Метод экспоненциального сглаживания скользящей средней в Excel. Экспоненциальное сглаживание

Экстраполяция - это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования. К методам экстраполяции относятся метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов.

Метод экспоненциального сглаживания наиболее эффективен при разработке среднесрочных прогнозов. Он приемлем при прогнозировании только на один период вперед. Его основные достоинства простота процедуры вычислений и возможность учета весов исходной информации. Рабочая формула метода экспоненциального сглаживания:

При прогнозировании данным методом возникает два затруднения:

• выбор значения параметра сглаживания α;
• определение начального значения Uo.

От величины α зависит , как быстро снижается вес влияния предшествующих наблюдений. Чем больше α, тем меньше сказывается влияние предшествующих лет. Если значение α близко к единице, то это приводит к учету при прогнозе в основном влияния лишь последних наблюдений. Если значение α близко к нулю, то веса, по которым взвешиваются уровни временного ряда, убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все (или почти все) прошлые наблюдения.

Таким образом, если есть уверенность, что начальные условия, на основании которых разрабатывается прогноз, достоверны, следует использовать небольшую величину параметра сглаживания (α→0). Когда параметр сглаживания мал, то исследуемая функция ведет себя как средняя из большого числа прошлых уровней. Если нет достаточной уверенности в начальных условиях прогнозирования, то следует использовать большую величину α, что приведет к учету при прогнозе в основном влияния последних наблюдений.

Точного метода для выбора оптимальной величины параметра сглаживания α нет. В отдельных случаях автор данного метода профессор Браун предлагал определять величину α, исходя из длины интервала сглаживания. При этом α вычисляется по формуле:

где n – число наблюдений, входящих в интервал сглаживания.

Задача выбора Uo (экспоненциально взвешенного среднего начального) решается следующими способами:

• если есть данные о развитии явления в прошлом, то можно воспользоваться средней арифметической и приравнять к ней Uo;
• если таких сведений нет, то в качестве Uo используют исходное первое значение базы прогноза У1.

Также можно воспользоваться экспертными оценками.

Отметим, что при изучении экономических временных рядов и прогнозировании экономических процессов метод экспоненциального сглаживания не всегда «срабатывает». Это обусловлено тем, что экономические временные ряды бывают слишком короткими (15-20 наблюдений), и в случае, когда темпы роста и прироста велики, данный метод не «успевает» отразить все изменения.

Пример применения метода экспоненциального сглаживания для разработки прогноза

Задача . Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в регионе, %

• Постройте прогноз уровня безработицы в регионе на ноябрь, декабрь, январь месяцы, используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.
• Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.
• Сравните полученные результаты, сделайте выводы.

Решение методом экспоненциального сглаживания

1) Определяем значение параметра сглаживания по формуле:

где n – число наблюдений, входящих в интервал сглаживания. α = 2/ (10+1) = 0,2

2) Определяем начальное значение Uo двумя способами:
І способ (средняя арифметическая) Uo = (2,99 + 2,66 + 2,63 + 2,56 + 2,40 + 2,22 + 1,97 + 1,72 + 1,56 + 1,42)/10 = 22,13/10 = 2,21
II способ (принимаем первое значение базы прогноза) Uo = 2,99

3) Рассчитываем экспоненциально взвешенную среднюю для каждого периода, используя формулу

где t – период, предшествующий прогнозному; t+1 – прогнозный период; Ut+1 - прогнозируемый показатель; α - параметр сглаживания; Уt - фактическое значение исследуемого показателя за период, предшествующий прогнозному; Ut - экспоненциально взвешенная средняя для периода, предшествующего прогнозному.

Например:
Uфев = 2,99*0,2 +(1-0,2) * 2,21 = 2,37 (І способ)
Uмарт = 2,66*0,2+(1-0,2) * 2,37 = 2,43 (І способ) и т.д.

Uфев = 2,99*0,2 +(1-0,2) * 2,99 = 2,99 (II способ)
Uмарт = 2,66*0,2+(1-0,2) * 2,99 = 2,92 (II способ)
Uапр = 2,63*0,2+(1-0,2) * 2,92 = 2,86 (II способ) и т.д.

4) По этой же формуле вычисляем прогнозное значение
Uноябрь= 1,42*0,2+(1-0,2) * 2,08 = 1,95 (І способ)
Uноябрь= 1,42*0,2+(1-0,2) * 2,18 = 2,03 (ІІ способ)
Результаты заносим в таблицу.

5) Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:

ε = 209,58/10 = 20,96% (І способ)
ε = 255,63/10 = 25,56% (ІІ способ)

В каждом случае точность прогноза является удовлетворительной поскольку средняя относительная ошибка попадает в пределы 20-50%.

Решив данную задачу методами скользящей средней и наименьших квадратов , сделаем выводы.

Экспоненциальное сглаживание - способ сглаживания временных рядов, вычислительная процедура которого включает обработку всех предыдущих наблюдений, при этом учитывается устаревание информации по мере удаления от прогнозного периода. Иначе говоря, чем "старше" наблюдение, тем меньше оно должно влиять на величину прогнозной оценки. Идея экспоненциального сглаживания состоит в том, что по мере "старения" соответствующим наблюдениям придаются убывающие веса.

Данный метод прогнозирования считается весьма эффективным и падежным. Основные достоинства метода состоят в возможности учета весов исходной информации, в простоте вычислительных операций, в гибкости описания различных динамик процессов. Метод экспоненциального сглаживания дает возможность получить оценку параметров тренда, характеризующих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Наибольшее применение метод нашел для реализации среднесрочных прогнозов. Для метода экспоненциального сглаживания основным моментом является выбор параметра сглаживания (сглаживающей константы) и начальных условий.

Простое экспоненциальное сглаживание временных рядов, содержащих тренд, приводит к систематической ошибке, связанной с отставанием сглаженных значений от фактических уровней временного ряда. Для учета тренда в нестационарных рядах применяется специальное двухпараметрическое линейное экспоненциальное сглаживание. В отличие от простого экспоненциального сглаживания с одной сглаживающей константой (параметром) данная процедура сглаживает одновременно случайные возмущения и тренд с использованием двух различных констант (параметров). Двухпараметрический метод сглаживания (метод Хольта) включает два уравнения. Первое предназначено для сглаживания наблюденных значений, а второе -для сглаживания тренда:

где I - 2, 3, 4 - периоды сглаживания; 5, - сглаженная величина на период £; У, - фактическое значение уровня на период 1 5, 1 - сглаженное значение на период Ь-Ьг- сглаженное значение тренда на период 1 - сглаженное значение на период I- 1; А и В - сглаживающие константы (числа между 0 и 1).

Сглаживающие константы А и В характеризуют фактор взвешивания наблюдений. Обычно Л, В < 0,3. Так как (1 - А) < 1, (1 - В) < 1, то они убывают по экспоненциальному закону по мере удаления наблюдения от текущего периода I. Отсюда данная процедура получила название экспоненциально сглаживания.

Уравнение добавляется в общую процедуру для сглаживания тренда. Каждая новая оценка тренда получается как взвешенная сумма разности между последними двумя сглаженными значениями (текущая оценка тренда) и предыдущей сглаженной оценки. Данное уравнение позволяет существенно сократить влияние случайных возмущений на тренд с течением времени.

Прогнозирование с использованием экспоненциального сглаживания подобно процедуре "наивного" прогнозирования, когда прогнозная оценка на завтра полагается равной сегодняшнему значению. В данном случае в качестве прогноза на один период вперед рассматривается сглаженная величина на текущий период плюс текущее сглаженное значение тренда:

Данную процедуру можно использовать для прогнозирования на любое число периодов, на пример на т периодов:

Процедура прогнозирования начинается с того, что сглаженная величина 51 полагается равной первому наблюдению У, т.е. 5, = У,.

Возникает проблема определения начального значения тренда 6]. Существуют два способа оценки Ьх.

Способ 1. Положим Ьх = 0. Такой подход хорошо работает в случае длинного исходного временного ряда. Тогда сглаженный тренд за небольшое число периодов приблизится к фактическому значению тренда.

Способ 2. Можно получить более точную оценку 6, используя первые пять (или более) наблюдений временного ряда. На их основе гю методу наименьших квадратов решается уравнение У(= а + Ь х г. Величина Ь берется в качестве начального значения тренда.

Задачи прогнозирования построены на изменении неких данных во времени (продаж, спроса, поставок, ВВП, выбросов углерода, численности населения…) и проецировании этих изменений на будущее. К сожалению, выявленные на исторических данных, тренды могут нарушаться множеством непредвиденных обстоятельств. Так что данные в будущем могут существенно отличаться от произошедшего в прошлом. В этом и состоит проблема прогнозирования.

