Общее решение однородного уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальные уравнения второго порядка и высших порядков.
Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Примеры решений.
Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не понимаете, что это такое), то рекомендую начать с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений
. Многие принципы решения и базовые понятия диффуров первого порядка автоматически распространяются и на дифференциальные уравнения высших порядков, поэтому очень важно сначала разобраться с уравнениями первого порядка
. У многих читателей может быть предубеждение, что ДУ 2-го, 3-го и др. порядков – что-то очень трудное и недоступное для освоения. Это не так. Научиться решать диффуры высшего порядка вряд ли сложнее, чем «обычные» ДУ 1-го порядка
. А местами – даже проще, поскольку в решениях активно используется материал школьной программы.
Наиболее популярны дифференциальные уравнения второго порядка
. В дифференциальное уравнение второго порядка обязательно
входит вторая производная и не входят
Следует отметить, что некоторые из малышей (и даже все сразу) могут отсутствовать в уравнении, важно, чтобы дома был отец . Самое примитивное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит так:
Дифференциальные уравнения третьего порядка в практических заданиях встречаются значительно реже, по моим субъективным наблюдениям в Государственную Думу они бы набрали примерно 3-4% голосов.
В дифференциальное уравнение третьего порядка обязательно
входит третья производная и не входят
производные более высоких порядков:
Самое простое дифференциальное уравнение третьего порядка выглядит так: – папаша дома, все дети на прогулке.
Аналогичным образом можно определить дифференциальные уравнения 4-го, 5-го и более высоких порядков. В практических задачах такие ДУ проскакивают крайне редко, тем не менее, я постараюсь привести соответствующие примеры.
Дифференциальные уравнения высших порядков, которые предлагаются в практических задачах, можно разделить на две основные группы.
1) Первая группа – так называемые уравнения, допускающие понижение порядка
. Налетайте!
2) Вторая группа – линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
. Которые мы начнем рассматривать прямо сейчас.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение
и неоднородное уравнение
.
Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
имеет следующий вид:
 , где и – константы (числа), а в правой части – строго
ноль.
Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, главное, правильно решить квадратное уравнение
.
Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например уравнение в виде  , где при второй производной есть некоторая константа , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение  будет иметь два различных действительных корня, например:  , то общее решение запишется по обычной схеме:  .
В ряде случаев из-за опечатки в условии могут получиться «нехорошие» корни, что-нибудь вроде  . Что делать, ответ придется записать так:
С «плохими» сопряженными комплексными корнями наподобие  тоже никаких проблем, общее решение:
То есть, общее решение в любом случае существует
. Потому что любое квадратное уравнение имеет два корня.
В заключительном параграфе, как я и обещал, коротко рассмотрим:
Линейные однородные уравнения высших порядков
Всё очень и очень похоже.
Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет следующий вид:
, где – константы.
Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение, как многие догадались, выглядит так:
 , и оно в любом случае
имеет ровно три
корня.
Пусть, например, все корни действительны и различны:  , тогда общее решение запишется следующим образом:
Если один корень действительный , а два других – сопряженные комплексные , то общее решение записываем так:
Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Рассмотрим простейшие однородное ДУ 3-го порядка с одиноким папашей: . Характеристическое уравнение имеет три совпавших нулевых корня . Общее решение записываем так:
Если характеристическое уравнение  имеет, например, три кратных корня , то общее решение, соответственно, такое:
Пример 9
Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка
Решение:
Составим и решим характеристическое уравнение:
, – получен один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.
Ответ:
общее решение
Аналогично можно рассмотреть линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами: , где – константы. |
Дифференциальные уравнения 2-го порядка
§1. Методы понижения порядка уравнения.
Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> (или Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциального уравнения 2-го порядка). Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1..gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.
Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height="25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.
Таким образом, уравнение 2-го порядка https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Решая его, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения, зависящий от двух произвольных постоянных: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.
Решение.
Так как в исходном уравнении в явном виде отсутствует аргумент https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.
Так как при https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.
Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.
Пример 2.
Найти общее решение уравнения: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="183" height="36 src=">.
3. Порядок степени понижается, если удается преобразовать его к такому виду, что обе части уравнения становятся полными производными по https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif" width="92" height="25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)
где https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a0(x) ≠ 0, поделим (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)
Примем без доказательства, что (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height="25 src=">, то уравнение (2.2) называется однородным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае.
Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.
Определение.
