Случайная величина задана распределением. Дискретные случайные величины
В отличие от дискретной случайной величины непрерывные случайные величины невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательностей все ее значения. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование функции распределения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е.
Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция».
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежит отрезку : 0F(x)1
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x 2)F(x 1), если x 2 >x 1
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
P(aX
Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения:
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0 Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0 Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при xa; 2) F(x)=1 при xb. График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При xa ординаты графика равны нулю; при xb ординаты графика равны единице: Пример 10. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения: Найти функцию распределения и построить ее график. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x): f(x)=F"(x) Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а;b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b: Свойства плотности распределения вероятностей:
1. Плотность вероятностей является неотрицательной функцией: f(x)0. Пример 11. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х Решение: Искомая вероятность: Распространим определение числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл: M(x)=xf(x)dx (9) Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то: M(x)=xf(x)dx (10) Модой M 0 (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. Медианой M e (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством: P{X e (X)}=P{X>M e (X)} ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку , то: D(x)= 2 f(x)dx (11) Если возможные значения принадлежат всей оси х, то. Случайной величиной
называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными
и непрерывными
. Дискретная случайная величина
- это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать. Пример 1
. Приведем примеры дискретных случайных величин: а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$. б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$. в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений). г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений). Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины
. Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$. $\begin{array}{|c|c|} Пример 2
. Пусть случайная величина $X$ - число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$: $\begin{array}{|c|c|} Замечание
. Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum{p_i}=1$. Математическое ожидание случайной величины
задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$. Свойства математического ожидания
$M\left(X\right)$: Пример 3
. Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$. $$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}=1\cdot {{1}\over {6}}+2\cdot {{1}\over {6}}+3\cdot {{1}\over {6}}+4\cdot {{1}\over {6}}+5\cdot {{1}\over {6}}+6\cdot {{1}\over {6}}=3,5.$$ Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$. Пример 4
. Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$. Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$. Пример 5
. Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$. Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$. Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе - только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия. Дисперсия дискретной случайной величины
$X$ равна: $$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}.\ $$ В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix^2_i}-{\left(M\left(X\right)\right)}^2$. Свойства дисперсии
$D\left(X\right)$: Пример 6
. Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$. $$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}={{1}\over {6}}\cdot {\left(1-3,5\right)}^2+{{1}\over {6}}\cdot {\left(2-3,5\right)}^2+\dots +{{1}\over {6}}\cdot {\left(6-3,5\right)}^2={{35}\over {12}}\approx 2,92.$$ Пример 7
. Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$. Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$. Пример 8
. Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$. Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$. Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины - функция распределения. Функцией распределения
случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$ Свойства функции распределения
: Пример 9
. Найдем функцию распределения $F\left(x\right)$ для закона распределения дискретной случайной величины $X$ из примера $2$. $\begin{array}{|c|c|} Если $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (в том числе и при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X < 1\right)=0$). Если $1 < x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$. Если $2 < x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$. Если $3 < x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$. Если $4 < x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$. Если $5 < x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$. Если $x > 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$. Итак, $F(x)=\left\{\begin{matrix} Непрерывную
случайную величину можно задать с
помощью функции распределения F
(x
)
.
Этот способ задания не является
единственным. Непрерывную случайную
величину можно также задать, используя
другую функцию, которую называют
плотностью распределения или плотностью
вероятности (иногда её называют
дифференциальной функцией). Определение4.1:
Плотностью
распределения непрерывной случайной
величины
Х
называют функцию f
(x
)
- первую
производную от функции распределения
F
(x
)
: f
(
x
)
=
F
"(
x
)
.
Из
этого определения следует, что функция
распределения является первообразной
для плотности распределения. Заметим,
что для описания распределения
вероятностей дискретной случайной
величины плотность распределения
неприменима. Вероятность
попадания непрерывной случайной величины
в заданный интервал
Зная
плотность распределения, можно вычислить
вероятность того, что непрерывная
случайная величина примет значение,
принадлежащее заданному интервалу. Теорема:
Вероятность того, что непрерывная
случайная величина Х примет значение,
принадлежащие интервалу (a
,
b
),
равна определённому интегралу от
плотности распределения, взятому в
пределах от
a
до
b
:
Доказательство:
Используем соотношение P
(a
≤
X
b
)
=
F
(b
)
–
F
(a
).
По формуле
Ньютона-Лейбница, Таким образом, Так как P
(a
≤
X
b
)=
P
(a
X
b
)
,
то окончательно получим
Геометрически
полученный результат можно истолковать
так: вероятность того, что непрерывная
случайная величина примет значение,
принадлежащее интервалу (a
,
b
),
равна площади криволинейной трапеции,
ограниченной осью
Ox
,
кривой распределения
f
(x
)
и прямыми
x
=
a
и
x
=
b
.
Замечание:
В частности, если f
(x
)
– чётная функция и концы интервала
симметричны относительно начала
координат, то Пример.