Однако, существуют методики (под названием экспоненциальное сглаживание), позволяющие не только попытаться предсказать будущее, но и выразить численно неопределенность всего, что связано с прогнозом. Численное выражение неопределенности с помощью создания интервалов прогнозирования поистине неоценимо, но часто игнорируется в прогностическом мире.

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Исходные данные

Допустим, вы фанат «Властелина Колец», и вот уже три года изготавливаете и торгуете мечами (рис. 1). Отобразим продажи графически (рис. 2). За три года спрос удвоился - может быть, это тренд? Мы вернемся к этой мысли чуть позже. На графике есть несколько пиков и спадов, что может быть признаком сезонности. В частности, пики приходятся на месяцы с номерами 12, 24 и 36, которые оказываются декабрями. Но может быть это лишь случайность? Давайте выясним.

Простое экспоненциальное сглаживание

Методы экспоненциального сглаживания основываются на прогнозировании будущего по данным из прошлого, где более новые наблюдения весят больше, чем старые. Такое взвешивание возможно благодаря константам сглаживания. Первый метод экспоненциального сглаживания, который мы опробуем, называется простым экспоненциальным сглаживанием (ПЭС, simple exponential smoothing, SES). Он использует лишь одну константу сглаживания.

При простом экспоненциальном сглаживании предполагается, что ваш временной ряд данных состоит из двух компонентов: уровня (или среднего) и некоей погрешности вокруг этого значения. Нет никакого тренда или сезонных колебаний - есть просто уровень, вокруг которого колеблется спрос, тут и там окруженный небольшими погрешностями. Отдавая предпочтение более новым наблюдениям, ПЭС может явиться причиной сдвигов этого уровня. Говоря языком формул,

Спрос в момент времени t = уровень + случайная погрешность около уровня в момент времени t

Так как же найти приблизительное значение уровня? Если принять все временные значения как имеющие одинаковую ценность, то следует просто вычислить их среднее значение. Однако, это плохая идея. Следует дать больший вес недавним наблюдениям.

Создадим несколько уровней. Рассчитаем исходный уровень в первый год:

уровень 0 = среднее значение спроса за первый год (месяцы 1-12)

Для спроса на мечи он равен 163. Мы используем уровень 0 (163) как прогноз спроса на месяц 1. Спрос в месяц 1 равен 165, то есть он на 2 меча выше уровня 0 . Стоит обновить приближение исходного уровня. Уравнение простого экспоненциального сглаживания:

уровень 1 = уровень 0 + несколько процентов × (спрос 1 – уровень 0)

уровень 2 = уровень 1 + несколько процентов × (спрос 2 – уровень 1)

И т.д. «Несколько процентов» - называется константой сглаживания, и обозначается альфой. Это может быть любое число от 0 до 100% (от 0 до 1). Выбирать значение альфы вы научитесь позже. В общем случае значение для разных моментов времени:

Уровень текущий период = уровень предыдущий период +
альфа × (спрос текущий период – уровень предыдущий период)

Будущий спрос равен последнему вычисленному уровню (рис. 3). Поскольку вы не знаете, чему равна альфа, установите для начала в ячейке С2 значение 0,5. После того, как модель будет построена, найдите такую альфа, чтобы сумма квадратов ошибки – Е2 (или стандартное отклонение – F2) были минимальны. Для этого запустите опцию Поиск решения . Для этого пройдите по меню ДАННЫЕ –> Поиск решения , и установите в окне Параметры поиска решения требуемые значения (рис. 4). Чтобы отразить результаты прогноза на диаграмме, для начала выберите диапазон А6:В41, и постройте простую линейную диаграмму. Далее кликните на диаграмме правой кнопкой мыши, выберите опцию Выбрать данные. В открывшемся окне создайте второй ряд и вставьте в него предсказания из диапазона А42:В53 (рис. 5).

Возможно, у вас есть тренд

Чтобы проверить это предположение достаточно подогнать линейную регрессию под данные спроса и выполнить тест на соответствие критерию Стьюдента на подъеме этой линии тренда (как в ). Если уклон линии ненулевой и статистически значимый (в проверке по критерию Стьюдента величина р менее 0,05), у данных есть тренд (рис. 6).