Линейной комбинацией функций https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)
то их линейная комбинация https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> в (2.3) и покажем, что в результате получается тождество:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.
Поскольку функции https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> являются решениями уравнения (2.3), то каждая из скобок в последнем уравнении тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.
Следствие 1.
Из доказанной теоремы вытекает при https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> – решение уравнения (2..gif" width="97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> называется линейно независимой на некотором промежутке, если ни одна из этих функций не представляется в виде линейной комбинации всех остальных.
В случае двух функций https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, т. е..gif" width="77" height="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. Таким образом, определитель Вронского для двух линейно независимых функций не может быть тождественно равен нулю.
Пусть https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> удовлетворяют уравнению (2..gif" width="42" height="25 src="> – решение уравнения (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> получается тождество. Таким образом,
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, в которой определитель для линейно независимых решений уравнения (2..gif" width="42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> оба множителя в правой части формулы (3.2) отличны от нуля.
§4. Структура общего решения лоду 2-го порядка.
Теорема.
Если https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> – линейно независимые решения уравнения (2..gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">есть решение уравнения (2.3), следует из теоремы о свойствах решений лоду 2-го порядка..gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
Постоянные https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> из этой системы линейных алгебраических уравнений определяются однозначно, так как определитель этой системы https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5..gif" width="77" height="25 src=">. Согласно предыдущему параграфу общее решение лоду 2-го порядка легко определяется, если известны два линейно независимых частных решения этого уравнения. Простой метод нахождения частных решений уравнения с постоянными коэффициентами предложил Л. Эйлер..gif" width="25" height="26 src=">, получим алгебраическое уравнение, которое называется характеристическим:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> будет решением уравнения (5.1) только при тех значениях k, которые являются корнями характеристического уравнения (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width="205" height="47 src="> и общее решение (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=">..gif" width="83" height="26 src=">. Проверим, что эта функция удовлетворяет уравнению (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Подставляя эти выражения в уравнение (5.1), получим
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, т. к..gif" width="137" height="26 src=">.
Частные решения https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> линейно независимы, т. к..gif" width="166" height="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height="25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.
Обе скобки в левой части этого равенства тождественно равны нулю..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> есть решение уравнения (5.1)..gif" width="129" height="25 src="> будет иметь вид:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
представляется в виде суммы общего решения https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
и любого частного решения https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> будет решением уравнения (6.1)..gif" width="272" height="25 src="> f(x). Это равенство является тождеством, т. к..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Следовательно.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> – линейно независимые решения этого уравнения. Таким образом:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src=">, а такой определитель, как мы видели выше, отличен от нуля..gif" width="19" height="25 src="> из системы уравнений (6..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src="> будет решением уравнения
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> в уравнение (6.5), получим
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f(x) (7.1)
где https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> уравнения (7.1) в случае, когда правая часть f(x) имеет специальный вид. Это метод называется методом неопределенных коэффициентов и состоит в подборе частного решения в зависимости от вида правой части f(x). Рассмотрим правые части следующего вида:
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, могут равняться нулю. Укажем вид, в котором надо брать частное решение в этом случае.
а) Если число https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.
Решение.
Для уравнения https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src=">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src=">.
Обе части сокращаем на https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> в левой и правой частях равенства
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
Из полученной системы уравнений находим: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, а общее решение заданного уравнения есть:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
где https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.
Решение.
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Окончательно имеем следующее выражение для общего решения:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> отлично от нуля. Укажем вид частного решения в этом случае.
а) Если число https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
где https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> является корнем характеристического уравнения для уравнения (5..gif" width="229" height="25 src=">,
где https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.
Решение.
Корни характеристического уравнения для уравнения https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height="25 src=">.
Правая часть заданного в примере 3 уравнения имеет специальный вид: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src=">.gif" width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.
Для определения https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src="> и подставляем в заданное уравнение:
Приводя подобные члены, приравнивая коэффициенты при https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height="25 src=">.
Окончательно общее решение заданного уравнения имеет вид: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47" height="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> соответственно, причем один из этих многочленов может равняться нулю. Укажем вид частного решения в этом общем случае.
а) Если число https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
где https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.
б) Если число https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, то частное решение лнду будет иметь вид:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. В выражении (7..gif" width="121" height="25 src=">.
Пример 4.