Задана плотность вероятности случайной
величины Х
Найти вероятность
того, что в результате испытания Х
примет значение, принадлежащие интервалу
(0,5; 1). Решение:
Искомая вероятность Нахождение
функции распределения по известной
плотности распределения
Зная
плотность распределения f
(x
)
,
можно найти функцию распределения F
(x
)
по формуле Действительно,
F
(x
)
=
P
(X
x
) = P
(-∞
X
x
)
.
Следовательно, Таким образом,
зная плотность распределения, можно
найти функцию распределения. Разумеется,
по известной функции распределения
можно найти плотность распределения
,
а именно: f
(x
)
=
F
"(x
).
Пример.
Найти функцию распределения по данной
плотности распределения: Решение:
Воспользуемся формулой
Если x
≤
a
, то f
(x
)
= 0
, следовательно, F
(x
)
= 0
. Если a
, то
f(x) = 1/(b-a)
,
следовательно, Если x
>
b
, то Итак, искомая
функция распределения Замечание:
Получили функцию распределения
равномерно распределенной случайной
величины (см. равномерное распределение). Свойства
плотности распределения
Свойство 1:
Плотность распределения - неотрицательная
функция: f
(
x
)
≥ 0
. Свойство 2:
Несобственный интеграл от плотности
распределения в пределах от -∞ до ∞
равен единице: Замечание:
График плотности распределения
называют кривой распределения
. Замечание:
Плотность распределения непрерывной
случайной величины также называют
законом распределения. Пример.
Плотность распределения случайной
величины имеет следующий вид: Найти постоянный
параметр a
. Решение:
Плотность распределения должна
удовлетворять условию ,
поэтому потребуем, чтобы выполнялось
равенство Отсюда
Вычислим
несобственный интеграл: Таким образом,
искомый параметр Вероятный
смысл плотности распределения
Пусть
F
(x
)
– функция распределения непрерывной
случайной величины X
. По определению плотности распределения,
f
(x
)
=
F
"(x
)
,
или Разность
F
(x
+∆х)
-
F
(x
)
определяет вероятность того, что X
примет значение, принадлежащее интервалу
(x
,
x
+∆х)
.
Таким образом, предел отношения
вероятности того, что непрерывная
случайная величина примет значение,
принадлежащее интервалу (x
,
x
+∆х)
, к длине
этого интервала (при ∆х→0
) равен
значению плотности распределения в
точке х
. Итак,
функция f
(x
)
определяет плотность распределения
вероятности для каждой точки х
. Из
дифференциального исчисления известно,что приращение функции приближенно
равно дифференциалу функции, т.е. Так как F
"(x
)
=
f
(x
)
и dx
= ∆
x
,
то F
(x
+∆
x
)
-
F
(x
)
≈
f
(x
)∆
x
. Вероятностный
смысл этого равенства таков:
вероятность
того, что случайная величина примет
значение принадлежащее интервалу (x
,
x
+∆
x
)
,приближенно равна произведению плотности
вероятности в точке х на длину интервала
∆х
. Геометрически
этот результат можно истолковать так
:
вероятность того, что случайная
величина примет значение принадлежащее
интервалу (x
,
x
+∆
x
)
,приближенно равна площади прямоугольника
с основанием ∆х и высотой
f
(x
).
Определение5.1:
Случайная
величина
X
, принимающая
два значения 1
и 0
с вероятностями
(“успеха”) p
и
(“неуспеха”) q
,
называется Бернуллиевской
: Пусть
производится n
независимых испытаний, в каждом из
которых событие A
может появиться или не появиться.
Вероятность наступления события во
всех испытаниях постоянна и равна p
(следовательно, вероятность непоявления
q
= 1 -
p
). Рассмотрим
случайную величину X
– число появлений события A
в этих испытаниях. Случайная величина
X
принимает значения
0,1,2,…
n
с вероятностями,
вычисленными по формуле Бернулли:
,
где k
= 0,1,2,…
n
. Определение5.2:
Биномиальным
называют раcпределение
вероятностей, определяемое формулой
Бернулли. Пример.
По мишени производится три выстрела,
причем вероятность попадания при каждом
выстреле равна 0,8. Рассматривается
случайная величина X
– число попаданий в мишень. Найти ее
ряд распределения. Решение:
Случайная величина X
принимает значения 0,1,2,3
с вероятностями,
вычисленными по формуле Бернулли, где
n
= 3,
p
= 0,8
(вероятность попадания), q
= 1 - 0,8 = = 0,2
(вероятность непопадания). Таким образом, ряд распределения
имеет следующий вид: Пользоваться формулой Бернулли
при больших значениях n
достаточно трудно, поэтому для подсчета
соответствующих вероятностей используют
локальную теорему Лапласа, которая
позволяет приближенно найти вероятность
появления события ровно k
раз в n
испытаниях,
если число испытаний достаточно велико. Локальная
теорема Лапласа
: Если вероятность p
появления события A
Замечание1:
Таблицы, в которых помещены значения
функции
Пример:
Найти вероятность того, что событие
A
наступит ровно
80
раз в 400
испытаниях, если
вероятность появления этого события в
каждом испытании равна 0,2.