Мы воспользовались функцией ЛИНЕЙН, которая возвращает 10 описательных статистик (если вы ранее не пользовались этой функцией, рекомендую ) и функцией ИНДЕКС, которая позволяет «вытащить» только три требуемые статистики, а не весь набор. Получилось, что наклон равен 2,54, и он значим, так как тест Стьюдента показал, 0,000000012 существенно меньше 0,05. Итак, тренд есть, и осталось включить его в прогноз.

Экспоненциальное сглаживание Холта с корректировкой тренда

Часто оно называется двойным экспоненциальным сглаживанием, потому что имеет не один параметр сглаживания - альфа, а два. Если у временной последовательности линейный тренд, то:

спрос за время t = уровень + t × тренд + случайное отклонение уровня в момент времени t

Экспоненциальное сглаживание Холта с корректировкой тренда имеет два новых уравнения, одно - для уровня по мере его продвижения во времени, а другое - тренд. Уравнение уровня содержит сглаживающий параметр альфа, а уравнение тренда – гамма. Вот как выглядит новое уравнение уровня:

уровень 1 = уровень 0 + тренд 0 + альфа × (спрос 1 – (уровень 0 + тренд 0))

Обратите внимание, что уровень 0 + тренд 0 - это просто одношаговый прогноз от исходных значений к месяцу 1, поэтому спрос 1 – (уровень 0 + тренд 0) - это одношаговое отклонение. Таким образом, основное уравнение приближения уровня будет следующим:

уровень текущий период = уровень предыдущий период + тренд предыдущий период + альфа × (спрос текущий период – (уровень предыдущий период) + тренд предыдущий период))

Уравнение обновления тренда:

тренд текущий период = тренд предыдущий период + гамма × альфа × (спрос текущий период – (уровень предыдущий период) + тренд предыдущий период))

Холтовское сглаживание в Excel аналогично простому сглаживанию (рис. 7), и, как и выше, цель – найти два коэффициента, минимизируя сумму квадратов ошибок (рис. 8). Чтобы получить исходные значения уровня и тренда (в ячейках С5 и D5 на рис. 7), постройте график за первые 18 месяцев продаж и добавьте к нему линию тренда с уравнением. Исходное значение тренда 0,8369 и исходный уровень 155,88 занесите в ячейки С5 и D5. Прогнозные данные можно представить графически (рис. 9).

Рис. 7. Экспоненциальное сглаживание Холта с корректировкой тренда; чтобы увеличить изображение кликните на нем правой кнопкой мыши и выберите Открыть картинку в новой вкладке

Выявление закономерностей в данных

Есть способ испытать прогностическую модель на прочность - сравнить погрешности сами с собой, сдвинутыми на шаг (или несколько шагов). Если отклонения случайны, то улучшить модель нельзя. Однако, возможно, в данных о спросе есть сезонный фактор. Концепция погрешности, коррелирующей с собственной версией за другой период, называется автокорреляцией (подробнее об автокорреляции см. ). Чтобы рассчитать автокорреляцию, начните с данных об ошибке прогноза за каждый период (столбец F на рис. 7 переносим в столбец В на рис. 10). Далее определите среднюю ошибку прогноза (рис. 10, ячейка В39; формула в ячейке: =СРЗНАЧ(B3:B38)). В столбце С рассчитайте отклонение ошибки прогноза от среднего; формула в ячейке С3: =B3-B$39. Далее последовательно сдвигайте столбец С на столбец вправо и строку вниз. Формулы в ячейках D39: =СУММПРОИЗВ($C3:$C38;D3:D38), D41: =D39/$C39, D42: =2/КОРЕНЬ(36), D43: =-2/КОРЕНЬ(36).

Что может значить для одного из столбцов D:O «синхронное движение» со столбцом С. Например, если столбцы С и D синхронны, то число, отрицательное в одном из них, должно быть отрицательным и в другом, положительное в одном, положительное – в другом. Это означает, что сумма произведений двух столбцов будет значительной (отличия накапливаются). Или, что тоже самое, чем ближе значение в диапазоне D41:О41 к нулю, тем ниже корреляция столбца (соответственно от D до О) со столбцом С (рис. 11).

Одна автокорреляция выше критического значения. Погрешность, сдвинутая на год, коррелирует сама с собой. Это означает 12-месячный сезонный цикл. И это неудивительно. Если вы посмотрите на график спроса (рис. 2), то окажется, что есть пики спроса на каждое Рождество и провалы в апреле-мае. Рассмотрим технику прогнозирования, учитывающую сезонность.