Указать вид частного решения для уравнения
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src=">. Общее решение лоду имеет вид:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src=">..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
Далее коэффициенты https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src="> есть частное решение для уравнения с правой частью f1(x), а Вариация" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Непосредственное нахождение частного решения лнду, кроме случая уравнения с постоянными коэффициентами, причем со специальными свободными членами, представляет большие трудности. Поэтому для нахождения общего решения лнду обычно применяют метод вариации произвольных постоянных, который всегда дает возможность найти общее решение лнду в квадратурах, если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Этот метод состоит в следующем.
Согласно вышеизложенному, общее решение линейного однородного уравнения:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – не постоянные, а некоторые, пока неизвестные, функции от f(x).
. нужно брать из интервала. В действительности, в этом случае определитель Вронского отличен от нуля во всех точках интервала, т. е. во всем пространстве – комплексный корень характеристического уравнения..gif" width="20" height="25 src="> линейно независимых частных решений вида:
В формуле общего решения этим корнем соответствует выражение вида.
В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.
Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.
Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.
Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .
Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.
Напомним, что , если y
является функцией аргумента x
.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .
Запишем несколько примеров таких ДУ 
.
Дифференциальные уравнения 
можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x)
. В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x)
≠ 0
. Примерами таких ОДУ являются .
Если существуют значения аргумента x
, при которых функции f(x)
и g(x)
одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения 
при данных x
являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения 
. При различных p
и q
возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими 
или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как 
, или 
, или соответственно.
Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3
и k 2 = 0
. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y
ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ 
и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x)
, стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем
Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) 
и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .
Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке
представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1
и y 2
этого уравнения, то есть, 
.
Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:
Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.
Примером ЛОДУ является 
.
Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примера ЛНДУ можно привести 
.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Порядок дифференциального уравнения 
, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1
порядка, может быть понижен до n-k
заменой .
В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x)
останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y
.
Например, дифференциальное уравнение 
после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.
Линейное
однородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными
коэффициентами
имеет общее решение
,
где
и
линейно-независимые частные решения
этого уравнения.
Общий вид решений
однородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными
коэффициентами
,
зависит от корней характеристического
уравнения
.
|
Корни
характеристического
уравнения
|
Вид
общего решения
|
|
Корни
 и действительные и различные
|
|
|
Корни
 = = действительные
и одинаковые
|
|
|
Корни
комплексные
 ,
|
|
Пример
Найти общее решение
линейных однородных дифференциальных
уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами:
1)
Решение:
.
Решив его, найдем
корни
,
действительные и различные. Следовательно,
общее решение имеет вид:
.
2)
Решение:
Составим
характеристическое уравнение:
.
Решив его, найдем
корни
действительные и одинаковые. Следовательно,
общее решение имеет вид:
.
3)
Решение:
Составим
характеристическое уравнение:
.
Решив его, найдем
корни
комплексные. Следовательно, общее
решение имеет вид:.
Линейное
неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными
коэффициентами
имеет
вид
Где
. (1)
Общее решение
линейного неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка
имеет вид
,
где
– частное решение этого уравнения,– общее решение соответствующего
однородного уравнения, т.е. уравнения.
Вид частного
решения
неоднородного уравнения (1) в зависимости
от правой части
:
Рассмотрим различные
виды правых частей линейного неоднородного
дифференциального уравнения
:
1.
,
где– многочлен степени
.
Тогда частное решение
можно искать в виде
,
где
,
а
– число корней характеристического
уравнения, равных нулю.
Пример
Найти общее решение
.
Решение:
.
Б) Так как правая
часть уравнения является многочленом
первой степени и ни один из корней
характеристического уравнения
не равен нулю (
),
то частное решение ищем в виде,
где
и
– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя
дважды
и подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим.
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
в обеих частях равенства
,
,
находим
,
.
Итак, частное решение данного уравнения
имеет вид
,
а его общее решение.
2.
Пусть правая часть имеет вид
,
где– многочлен степени
.
Тогда частное решение
можно искать в виде
,
где
– многочлен той же степени, что и
,
а
– число, показывающее, сколько раз
является корнем характеристического
уравнения.
Пример
Найти общее решение
.
Решение:
А) Найдем общее
решение соответствующего однородного
уравнения
.
Для этого запишем характеристическое
уравнение
.
Найдем корни последнего уравнения
.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения имеет вид
.
характеристического уравнения
,
где
– неизвестный коэффициент. Дифференцируя
дважды
и подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим.
Откуда
,
то есть
или
.