Решение:
По условию n
= 400,
k
= 80,
p
= 0,2
, q
= 0,8
.
Вычислим определяемое данными задачи
значение x
:
Если
нужно вычислить вероятность того, что
событие A
появится в
n
испытаниях не менее
k
1
раз и не
более k
2
раз, то нужно использовать интегральную
теорему Лапласа: Интегральная
теорема Лапласа
: Если вероятность p
появления события A
в каждом испытании постоянна и отлична
от нуля и единицы, то вероятность
того, что событие A
появится в n
испытаниях
от k
1
до
k
2
раз,
приближенно равна определенному
интегралу Другими
словами, вероятность того, что событие
A
появится в n
испытаниях от k
1
до k
2
раз,
приближенно равна где
Замечание2:
Функцию
Пример:
Найти вероятность того, что среди
400
случайно отобранных деталей окажется
непроверенных от 70 до 100 деталей, если
вероятность того, что деталь не прошла
проверку ОТК, равна 0,2.
Решение:
По условию n
= 400,
p
= 0,2
, q
= 0,8,
k
1
=
70,
k
2
=
100
. Вычислим нижний и верхний пределы
интегрирования: Таким образом,
имеем: По таблице
приложения 2 находим, что
Замечание3:
В сериях независимых испытаний (когда
n велико, p мало) для вычисления вероятности
наступления события ровно k раз используют
формулу Пуассона (смотри распределение
Пуассона). Определение5.3:
Дискретную
случайную величину называют Пуассоновской,
если ее закон распределения имеет
следующий вид: Примеры
Пуассоновских случайных величин:
Число вызовов
на автоматическую станцию за промежуток
времени T
.
Число частиц
распада некоторого радиоактивного
вещества за промежуток времени T
.
Число
телевизоров, которые поступают в
мастерскую за промежуток времени T
в большом городе.
Число
автомобилей, которые поступят к
стоп-линии перекрестка в большом городе.
Замечание1:
Специальные таблицы для вычисления
данных вероятностей приведены в
приложении 3. Замечание2:
В сериях независимых испытаний (когда
n
велико, p
мало) для вычисления вероятности
наступления события ровно k
раз используют формулу Пуассона:
Замечание3:
Если есть случайная величина, которая
распределена по закону Пуассона, то
обязательно есть случайная величина,
которая распределена по показательному
закону и, наоборот (см. Показательное
распределение). Пример.
Завод отправил на базу 5000
доброкачественных изделий. Вероятность
того, что в пути изделие повредится,
равна 0,0002
. Найти вероятность, что
на базу прибудут ровно три негодных
изделия. Решение:
По условию n
= 5000,
p
= 0,0002,
k
= 3.
Найдем
λ: λ =
np
= 5000·0,0002
= 1
. По формуле
Пуассона искомая вероятность равна: Пусть
производятся независимые испытания, в
каждом из которых вероятность появления
события А
равна p
(0 p q
= 1 -
p
. Испытания
заканчиваются, как только появится
событие А
. Таким образом, если
событие А
появилось в k
-м
испытании, то в предшествующих k
– 1
испытаниях оно не появлялось. Обозначим
через Х
дискретную случайную величину
– число испытаний, которые нужно провести
до первого появления события А
.
Очевидно, возможными значениями Х
являются натуральные числа х 1 =
1, х 2 = 2, … Пусть в
первых k
-1
испытаниях
событие А
не наступило, а в k
-м
испытании появилось. Вероятность этого
“сложного события”, по теореме умножения
вероятностей независимых событий,
P
(X
=
k
) =
q
k
-1
p
.
Определение5.4:
Дискретная
случайная величина имеет геометрическое
распределение
, если ее закон
распределения имеет следующий вид: P
(
X
=
k
) =
q
k
-1
p
,
где
Замечание1:
Полагая k
= 1,2,…
,
получим геометрическую прогрессию с
первым членом p
и
знаменателем q
(0q
. По этой
причине распределение называют
геометрическим.
Замечание2:
Ряд
Пример.
Из орудия производится стрельба по
цели до первого попадания. Вероятность
попадания в цель p
= 0,6
. Найти вероятность того, что
попадание произойдет при третьем
выстреле. Решение:
По условию p
= 0,6,
q
= 1 – 0,6 = 0,4,
k
= 3.
Искомая вероятность равна: P
(X
= 3) = 0,4
2
·0,6
= 0,096.
Рассмотрим
следующую задачу. Пусть в партии из N
изделий имеется M
стандартных (M
N
).
Из партии случайно отбирают n
изделий (каждое изделие может быть
извлечено с одинаковой вероятностью),
причем отобранное изделие перед отбором
следующего не возвращается в партию
(поэтому формула Бернулли здесь не
применима).
