы видим, одиночка, 6 – параобразующая. Допустимые варианты в ABC5: (2+1)+8, (2+1)+9, (8+1)+9, (8+1)+2, (9+1)+8, (9+1)+2. Но (2+1) асинхронна (7+3), поэтому остаются (8+1)+9, (8+1)+2, (9+1)+8, (9+1)+2. В любом случае 1 является синхронной (7+3) и, следовательно, параобразующей. Подставим 1 в этом качестве в таблицу:

Цифра 6 здесь является параобразующей в бл. 4-6, но бросающейся в глаза пары (6+4) нет в списке допустимых пар. Следовательно четверка в A4=4 асинхронна 6:

Так как D4+E4=(8+1) и согласно анализу вращения образует эту пару, то получаем:

Если ячейки C456=(6+3)+8, то B789=683, т.е. получится синхронная тройка-триплет, так что остается вариант (6+8)+3 и результат его подстановки:

B2=3 здесь одиночка, С1=5 (асинхронная 3) - параобразующая, A2=8 - также параобразующая. В3=7 может быть и синхронной и асинхронной. Теперь мы можем проявить себя и на более сложных приемах. Натренированным взглядом (или хотя бы при проверке на компьютере) мы видим, что при любом статусе В3=7 – синхронном или асинхронном – мы получаем один и тот же результат A1=1. Следовательно, мы можем подставить это значение в A1 и далее уже более обычными простыми средствами завершить нашу, вернее Арто Инкала, задачу:

Так или иначе, мы смогли рассмотреть и даже проиллюстрировать три общих подхода на пути решения проблем: определить точку понимания проблемы (не предположительный или слепо декларируемый, а реальный момент, начиная с которого мы можем говорить о понимании проблемы), выбрать модель, позволяющую реализовать понимание посредством натурного или мысленного эксперимента и – это в-третьих – довести степень понимания и восприятия достигнутых при этом результатов до состояния самоочевидности и простоты. Есть еще и четвертый подход, который применяю лично я.

У каждого человека случаются состояния, когда стоящие перед ним интеллектуальные задачи и проблемы решаются более легко, чем это бывает обычно. Эти состояния вполне можно воспроизводить. Для этого надо овладеть техникой отключения мыслей. Сначала хотя бы на доли секунды, затем, все более растягивая этот отключающий момент. Далее рассказывать, вернее рекомендовать, что-то в этом отношении не могу, потому что продолжительность применения этого метода дело сугубо личное. Но я прибегаю к этому способу порой надолго, когда передо мной встает проблема, к которой я не вижу вариантов того, как к ней можно подступиться и решить. В результате, раньше или позже из кладовых памяти выплывает подходящий прообраз модели, которая проясняет суть того, что требуется разрешить.

Задачу Инкала я решил несколькими способами, в том числе описанными в предыдущих статьях. И всегда в той или иной мере использовал этот четвертый подход с отключением и последующей концентрацией умственных усилий. Самое быстрое решение задачи я получил простым перебором – что называется "методом тыка" – правда, с использованием лишь "длинных" вариантов: тех, что могли быстро привести к выходу на положительный или отрицательный результат. Другие варианты отымали у меня больше времени, потому что основное время уходило на хотя бы черновую отработку технологии применения этих вариантов.

Хороший также вариант в духе четвертого подхода: настраиваться на решение задач судоку, подставляя лишь по единственной цифре в ячейку в процессе решения задачи. То есть, большая часть задачи и ее данных "прокручиваются" в уме. Именно так и происходит основная часть процесса решения интеллектуальных проблем, и этот навык следует тренировать ради расширения своих возможностей в решении проблем. Я, например, не профессиональный решатель судоку. У меня иные задачи. Но, тем не менее, хочу поставить перед собой такую цель: обрести умение решать задачи судоку повышенной сложности, без рабочей таблицы и не прибегая к подстановке более одной цифры в одну пустую клетку. При этом допускается любой способ решения судоку, включая и простой перебор вариантов.

О переборе вариантов я вспоминаю здесь не случайно. Любой подход к решению задач судоку предполагает в своем арсенале набор определенных способов, включая тот или иной вид перебора. При этом любой из способов, применяемых в судоку в частности или при решении любых других проблем, имеет свою область его эффективного применения. Так, при решении относительно простых задач судоку наиболее эффективны простые "базовые" способы, описанные в многочисленных статьях по этой теме в интернете, а более сложный "метод вращения" оказывается здесь зачастую бесполезным, потому что он лишь усложняет ход простого решения и при этом какой-то новой информации, проявляющейся в ходе решения задачи, не дает. Но в наиболее сложных случаях, как задача Арто Инкала, "метод вращения" может играть ключевую роль.

Судоку в моих статьях – лишь иллюстративный пример подходов к решению проблем. Среди решенных мною задач есть и на порядок посложнее, чем судоку. Например, расположенные на нашем сайте компьютерные модели работы котлов и турбин. О них я тоже был бы не против рассказать. Но пока я выбрал именно судоку, чтобы достаточно наглядным образом показать своим молодым согражданам возможные пути и этапы продвижения к конечной цели решаемых проблем.

На сегодня пока все.