Итак, частное
решение данного уравнения имеет вид
,
а его общее решение
.
3.
Пусть правая часть имеет вид
,
где
и
– данные числа. Тогда частное решение
можно искать в виде,
где
и
– неизвестные коэффициенты, а
– число, равное числу корней
характеристического уравнения,
совпадающих с
.
Если в выражение функции
входит хотя бы одна из функций
или
,
то в
надо всегда вводитьобе
функции.
Пример
Найти общее решение
.
Решение:
А) Найдем общее
решение соответствующего однородного
уравнения
.
Для этого запишем характеристическое
уравнение
.
Найдем корни последнего уравнения
.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения имеет вид
.
Б) Так как правая
часть уравнения есть функция
,
то контрольное число данного уравнения,
оно не совпадает с корнями
характеристического уравнения
.
Тогда частное решение ищем в виде
Где
и
– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя
дважды,
получими.
Подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим
.
Приводя подобные
слагаемые, получим
.
Приравниваем
коэффициенты при
и
в правой и левой частях уравнения
соответственно. Получаем систему
.
Решая ее, находим
,
.
Итак, частное
решение исходного дифференциального
уравнения имеет вид
.
Общее решение
исходного дифференциального уравнения
имеет вид
.
В этом параграфе будет рассмотрен частный случай линейных уравнений второго порядка, когда коэффициенты уравнения постоянны, т. е. являются числами. Такие уравнения называются уравнениями с постоянными коэффициентами. Этот вид уравнений находит особенно широкое применение.
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим уравнение
в котором коэффициенты постоянны. Полагая, что деля все члены уравнения на и обозначая
запишем данное уравнение в виде
Как известно, для нахождения общего решения линейного однородного уравнения второго порядка достаточно знать его фундаментальную систему частных решений. Покажем, как находится фундаментальная система частных решений для однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Будем искать частное решение этого уравнения в виде
Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для в уравнение (59), получим
Так как , то, сокращая на получим уравнение
Из этого уравнения определяются те значения k, при которых функция будет решением уравнения (59).
Алгебраическое уравнение (61) для определения коэффициента к называется характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения (59).
Характеристическое уравнение является уравнением второй степени и имеет, следовательно, два корня. Эти корни могут быть либо действительными различными, либо действительными и равными, либо комплексными сопряженными.
Рассмотрим, какой вид имеет фундаментальная система частных решений в каждом из этих случаев.
1. Корни характеристического уравнения действительные и различные: . В этом случае по формуле (60) находим два частных решения:
Эти два частных решения образуют фундаментальную систему решений на всей числовой оси, так как определитель Вронского нигде не обращается в нуль:
Следовательно, общее решение уравнения согласно формуле (48) имеет вид
2. Корни характеристического уравнения равные: . В этом случае оба корня будут действительными. По формуле (60) получаем только одно частное решение
Покажем, что второе частное решение образующее вместе с первым фундаментальную систему, имеет вид
Прежде всего проверим, что функция является решением уравнения (59). Действительно,
Но , так как есть корень характеристического уравнения (61). Кроме того, по теореме Виета Поэтому . Следовательно, , т. е. функция действительно является решением уравнения (59).
Покажем теперь, что найденные частные решения образуют фундаментальную систему решений. Действительно,
Таким образом, в этом случае общее решение однородного линейного уравнения имеет вид
3. Корни характеристического уравнения комплексные. Как известно, комплексные корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами являются сопряженными комплексными числами, т. е. имеют вид: . В этом случае частные решения уравнения (59), согласно формуле (60), будут иметь вид:
Применяя формулы Эйлера (см. гл. XI, § 5 п. 3), выражения для можно записать в виде:
Эти решения являются комплексными. Чтобы получить действительные решения, рассмотрим новые функции
Они являются линейными комбинациями решений и, следовательно, сами являются решениями уравнения (59) (см. § 3, п. 2, теорему 1).
Легко показать, что определитель Вронского для этих решений отличен от нуля и, следовательно, решения образуют фундаментальную систему решений.
Таким образом, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид
Приведем в заключение таблицу формул общего решения уравнения (59) в зависимости от вида корней характеристического уравнения.
–многочлен
степени
,
где
– число корней характеристического
уравнения, равных нулю.
,
где
=
является корнем характеристического
уравнения.
– число, равное числу корней
характеристического уравнения,
совпадающих с
.
– число корней характеристического
уравнения, совпадающих с
.