Обозначим
через X
случайную
величину – число m
стандартных изделий среди n
отобранных. Тогда возможными значениями
X
будут 0, 1, 2,…, min
; обозначим их и, ... по
значениям независимой переменной (Fonds) воспользуемся кнопкой (раздел
... ... методические
указания
по
выполнению практических работ 5.1 Методические
рекомендации по
выполнению учебных проектов 5.2 Методические
рекомендации по
... чувствительности), одномерного
и многомерного... случайного
компонента в величине
... с разделом
«Представление... ... разделов
в учебниках. Решение задач по
каждой теме. Проработка методических
указаний
к лабораторным работам по
... случайной
и приборной погрешности измерений 1.8 Тематика контрольных работ и методические
указания
по
... Частица в одномерной
потенциальной яме. ... ... Методические
указания
к ЛАБОРАТОРНым РАБОТАМ по
... величиной
, а наибольшей суммой величин
... массива случайными
числами... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 а) одномерный
массив б) двумерный массив Рис. 2– Файлы... описываются в разделе
реализации после... 9. Непрерывная случайная величина, её числовые характеристики
Непрерывную случайную величину можно задать с помощью двух функций. Интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины Х
называется функция , определённая равенством Интегральная функция даёт общий способ задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. В случае непрерывной случайной величины . Все события: имеют одну и ту же вероятность, равную приращению интегральной функции на этом промежутке, т.е.. Например, для дискретной случайной величины, заданной в примере 26, имеем: Таким образом, график интегральной функции рассматриваемой функции представляет собой объединение двух лучей и трёх отрезков, параллельных оси Ох. Пример 27
. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения вероятностей Построить график интегральной функции и найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение в интервале (0,5;1,5). Решение. На интервале Вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение в интервале (0,5;1,5) находим по формуле . Таким образом, . Свойства интегральной функции распределения вероятностей: Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью другой функции, а именно, функции плотности вероятности
Вероятность того, что значение, принятое случайной величиной Х, попадает в интервал График функции называется кривой распределения
. Геометрически вероятность попадания случайной величины Х в промежуток равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми Свойства функции плотности вероятности : 9.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическое ожидание
(средним значением) непрерывной случайной величины Х определяется равенством М(Х) обозначают через а
. Математическое ожидание непрерывной случайной величины обладает аналогичными, как и дискретная величина, свойствами: Дисперсией
дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания, т.е. . Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется формулой Дисперсия обладает свойствами: Последнее свойство очень удобно применять для нахождения дисперсии непрерывной случайной величины. Аналогично вводится и понятие среднего квадратического отклонения. Средним квадратическим отклонением непрерывной
случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии, т.е. Пример 28
. Непрерывнаяслучайная величина Х задана функцией плотности вероятностей 1). Для нахождения параметра а
используем формулу 2). Для нахождения математического ожидания используем формулу: , откуда следует, что Дисперсию будем находить по формуле: Найдём среднее квадратическое отклонение по формуле: , откуда получим, что 3). Интегральная функция выражается через функцию плотностей вероятностей следующим образом: Графики этих функций представлены на рис. 4. и рис. 5. Рис.4 Рис.5. 9.2. Равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х равномерно
на интервале , если её плотность вероятности постоянна на этом интервале и равна нулю вне этого интервала, т.е. . Легко показать, что в этом случае Если интервал Пример 29.
Событие, состоящее из мгновенного сигнала, должно произойти между часом дня и пятью часами. Время ожидания сигнала есть случайная величина Х. Найти вероятность того, что сигнал будет зафиксирован между двумя и тремя часами дня. Решение. Случайная величина Х имеет равномерное распределение, и по формуле найдём, что вероятность того, что сигнал будет между 2 и 3 часами дня, равна В учебной и другой литературе часто обозначают в литературе через 9.3. Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины называется нормальным, если её закон распределения вероятностей определяется плотностью вероятности Теорема. Вероятность попадания нормально распределённой непрерывной случайной величины в заданный интервал Следствием этой теоремы является правило трёх сигм , т.е. практически достоверно, что нормальна распределённая, непрерывная случайная величина Х принимает свои значения в интервале Пример 30.
Срок работы телевизора представляет собой случайную величину Х, подчинённую нормальному закону распределения, с гарантийным сроком 15 лет и средним квадратическим отклонением, равным 3 годам. Найти вероятность того, что телевизор проработает от 10 до 20 лет. Решение. По условию задачи математическое ожидание а
= 15, среднее квадратическое отклонение . Найдём
. Таким образом, вероятность работы телевизора от 10 до 20 лет более 0,9. 9.4.Неравенство Чебышева
Имеет место лемма Чебышева
. Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного в
Учитывая, что , как сумма вероятностей противоположных событий, получим, что Теорема Чебышева. Если случайная величина Х имеет конечную дисперсию Откуда следует, что Пример 31.
Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины деталей равна100 см., а среднее квадратическое отклонение равно 0,4см. Оценить снизу вероятность того, что длина наудачу взятой детали окажется не менее 99см. и не более 101см. Решение. Дисперсия . Математическое ожидание равно 100. Следовательно, для оценки снизу вероятности рассматриваемого события 10. Элементы математической статистики
Статистической совокупностью
называют множество однородных предметов или явлений. Число п
элементов этого множества называется объёмом совокупности. Наблюдаемые значения Отношение частоты к объёму статистической совокупности называют относительной частотой
признака: Соотношение между вариантами вариационного ряда и их частотами называют статистическим распределением выборки
. Графическим представлением статистического распределения может служить полигон
частот. Пример 32.
Путём опроса 25 студентов первого курса получены следующие данные об их возрасте: Решение. Используя данные, полученные при опросе, составим статистическое распределение выборки Размах выборки варьирования равен 23 – 17 = 6. Для построения полигона частот, строят точки с координатами Ряд распределения относительных частот имеет вид: 10.1.Числовые характеристики вариационного ряда
Пусть выборка задана рядом распределения частот признака Х: Сумма всех частот равна п.
Средним арифметическим выборки
называют величину Дисперсией
или мерой рассеяния значений признака Х по отношению к его среднему арифметическому называют величину Отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому выборки, выраженное в процентах, называют коэффициентом вариации
: Эмпирической функцией распределения относительных частот
называют функцию, определяющую для каждого значения относительную частоту события Пример 33.
В условиях примера 32 найти числовые характеристики Решение. Найдём среднее арифметическое выборки по формуле , тогда . Дисперсия признака Х находится по формуле: , т. е. . Среднее квадратическое отклонение выборки равно 10.2. Оценка вероятности по относительной частоте. Доверительный интервал
Пусть проводится п
независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р
. В этом случае вероятность того, что относительная частота будет отличаться от вероятности появления события А в каждом испытании по абсолютной величине не больше, чем на , приближённо равна удвоенному значению интегральной функции Лапласа: Интервальной оценкой
называют такую оценку, которая определяется двумя числами, являющимися концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр статистической совокупности. Доверительным интервалом
Пример 34
. Заводской цех выпускает электрические лампочки. При проверке 625 ламп оказалось 40 бракованных. Найти с доверительной вероятностью 0,95 границы, в которых заключён процент брака лампочек, выпускаемых заводским цехом. Решение. По условию задачи . Используем формулу 10.3. Оценка параметров в статистике
Пусть количественный признак Х всей исследуемой совокупности (генеральной совокупности) имеет нормальное распределение. Если среднее квадратическое отклонение известно, то доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание а
Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то по данным выборки можно построить случайную величину, имеющую распределение Стьюдента с п
– 1 степенями свободы, которое определяется только одним параметром п
и не зависит от неизвестных а
и . Распределение Стьюдента даже для малых выборок Доверительный интервал, покрывающий среднее квадратическое отклонение этого признака с доверительной вероятностью , находится по формулам: и , где 10.4. Статистические методы изучения зависимостей между случайными величинами
Корреляционной зависимостью У от Х называют функциональную зависимость условной средней Корреляционная зависимость может быть линейной и криволинейной. В случае линейной корреляционной зависимости уравнение прямой линии регрессии имеет вид: При малых выборках данные не группируются, параметры Выборочный линейный коэффициент корреляции Выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х имеет вид: При большом числе наблюдений признаков Х и У составляется корреляционная таблица с двумя входами, при этом одно и то же значение х
наблюдается Пример 35.
Дана таблица наблюдений признаков Х и У. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х. Решение. Связь между изучаемыми признаками может быть выражена уравнением прямой линии регрессии У на Х: . Для вычисления коэффициентов уравнения составим расчётную таблицу: № наблюдения
Глава 6. Непрерывные случайные величины.
§ 1. Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины.
Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный. Случайная величина x(w),заданная в вероятностном пространстве {W, S,P}, называется непрерывной
(абсолютно непрерывной) W, если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде интеграла Функция называется функцией плотности распределения вероятностей
. Из определения вытекают свойства функции плотности распределения : 1..gif" width="97" height="51"> 3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: . 4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т. к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал : 5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства: График функции плотности распределения называется кривой распределения
, и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения Fx(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х0. Задача 1.
Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид: Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность . Решение.
Константа C находится из условия Имеем: Чтобы построить функцию распределения Fx(x), отметим, что интервал делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264" height="49"> так как плотность x на полуоси равна нулю. Во втором случае Наконец, в последнем случае, когда x>2, Так как плотность обращается в нуль на полуоси . Итак, получена функция распределения Вероятность вычислим по формуле . Таким образом,
§ 2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическое ожидание
для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">, если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится. Дисперсия
x может быть вычислена по формуле Все свойства математического ожидания и дисперсии , приведенные в главе 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин. Задача 2
.
