Общее решение однородного уравнения. Дифференциальные уравнения второго порядка и высших порядков
Здесь мы применим метод вариации постоянных Лагранжа для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. Подробное описание этого метода для решения уравнений произвольного порядка изложено на странице
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа >>>
. Пример 1 Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа:
(1)
Решение Вначале мы решаем однородное дифференциальное уравнение:
(2)
Это уравнение второго порядка. Решаем квадратное уравнение :
.
Корни кратные: .
Фундаментальная система решений уравнения (2) имеет вид:
(3)
.
Отсюда получаем общее решение однородного уравнения (2):
(4)
.
Варьируем постоянные C 1
и C 2
.
То есть заменим в (4) постоянные и на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (1) в виде:
(5)
.
Находим производную :
.
Свяжем функции и уравнением:
(6)
.
Тогда
.
Находим вторую производную:
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1)
;
.
Поскольку и удовлетворяют однородному уравнению (2), то сумма членов в каждом столбце последних трех строк дает нуль и предыдущее уравнение приобретает вид:
(7)
.
Здесь .
Вместе с уравнением (6) мы получаем систему уравнений для определения функций и :
(6)
:
(7)
.
Решение системы уравнений Решаем систему уравнений (6-7). Выпишем выражения для функций и :
.
Находим их производные :
;
.
Решаем систему уравнений (6-7) методом Крамера. Вычисляем определитель матрицы системы:
.
По формулам Крамера находим:
;
.
Итак, мы нашли производные функций:
;
.
Интегрируем (см. Методы интегрирования корней). Делаем подстановку
;
;
;
.
.
.
;
.
Ответ Пример 2 Решить дифференциальное уравнение методом вариации постоянных Лагранжа:
(8)
Решение Шаг 1. Решение однородного уравнения Решаем однородное дифференциальное уравнение: (9)
Ищем решение в виде .
Составляем характеристическое уравнение:
Это уравнение имеет комплексные корни:
.
Фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, имеет вид:
(10)
.
Общее решение однородного уравнения (9):
(11)
.
Шаг 2. Вариация постоянных - замена постоянных функциями Теперь варьируем постоянные C 1
и C 2
.
То есть заменим в (11) постоянные на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (8) в виде:
(12)
.
Далее ход решения получается таким же, как в примере 1. Мы приходим к следующей системе уравнений для определения функций и :
(13)
:
(14)
.
Здесь .
Решение системы уравнений Решаем эту систему. Выпишем выражения функций и :
.
Из таблицы производных находим:
;
.
Решаем систему уравнений (13-14) методом Крамера. Определитель матрицы системы:
.
По формулам Крамера находим:
;
.
.
Поскольку ,
то знак модуля под знаком логарифма можно опустить. Умножим числитель и знаменатель на :
.
Тогда
.
Общее решение исходного уравнения:
.
Дифференциальные уравнения второго порядка и высших порядков.
Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Примеры решений.
Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не понимаете, что это такое), то рекомендую начать с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений
. Многие принципы решения и базовые понятия диффуров первого порядка автоматически распространяются и на дифференциальные уравнения высших порядков, поэтому очень важно сначала разобраться с уравнениями первого порядка
. У многих читателей может быть предубеждение, что ДУ 2-го, 3-го и др. порядков – что-то очень трудное и недоступное для освоения. Это не так. Научиться решать диффуры высшего порядка вряд ли сложнее, чем «обычные» ДУ 1-го порядка
. А местами – даже проще, поскольку в решениях активно используется материал школьной программы.
Наиболее популярны дифференциальные уравнения второго порядка
. В дифференциальное уравнение второго порядка обязательно
входит вторая производная и не входят
Следует отметить, что некоторые из малышей (и даже все сразу) могут отсутствовать в уравнении, важно, чтобы дома был отец . Самое примитивное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит так:
Дифференциальные уравнения третьего порядка в практических заданиях встречаются значительно реже, по моим субъективным наблюдениям в Государственную Думу они бы набрали примерно 3-4% голосов.