Мультипликативное экспоненциальное сглаживание Холта-Винтерса

Метод называется мультипликативным (от multiplicate - умножать), поскольку использует умножение для учета сезонности:

Спрос в момент t = (уровень + t × тренд) × сезонная поправка для момента t × все оставшиеся нерегулярные поправки, которые мы не можем учесть

Сглаживание Холта-Винтерса также называют тройным экспоненциальным сглаживанием, потому что у него три сглаживающих параметра (альфа, гамма и сезонный фактор – дельта). Например, если имеется 12-месячный сезонный цикл:

Прогноз на месяц 39 = (уровень 36 + 3 × тренд 36) х сезонность 27

Анализируя данные, необходимо выяснить, что в серии данных является трендом, а что - сезонностью. Чтобы выполнить вычисления по методу Холта-Винтерса, необходимо:

• Сгладить исторические данные методом скользящего среднего.
• Сравнить сглаженную версию временного ряда данных с оригиналом, чтобы получить приблизительную оценку сезонности.
• Получить новые данные без сезонного компонента.
• Найти приближения уровня и тренда на основе этих новых данных.

Начните с исходных данных (столбцы А и В на рис. 12) и добавьте столбец С со сглаженными значениями на основе скользящего среднего. Так как сезонность имеет 12-месячные циклы, имеет смысл использовать среднее за 12 месяцев. С этим средним есть небольшая проблема. 12 – четное число. Если вы сглаживаете спрос за месяц 7, стоит ли считать его средним спросом с 1-го по 12-й месяц или со 2-го по 13-й? Чтобы справиться с этим затруднением, нужно сгладить спрос с помощью «скользящего среднего 2×12». Т.е., взять половину от двух средних с 1 по 12-й месяц и со 2 по 13. Формула в ячейке С8: =(СРЗНАЧ(B3:B14)+СРЗНАЧ(B2:B13))/2.

Сглаженные данных для месяцев 1–6 и 31–36 получить нельзя, так как не хватает предыдущих и последующих периодов. Для наглядности исходные и сглаженные данные можно отразить на диаграмме (рис. 13).

Теперь в столбце D разделите оригинальную величину на сглаженную и получите приблизительное значение сезонной поправки (столбец D на рис. 12). Формула в ячейке D8: =B8/C8. Обратите внимание на всплески в 20% выше нормального спроса в месяцах 12 и 24 (декабрь), в то время как весной наблюдаются провалы. Эта техника сглаживания дала вам две точечные оценки для каждого месяца (всего 24 месяца). В столбце Е найдено среднее значение этих двух факторов. Формула в ячейке Е1: =СРЗНАЧ(D14;D26). Для наглядности уровень сезонных колебаний можно представить графически (рис. 14).

Теперь можно получить данные, скорректированные на сезонные колебания. Формула в ячейке G1: =B2/E2. Постройте график на основе данных столбца G, дополните его линией тренда, выведите уравнение тренда на диаграмму (рис. 15), и используйте коэффициенты в последующих расчетах.

Сформируйте новый лист, как показано на рис. 16. Значения в диапазон Е5:Е16 подставьте с рис. 12 области Е2:Е13. Значения С16 и D16 возьмите из уравнения линии тренда на рис. 15. Значения констант сглаживания установите для начала на отметке 0,5. Растяните значения в строке 17 на диапазон месяцев с 1 по 36. Запустите Поиск решения для оптимизации коэффициентов сглаживания (рис. 18). Формула в ячейке В53: =(C$52+(A53-A$52)*D$52)*E41.

Теперь в сделанном прогнозе нужно проверить автокорреляции (рис. 18). Так как все значения расположились между верхней и нижней границами, вы понимаете, что модель неплохо поработала над пониманием структуры значений спроса.

Построение доверительного интервала прогноза

Итак, у нас есть вполне рабочий прогноз. Как установить верхние и нижние границы, которые можно использовать для построения реалистичных предположений? В этом вам поможет симуляция Монте-Карло, с которой вы уже встречались в (см. также ). Смысл заключается в том, чтобы сгенерировать будущие сценарии поведения спроса и определить группу, в которую попадают 95% из них.