Для случайной величины x из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.
Решение.
И значит, https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src="> График плотности равномерного распределения см. на рис. . Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерного закона Функция распределения Fx(x) равномерно распределенной случайной величины равна Fx(x)= Математическое ожидание и дисперсия ; . Показательное (экспоненециальное) распределение.
Непрерывная случайная величина x, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром l>0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна рx(x)= Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательного закона. Функция распределения показательного распределения имеет вид Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15">
и , если ее плотность распределения равна Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами и . Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна Рис. 6.4. Функция распределения и плотность распределения нормального закона Параметры нормального распределения суть математическое ожидание https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24"> В частном случае, когда https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> нормальное распределение называется стандартным
, и класс таких распределений обозначается https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">, а функция распределения Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), и потому для функции составлены таблицы. Функция связана с введенной в главе 4 функцией Лапласа следующим соотношением Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле Неотрицательная случайная величина x называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм h=lnx подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны Мx= и Dx=. Задача 3.
Пусть задана случайная величина https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">. Решение.
Здесь и https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45"> Распределение Лапласа
задается функцией fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> и эксцесс равен gx=3. Рис.6.5. Функция плотности распределения Лапласа. Случайная величина x распределена по закону Вейбулла
, если она имеет функцию плотности распределения, равную https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. В задачах данного профиля важной характеристикой является интенсивность отказа (коэффициент смертности) l(t) исследуемых элементов возраста t, определяемый соотношением l(t)=. Если a=1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если a=2 - в так называемое распределение Рэлея.
Математическое ожидание распределения Вейбулла: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, где Г(а) - функция Эйлера. . В различных задачах прикладной статистики часто встречаются так называемые «усеченные» распределения. Например, налоговые органы интересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении. Эти распределения оказываются приближенно совпадающими с распределением Парето. Распределение Парето
задается функциями Fx(x)=P(x Здесь https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">. Задача 4.
Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность случайной величины . Решение.
Из условия задачи следует, что Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке и имеет обратную функцию § 5. Пара непрерывных случайных величин
Пусть заданы две непрерывные случайные величины x и h. Тогда пара (x, h) определяет «случайную» точку на плоскости. Пару (x, h) называют случайным вектором
или двумерной случайной величиной.
Совместной функцией распределения
случайных величин x и h и называется функция F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. Совместной плотностью
распределения вероятностей случайных величин x и h называется функция такая, что Смысл такого определения совместной плотности распределения заключается в следующем. Вероятность того, что «случайная точка» (x, h) попадет в область на плоскости, вычисляется как объем трехмерной фигуры – «криволинейного» цилиндра, ограниченного поверхностью https://pandia.ru/text/78/107/images/image098_3.gif" width="211" height="39 src="> Простейшим примером совместного распределения двух случайных величин является двумерное равномерное распределение на множестве
A
.
Пусть задано ограниченное множество М с площадью Оно определяется как распределение пары (x, h), задаваемое с помощью следующей совместной плотности: Задача 5.
Пусть двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Вычислить вероятность неравенства x>h. Решение.
Площадь указанного треугольника равна (см. рис. № ?). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин x, h равна Событие соответствует множеству На полуплоскости B совместная плотность равна нулю вне множества https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества и https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> и , причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому Если задана совместная плотность распределения для пары (x, h), то плотности и составляющих x и h называются частными плотностями
и вычисляются по формулам: https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src="> Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями рx(х), рh(у) независимость означает, что Задача 6.
В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора x и h? Решение
. Вычислим частные плотности и . Имеем: https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src="> Очевидно, что в нашем случае https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> - совместная плотность величин x и h, а j(х, у) - функция двух аргументов, тогда https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src="> Задача 7.
В условиях предыдущей задачи вычислить . Решение.
Согласно указанной выше формуле имеем: Представив треугольник в виде https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59"> § 5. Плотность суммы двух непрерывных случайных величин
Пусть x и h - независимые случайные величины с плотностями https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Плотность случайной величины x + h вычисляется по формуле свертки
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Вычислить плотность суммы . Решение.
Так как x и h распределены по показательному закону с параметром , то их плотности равны Следовательно, https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51"> Если x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">отрицателен, и потому . Поэтому Если же https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101"> Таким образом, мы получили ответ: https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нормально распределена с параметрами 0 и 1. Случайные величины x1 и x2 независимы и имеют нормальные распределения с параметрами а1, и а2, соответственно. Доказать, что x1 + x2 имеет нормальное распределение. Случайные величины x1, x2, ... xn распределены и независимы и имеют одинаковую функцию плотности распределения Найти функцию распределения и плотность распределения величин: а) h1 = min {x1 , x2, ...xn} ; б) h(2) = max {x1,x2, ... xn } Случайные величины x1, x2, ... xn независимы и равномерно распределены на отрезке [а, b]. Найти функции распределения и функции плотности распределения величин x(1) = min {x1,x2, ... xn} и x(2)= max{x1, x2, ...xn}. Доказать, что Мhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">. Случайная величина распределена по закону Коши Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения; в) вероятность попадания на интервал (-1, 1). Показать, что математическое ожидание x не существует. Случайная величина подчинена закону Лапласа с параметром l (l>0): Найти коэффициент а; построить графики плотности распределения и функции распределения; найти Mx и Dx; найти вероятности событий {|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид: Написать формулу для плотности распределения, найти Мx и Dx. Вычислительные задачи.