В дифференциальное уравнение третьего порядка обязательно
входит третья производная и не входят
производные более высоких порядков:
Самое простое дифференциальное уравнение третьего порядка выглядит так: – папаша дома, все дети на прогулке.
Аналогичным образом можно определить дифференциальные уравнения 4-го, 5-го и более высоких порядков. В практических задачах такие ДУ проскакивают крайне редко, тем не менее, я постараюсь привести соответствующие примеры.
Дифференциальные уравнения высших порядков, которые предлагаются в практических задачах, можно разделить на две основные группы.
1) Первая группа – так называемые уравнения, допускающие понижение порядка
. Налетайте!
2) Вторая группа – линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
. Которые мы начнем рассматривать прямо сейчас.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение
и неоднородное уравнение
.
Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
имеет следующий вид:
 , где и – константы (числа), а в правой части – строго
ноль.
Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, главное, правильно решить квадратное уравнение
.
Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например уравнение в виде  , где при второй производной есть некоторая константа , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение  будет иметь два различных действительных корня, например:  , то общее решение запишется по обычной схеме:  .
В ряде случаев из-за опечатки в условии могут получиться «нехорошие» корни, что-нибудь вроде  . Что делать, ответ придется записать так:
С «плохими» сопряженными комплексными корнями наподобие  тоже никаких проблем, общее решение:
То есть, общее решение в любом случае существует
. Потому что любое квадратное уравнение имеет два корня.
В заключительном параграфе, как я и обещал, коротко рассмотрим:
Линейные однородные уравнения высших порядков
Всё очень и очень похоже.
Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет следующий вид:
, где – константы.
Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение, как многие догадались, выглядит так:
 , и оно в любом случае
имеет ровно три
корня.
Пусть, например, все корни действительны и различны:  , тогда общее решение запишется следующим образом:
Если один корень действительный , а два других – сопряженные комплексные , то общее решение записываем так:
Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Рассмотрим простейшие однородное ДУ 3-го порядка с одиноким папашей: . Характеристическое уравнение имеет три совпавших нулевых корня . Общее решение записываем так:
Если характеристическое уравнение  имеет, например, три кратных корня , то общее решение, соответственно, такое:
Пример 9
Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка
Решение:
Составим и решим характеристическое уравнение:
, – получен один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.
Ответ:
общее решение
Аналогично можно рассмотреть линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами: , где – константы. |
Учреждение
образования «Белорусская государственная
сельскохозяйственная
академия»
Кафедра
высшей математики
Методические
указания
по
изучению темы «Линейные дифференциальные
уравнения второго порядка» студентами
бухгалтерского факультета заочной
формы получения образования (НИСПО)
Горки,
2013
Линейные
дифференциальные уравнения
второго
порядка с постоянными
коэффициентами
Линейные
однородные дифференциальные уравнения
Линейным
дифференциальным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами
называется уравнение вида
т.е.
уравнение, которое содержит искомую
функцию и её производные только в первой
степени и не содержит их произведений.
В этом уравнении
и
- некоторые числа, а функция
задана на некотором интервале
.
Если
на интервале
,
то уравнение (1) примет вид
,
(2)
и
называется линейным
однородным
.
В противном случае уравнение (1) называется
линейным
неоднородным
.
Рассмотрим
комплексную функцию
,
(3)
где
и
- действительные функции. Если функция
(3) является комплексным решением
уравнения (2), то и действительная часть
,
и мнимая часть
решения
в отдельности являются решениями этого
же однородного уравнения. Таким образом,
всякое комплексное решение уравнения
(2) порождает два действительных решения
этого уравнения.
Решения
однородного линейного уравнения обладают
свойствами:
Если
есть решение уравнения (2), то и функция
,
гдеС
– произвольная постоянная, также будет
решением уравнения (2);
Если
и
есть решения уравнения (2), то и функция
также будет решением уравнения (2);
Если
и
есть решения уравнения (2), то их линейная
комбинация
также будет решением уравнения (2), где
и
– произвольные постоянные.