Случайная точка А имеет в круге радиуса R равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния r точки до центра круга. Показать, что величина r2 равномерно распределена на отрезке . Найти постоянную с, плотность распределения h = и вероятность Р (0,25 Время безотказной работы ЭВМ распределено по показательному закону с параметром l = 0,05 (отказа в час), т. е. имеет функцию плотности р(х) = Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение 15 минут. Если за время решения задачи произошел сбой, то ошибка обнаруживается только по окончании решения, и задача решается заново. Найти: а) вероятность того, что за время решения задачи не произойдет ни одного сбоя; б) среднее время, за которое будет решена задача. Стержень длины 24 см ломают на две части; будем считать, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равна средняя длина большей части стержня? Отрезок длины 12 см случайным образом разрезается на две части. Точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Чему равна средняя длина малой части отрезка? Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность распределения случайной величины а) h1 = 2x + 1; б) h2 =-ln(1-x); в) h3 = . Показать, что если x имеет непрерывную функцию распределения F(x) = P(x Найти функцию плотности и функцию распределения суммы двух независимых величин x и h c равномерными законами распределения на отрезках и соответственно. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины независимы и имеют показательное распределение с плотностью
Справедливы следующие предельные соотношения: 
Рисунок-1X
1
4
8
P
0.3
0.1
0.6
Решение: Функция распределения аналитически может быть записана так:
Рисунок-2
(8)
2. Определенный интеграл от -∞ до +∞ от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен 1: f(x)dx=1.
3. Определенный интеграл от -∞ до x от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины: f(x)dx=F(x)
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).
или
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end{array}$
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end{array}$2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
3. Дисперсия дискретной случайной величины.
4. Функция распределения дискретной случайной величины.
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end{array}$
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6,при\ 1 < x\le 2,\\
1/3,\ при\ 2 < x\le 3,\\
1/2,при\ 3 < x\le 4,\\
2/3,\ при\ 4 < x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4 < x\le 5,\\
1,\ при\ x > 6.
\end{matrix}\right.$4. Плотность распределения вероятностей
непрерывной случайной величины
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Найдём
неопределённый интеграл:
.
.5. Типовые распределения дискретных
случайных величин
5.1. Распределение Бернулли
,
где k
=0,1.
5.2. Биномиальное распределение
того, что событие A
появится в n
испытаниях
ровно k
раз, приближенно
равна (тем точнее, чем больше n
)
значению функции
,
где
,
.
,
даны в приложении 1, причем
.
Функция
является плотностью стандартного
нормального распределения (смотри
нормальное распределение).
.
По таблице приложения 1 находим
.
Тогда искомая вероятность будет:
,
где
и
.
,
и
.
называют функцией Лапласа (смотри
нормальное распределение). Таблицы, в
которых помещены значения функции
,
даны в приложении 2, причем
.
;
.
и
.
Тогда искомая вероятность равна:5.3. Распределение Пуассона
,
где
и
(постоянное
значение).
,
где
,
то есть среднее число появлений
событий остается постоянным.
,
где случайная величина X
– число негодных изделий.5.4. Геометрическое
распределение
.
сходится и сумма его равна единице.
Действительно сумма ряда равна
.5.5. Гипергеометрическое
распределение
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Общий психологический практикум»
Учебно-методический комплекс
Учебно-методический комплекс по дисциплине физика (название)
Учебно-методический комплекс
Методические указания к лабораторным работам по дисциплине информатика
Методические указания
.
.
графиком является прямая у = 0. На промежутке от 0 до 2 – парабола, заданная уравнением 
. На интервале 
графиком является прямая у = 1.
.
, определяется равенством 
.
.
.
.
.
в интервале (10;12), вне этого промежутка значение функции равно 0. Найти 1) значение параметра а,
2) математическое ожидание М(Х), дисперсию 
, среднее квадратическое отклонение, 3) интегральную функцию 
и построить графики интегральной и дифференциальной функций.
. Получим . Таким образом, 
.
.
, т.е. .
.
. Следовательно, 
при 
, = 0 при 
и = 1 при
.
.
содержится в интервале , то 
.
.
.
. Для таких величин а
– математическое ожидание, 
- среднее квадратическое отклонение.
определяется по формуле 
, где 
- функция Лапласа.