Функции
и
называютсялинейно
зависимыми
на интервале
,
если существуют такие числа
и
,
не равные нулю одновременно, что на этом
интервале выполняется равенство
Если
равенство (4) имеет место только тогда,
когда
и
,
то функции
и
называютсялинейно
независимыми
на интервале
.
Пример
1
.
Функции
и
линейно зависимы, так как
на
всей числовой прямой. В этом примере
.
Пример
2
.
Функции
и
линейно независимы на любом интервале,
т. к. равенство
возможно лишь в случае, когда и
,
и
.
Построение
общего решения линейного однородного
уравнения
Для
того, чтобы найти общее решение уравнения
(2), нужно найти два его линейно независимых
решения
и
.
Линейная комбинация этих решений
,
где
и
– произвольные постоянные, и даст общее
решение линейного однородного уравнения.
Линейно
независимые решения уравнения (2) будем
искать в виде
,
(5)
где
– некоторое число. Тогда
,
.
Подставим эти выражения в уравнение
(2):
или
.
Так
как
,
то
.
Таким образом, функция
будет решением уравнения (2), если
будет удовлетворять уравнению
.
(6)
Уравнение
(6) называется характеристическим
уравнением
для уравнения (2). Это уравнение является
алгебраическим квадратным уравнением.
Пусть
и
есть корни этого уравнения. Они могут
быть или действительными и различными,
или комплексными, или действительными
и равными. Рассмотрим эти случаи.
Пусть
корни
и
характеристического уравнения
действительные и различны. Тогда
решениями уравнения (2) будут функции
и
.
Эти решения линейно независимы, так как
равенство
может выполняться лишь тогда, когда и
,
и
.
Поэтому общее решение уравнения (2) имеет
вид
,
где
и
- произвольные постоянные.
Пример
3
.
Решение
.
Характеристическим уравнением для
данного дифференциального будет
.
Решив это квадратное уравнение, найдём
его корни
и
.
Функции
и
являются решениями дифференциального
уравнения. Общее решение этого уравнения
имеет вид
.
Комплексным
числом
называется выражение вида
,
где
и
- действительные числа, а
называется мнимой единицей. Если
,
то число
называется чисто мнимым. Если же
,
то число
отождествляется с действительным числом
.
Число
называется
действительной частью комплексного
числа, а
-
мнимой частью. Если два комплексных
числа отличаются друг от друга только
знаком мнимой части, то они зазываются
сопряжёнными:
,
.
Пример
4
.
Решить квадратное уравнение
.
Решение
.
Дискриминант уравнения
.
Тогда.
Аналогично,
.
Таким образом, данное квадратное
уравнение имеет сопряжённые комплексные
корни.
Пусть
корни характеристического уравнения
комплексные, т.е.
,
,
где
.
Решения уравнения (2) можно записать в
виде
,
или
,
.
По формулам Эйлера
,
.
Тогда
,.
Как известно, если комплексная функция
является решением линейного однородного
уравнения, то решениями этого уравнения
являются и действительная, и мнимая
части этой функции. Таким образом,
решениями уравнения (2) будут функции
и
.
Так как равенство
может
выполняться только в том случае, если
и
,
то эти решения линейно независимы.
Следовательно, общее решение уравнения
(2) имеет вид
где
и
- произвольные постоянные.
Пример
5
.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение
.
Уравнение
является характеристическим для данного
дифференциального. Решим его и получим
комплексные корни
,
.
Функции
и
являются линейно независимыми решениями
дифференциального уравнения. Общее
решение этого уравнения имеет вид.
Пусть
корни характеристического уравнения
действительные и равные, т.е.
.
Тогда решениями уравнения (2) являются
функции
и
.
Эти решения линейно независимы, так как
выражениеможет быть тождественно равным нулю
только тогда, когда
и
.
Следовательно, общее решение уравнения
(2) имеет вид
.
Пример
6
.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение
.
Характеристическое уравнение
имеет равные корни
.
В этом случае линейно независимыми
решениями дифференциального уравнения
являются функции
и
.
Общее решение имеет вид
.
Неоднородные
линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными
коэффициентами
и
специальной правой частью
Общее
решение линейного неоднородного
уравнения (1) равно сумме общего решения
соответствующего однородного уравнения
и любого частного решения
неоднородного уравнения:
.
В
некоторых случаях частное решение
неоднородного уравнения можно найти
довольно просто по виду правой части
уравнения (1). Рассмотрим случаи, когда
это возможно.
т.е.
правая часть неоднородного уравнения
является многочленом степени m
.
Если
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение неоднородного
уравнения следует искать в виде многочлена
степениm
,
т.е.
Коэффициенты
определяются в процессе нахождения
частного решения.
Если
же
является корнем характеристического
уравнения, то частное решение неоднородного
уравнения следует искать в виде
Пример
7
.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение
.
Соответствующим однородным уравнением
для данного уравнения является
.
Его характеристическое уравнение
имеет корни
и
.
Общее решение однородного уравнения
имеет вид
.
Так
как
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение неоднородного
уравнения будем искать в виде функции
.
Найдём производные этой функции
,
и подставим их в данное уравнение:
или
.
Приравняем коэффициенты при
и свободные члены:
Решив
данную систему, получим
,
.
Тогда частное решение неоднородного
уравнения имеет вид
,
а общим решением данного неоднородного
уравнения будет сумма общего решения
соответствующего однородного уравнения
и частного решения неоднородного:
.
Пусть
неоднородное уравнение имеет вид
Если
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение неоднородного
уравнения следует искать в виде.
Если же
есть корень характеристического
уравнения кратностиk
(k
=1
или k
=2),
то в этом случае частное решение
неоднородного уравнения будет иметь
вид
.
Пример
8
.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение
.
Характеристическое уравнение для
соответствующего однородного уравнения
имеет вид
.
Его корни
,
.
В этом случае общее решение соответствующего
однородного уравнения записывается в
виде
.
Так
как число 3 не является корнем
характеристического уравнения, то
частное решение неоднородного уравнения
следует искать в виде
.
Найдём производные первого и второго
порядков:,
Подставим в дифференциальное уравнение:
+
+,
+,.
Приравняем
коэффициенты при
и свободные члены:
Отсюда
,
.
Тогда частное решение данного уравнения
имеет вид
,
а общее решение
.
Метод
Лагранжа вариации произвольных
постоянных
Метод
вариации произвольных постоянных можно
применять к любому неоднородному
линейному уравнению с постоянными
коэффициентами независимо от вида
правой части. Этот метод позволяет
всегда найти общее решение неоднородного
уравнения, если известно общее решение
соответствующего однородного уравнения.
Пусть
и
являются линейно независимыми решениями
уравнения (2). Тогда общим решением этого
уравнения является
,
где
и
-
произвольные постоянные. Суть метода
вариации произвольных постоянных
состоит в том, что общее решение уравнения
(1) ищется в виде
где
и
- новые неизвестные функции, которые
необходимо найти. Так как неизвестных
функций две, то для их нахождения
необходимы два уравнения, содержащие
эти функции. Эти два уравнения составляют
систему
которая
является линейной алгебраической
системой уравнений относительно
и
.
Решая данную систему, найдём
и
.
Интегрируя обе части полученных равенств,
найдём
и
.
Подставив
эти выражения в (9), получим общее решение
неоднородного линейного уравнения (1).
Пример
9
.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение.
Характеристическим уравнением для
однородного уравнения, соответствующего
данному дифференциальному уравнению,
является
.
Корни его комплексные
,
.
Так как
и
,
то
,
,
а общее решение однородного уравнения
имеет вид.
Тогда общее решение данного неоднородного
уравнения будем искать в виде,
где
и
-
неизвестные функции.
Система
уравнений для нахождения этих неизвестных
функций имеет вид
Решив
эту систему, найдём
,
.
Тогда
,
.
Подставим полученные выражения в формулу
общего решения:
Это и есть общее решение данного
дифференциального уравнения, полученное
по методу Лагранжа.
Вопросы
для самоконтроля знаний
Какое
дифференциальное уравнение называется
линейным дифференциальным уравнением
второго порядка с постоянными
коэффициентами?