. Это правило выводимо из формулы 
, являющейся частным случаем сформулированной теоремы.
.
.
и математическое ожидание М(Х), то для любого положительного 
справедливо неравенство
.
.
применим неравенство Чебышева , в котором 
, тогда 
.
признака Х называют вариантами
. Если варианты расположены в возрастающей последовательности, то получен дискретный вариационный ряд
. В случае группировки вариант по интервалам получается интервальный вариационный ряд
. Под частотой т
значения признака понимают число членов совокупности с данной вариантой.
.
. Составить статистическое распределение студентов по возрасту, найти размах варьирования, построить полигон частот и составить ряд распределения относительных частот.
и последовательно их соединяют.
.
. Средним квадратическим отклонением называют корень квадратный из дисперсии, т.е. .
.
, т.е. 
, где 
- число вариант, меньших х
, а п
– объём выборки.
.
. Коэффициент вариации равен 
.
.
называют интервал, который с заданной доверительной вероятностью 
покрывает оцениваемый параметр статистической совокупности. Рассматривая формулу , в которой заменим неизвестную величину р
на её приближённое значение 
, полученное по данным выборки, получим: 
. Эта формула служит для оценки вероятности по относительной частоте. Числа 
и 
называют нижней и соответственно верхней доверительными границами
, - предельной погрешностью для данной доверительной вероятности 
.
. По таблице 2 приложения находим значение аргумента, пи котором значение интегральной функции Лапласа равно 0,475. Получим, что 
. Таким образом, . Следовательно, можно сказать с вероятностью 0,95, что доля выпускаемого брака цехом высока, а именно, изменяется в пределах от 6,2% до 6,6%.
, где п
– объём выборки, 
- выборочная средняя арифметическая, t
– аргумент интегральной функции Лапласа, при котором 
. При этом число 
называют точностью оценки.
даёт вполне удовлетворительные оценки. Тогда доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание а
этого признака с заданной доверительной вероятностью , находится из условия 
, где S – исправленное среднее квадратическое, 
- коэффициент Стьюдента, находится по данным 
из таблицы 3 приложения.
находится по таблице значений q
по данным .
от х.
Уравнение 
представляет уравнение регрессии У на Х, а 
- уравнение регрессии Х на У.
, где угловой коэффициент а
прямой линии регрессии У на Х называется выборочным коэффициентом регрессии У на Х и обозначается 
.
находятся по методу наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:
, где п
– число наблюдений значений пар взаимосвязанных величин.
показывает тесноту связи У и Х. Коэффициент корреляции находится по формуле 
, причём 
, а именно:
.
раз, одно и то же значение у
наблюдается 
раз, одна и та же пара 
наблюдается 
раз.
откуда C=3/8.
, а также, как и в дискретном случае, по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
.
.
,
. В случае же произвольных значений параметров https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> функция распределения случайной величины связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:
.
.
, производная которой равна Следовательно,
.
на плоскости, т. е. полуплоскости. Тогда вероятность
.
.
Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность 
Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность 
Плотность распределения случайной величины имеет вид: 
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), , дисперсию и вероятность Случайная величина имеет функцию распределения
Вычислить плотность случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и вероятность Проверить, что функция =
может быть функцией распределения случайной величины. Найти числовые характеристики этой величины: Mx и Dx. Случайная величина равномерно распределена не отрезке . Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок и на отрезок . Плотность распределения x равна 
.
.
. Найти плотность распределения их суммы. Найти распределение суммы независимых случайных величин x и h, где x имеет равномерное на отрезке распределение, а h имеет показательное распределение с параметром l. Найти Р
, если x имеет: а) нормальное распределение с параметрами а и s2 ; б) показательное распределение с параметром l; в) равномерное распределение на отрезке [-1;1]. Совместное распределение x, h является равномерным в квадрате
К ={х, у): |х| +|у|£ 2}. Найти вероятность
. Являются ли x и h независимыми? Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри треугольника K=. Вычислить плотность x и h. Являются ли эти случайные величины независимыми? Найти вероятность . Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и [-1,1]. Найти вероятность . Двумерная случайная величина (x, h) равномерно распределена в квадрате с вершинами (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Найти значение совместной функции распределения в точке (1, -1). Случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри круга радиуса 3 с центром в начале координат. Написать выражение для совместной плотности распределения. Определить, зависимы ли эти случайные величины. Вычислить вероятность . Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри трапеции с вершинами в точках (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Найти совместную плотность распределения для этой пары случайных величин и плотности составляющих. Зависимы ли x и h? Случайная пара (x, h) равномерно распределена внутри полукруга . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Совместная плотность двух случайных величин x и h равна 
.
Найти плотности x, h. Исследовать вопрос о зависимости x и h. Случайная пара (x, h) равномерно распределена на множестве . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Найти М(xh). Случайные величины x и h независимы и распределены по показательному закону с параметром Найти