Какое
линейное дифференциальное уравнение
называется однородным, а какое –
неоднородным?
Какими
свойствами обладает линейное однородное
уравнение?
Какое
уравнение называется характеристическим
для линейного дифференциального
уравнения и как оно получается?
В
каком виде записывается общее решение
линейного однородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами
в случае разных корней характеристического
уравнения?
В
каком виде записывается общее решение
линейного однородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами
в случае равных корней характеристического
уравнения?
В
каком виде записывается общее решение
линейного однородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами
в случае комплексных корней
характеристического уравнения?
Как
записывается общее решение линейного
неоднородного уравнения?
В
каком виде ищется частное решение
линейного неоднородного уравнения,
если корни характеристического уравнения
различны и не равны нулю, а правая часть
уравнения есть многочлен степени m
?
В
каком виде ищется частное решение
линейного неоднородного уравнения,
если среди корней характеристического
уравнения есть один нуль, а правая часть
уравнения есть многочлен степени m
?
В
чём суть метода Лагранжа?
Дифференциальные уравнения 2-го порядка
§1. Методы понижения порядка уравнения.
Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> (или Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциального уравнения 2-го порядка). Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1..gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.
Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height="25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.
Таким образом, уравнение 2-го порядка https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Решая его, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения, зависящий от двух произвольных постоянных: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.
Решение.
Так как в исходном уравнении в явном виде отсутствует аргумент https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.
Так как при https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.
Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.
Пример 2.
Найти общее решение уравнения: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="183" height="36 src=">.
3. Порядок степени понижается, если удается преобразовать его к такому виду, что обе части уравнения становятся полными производными по https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif" width="92" height="25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)
где https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a0(x) ≠ 0, поделим (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)
Примем без доказательства, что (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height="25 src=">, то уравнение (2.2) называется однородным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае.
Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.
Определение.
Линейной комбинацией функций https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)
то их линейная комбинация https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> в (2.3) и покажем, что в результате получается тождество:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.
Поскольку функции https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> являются решениями уравнения (2.3), то каждая из скобок в последнем уравнении тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.
Следствие 1.
Из доказанной теоремы вытекает при https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> – решение уравнения (2..gif" width="97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> называется линейно независимой на некотором промежутке, если ни одна из этих функций не представляется в виде линейной комбинации всех остальных.
В случае двух функций https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, т. е..gif" width="77" height="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. Таким образом, определитель Вронского для двух линейно независимых функций не может быть тождественно равен нулю.
Пусть https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> удовлетворяют уравнению (2..gif" width="42" height="25 src="> – решение уравнения (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> получается тождество. Таким образом,
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, в которой определитель для линейно независимых решений уравнения (2..gif" width="42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> оба множителя в правой части формулы (3.2) отличны от нуля.
§4. Структура общего решения лоду 2-го порядка.
Теорема.
Если https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> – линейно независимые решения уравнения (2..gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">есть решение уравнения (2.3), следует из теоремы о свойствах решений лоду 2-го порядка..gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
Постоянные https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> из этой системы линейных алгебраических уравнений определяются однозначно, так как определитель этой системы https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5..gif" width="77" height="25 src=">. Согласно предыдущему параграфу общее решение лоду 2-го порядка легко определяется, если известны два линейно независимых частных решения этого уравнения. Простой метод нахождения частных решений уравнения с постоянными коэффициентами предложил Л. Эйлер..gif" width="25" height="26 src=">, получим алгебраическое уравнение, которое называется характеристическим:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> будет решением уравнения (5.1) только при тех значениях k, которые являются корнями характеристического уравнения (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width="205" height="47 src="> и общее решение (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=">..gif" width="83" height="26 src=">. Проверим, что эта функция удовлетворяет уравнению (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Подставляя эти выражения в уравнение (5.1), получим
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, т. к..gif" width="137" height="26 src=">.
Частные решения https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> линейно независимы, т. к..gif" width="166" height="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height="25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.
Обе скобки в левой части этого равенства тождественно равны нулю..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> есть решение уравнения (5.1)..gif" width="129" height="25 src="> будет иметь вид:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
представляется в виде суммы общего решения https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
и любого частного решения https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> будет решением уравнения (6.1)..gif" width="272" height="25 src="> f(x). Это равенство является тождеством, т. к..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Следовательно.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> – линейно независимые решения этого уравнения. Таким образом:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src=">, а такой определитель, как мы видели выше, отличен от нуля..gif" width="19" height="25 src="> из системы уравнений (6..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src="> будет решением уравнения
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> в уравнение (6.5), получим
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f(x) (7.1)
где https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> уравнения (7.1) в случае, когда правая часть f(x) имеет специальный вид. Это метод называется методом неопределенных коэффициентов и состоит в подборе частного решения в зависимости от вида правой части f(x). Рассмотрим правые части следующего вида:
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, могут равняться нулю. Укажем вид, в котором надо брать частное решение в этом случае.
а) Если число https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.
Решение.
Для уравнения https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src=">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src=">.
Обе части сокращаем на https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> в левой и правой частях равенства
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
Из полученной системы уравнений находим: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, а общее решение заданного уравнения есть:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
где https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.
Решение.
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Окончательно имеем следующее выражение для общего решения:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> отлично от нуля. Укажем вид частного решения в этом случае.
а) Если число https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
где https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> является корнем характеристического уравнения для уравнения (5..gif" width="229" height="25 src=">,
где https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.
Решение.
Корни характеристического уравнения для уравнения https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height="25 src=">.
Правая часть заданного в примере 3 уравнения имеет специальный вид: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src=">.gif" width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.
Для определения https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src="> и подставляем в заданное уравнение:
Приводя подобные члены, приравнивая коэффициенты при https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height="25 src=">.
Окончательно общее решение заданного уравнения имеет вид: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47" height="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> соответственно, причем один из этих многочленов может равняться нулю. Укажем вид частного решения в этом общем случае.
а) Если число https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
где https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.
б) Если число https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, то частное решение лнду будет иметь вид:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. В выражении (7..gif" width="121" height="25 src=">.
Пример 4.
Указать вид частного решения для уравнения
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src=">. Общее решение лоду имеет вид:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src=">..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
Далее коэффициенты https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src="> есть частное решение для уравнения с правой частью f1(x), а Вариация" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Непосредственное нахождение частного решения лнду, кроме случая уравнения с постоянными коэффициентами, причем со специальными свободными членами, представляет большие трудности. Поэтому для нахождения общего решения лнду обычно применяют метод вариации произвольных постоянных, который всегда дает возможность найти общее решение лнду в квадратурах, если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Этот метод состоит в следующем.
Согласно вышеизложенному, общее решение линейного однородного уравнения:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – не постоянные, а некоторые, пока неизвестные, функции от f(x).
. нужно брать из интервала. В действительности, в этом случае определитель Вронского отличен от нуля во всех точках интервала, т. е. во всем пространстве – комплексный корень характеристического уравнения..gif" width="20" height="25 src="> линейно независимых частных решений вида:
В формуле общего решения этим корнем соответствует выражение вида.
В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.
Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.
Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.
Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .
Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.
Напомним, что , если y
является функцией аргумента x
.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .
Запишем несколько примеров таких ДУ 
.
Дифференциальные уравнения 
можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x)
. В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x)
≠ 0
. Примерами таких ОДУ являются .
Если существуют значения аргумента x
, при которых функции f(x)
и g(x)
одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения 
при данных x
являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения 
. При различных p
и q
возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими 
или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как 
, или 
, или соответственно.
Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3
и k 2 = 0
. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y
ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ 
и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x)
, стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем
Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) 
и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .
Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке
представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1
и y 2
этого уравнения, то есть, 
.
Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:
Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.
Примером ЛОДУ является 
.
Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примера ЛНДУ можно привести 
.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Порядок дифференциального уравнения 
, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1
порядка, может быть понижен до n-k
заменой .
В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x)
останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y
.
Например, дифференциальное уравнение 
после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.