Удалите с листа Excel прогноз из ячеек В53:В64 (см. рис. 17). Вы запишете туда спрос на основе симуляции. Последнюю можно сгенерировать с помощью функции НОРМОБР. Для будущих месяцев вам достаточно снабдить ее средним (0), стандартным распределением (10,37 из ячейки $Н$2) и случайным числом от 0 до 1. Функция вернет отклонение с вероятностью, соответствующей колоколообразной кривой. Поместите симуляцию одношаговой погрешности в ячейку G53: =НОРМОБР(СЛЧИС();0;H$2). Растянув эту формулу вниз до G64, и вы получите симуляции ошибки прогноза для 12 месяцев одношагового прогноза (рис. 19). Ваши значения симуляций будут отличаться от приведенных на рисунке (на то она и симуляция!).

С погрешностью прогноза у вас есть все, что нужно для обновления уровня, тренда и сезонного коэффициента. Так что выделите ячейки C52:F52 и растяните их до строки 64. В результате у вас имеются симулированная ошибка прогноза и сам прогноз. Идя от обратного, можно спрогнозировать значения спроса. Вставьте в ячейку В53 формулу: =F53+G53 и растяните ее до В64 (рис. 20, диапазон В53:F64). Теперь вы можете нажимать на кнопку F9, каждый раз обновляя прогноз. Разместите результаты 1000 симуляций в ячейках А71:L1070, каждый раз транспонируя значения из диапазона В53:В64 в диапазон А71:L71, A72:L72, … A1070:L1070. Если вас это напрягает напишите код VBA.

Теперь у вас есть по 1000 сценариев на каждый месяц, и вы можете использовать функцию ПЕРСЕНТИЛЬ, чтобы получить верхние и нижние границы в середине 95%-ного доверительно интервала. В ячейке А66 формула: =ПЕРСЕНТИЛЬ(A71:A1070;0,975), а в ячейке А67: =ПЕРСЕНТИЛЬ(A71:A1070;0,025).

Как обычно, для наглядности данные можно представить в графическом виде (рис. 21).

На графике есть два интересных момента:

• Погрешность со временем становится шире. В этом есть смысл. Неуверенность накапливается с каждым месяцем.
• Точно так же погрешность растет и в частях, приходящихся на периоды сезонного повышения спроса. С последующим его падением погрешность сжимается.

Написано по материалам книги Джона Формана . – М.: Альпина Паблишер, 2016. – С. 329–381

Простая и логически ясная модель временного ряда имеет следующий вид:

Y t = b + e t

у, = Ь + г„ (11.5)

где b - константа, e - случайная ошибка. Константа b относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения значения b из данных состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблю­дениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем пред- предпоследним, и т.д. Простое экспоненциальное сглаживание имен­но так и построено. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненци­ально убывающие веса, при этом, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения ряда, а не только те, которые попали в определен­ное окно. Точная формула простого экспоненциального сглаживания имеет вид:

S t = a y t + (1 - a) S t -1

Когда эта формула применяется рекурсивно, каждое новое сглаженное значение (которое является также прогнозом) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного ряда. Очевидно, результат сглаживания зависит от параметра a. Если a равен 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если aравен 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения a между 0 и 1 дают промежуточные результаты. Эмпирические исследования показали, что простое экспоненциальное сглаживание весьма часто дает достаточно точный прогноз.

На практике обычно рекомендуется брать a меньше 0,30. Однако выбор a больше 0,30 иногда дает более точный прогноз. Это значит, что лучше все же оценивать оптимальное значение a по реальным данным, чем использовать общие рекомендации.

На практике оптимальный параметр сглаживания часто ищется с использованием процедуры поиска на сетке. Возможный диапазон значений параметра разбивается сеткой с определенным шагом. Например, рассматривается сетка значений от a = 0,1 до a = 0,9 с шагом 0,1. Затем выбирается такое значение a, для которого сумма квадратов (или средних квадратов) остатков (наблюдаемые значения минус прогнозы на шаг вперед) является минимальной.

Microsoft Excel располагает функцией Exponential Smoothing (Экспоненциальное сглаживание), которая обычно используется для сглаживания уровней эмпирической временного ряда на основе метода простого экспоненциального сглаживания. Для вызова этой функции необходимо на панели меню выбрать команду Tools Þ Data Analysis. На экране раскроется окно Data Analysis, в котором следует выбрать значение Exponential Smoothing (Экспоненциальное сглаживание). В результате появится диалоговое окно Exponential Smoothing.

В диалоговом окне Exponential Smoothing задаются практически те же параметры, что и в рассмотренном выше диалоговом окне Moving Average.

1. Input Range (Входные данные) - в это поле вводится диапазон ячеек, содержащих значения исследуемого параметра.

2. Labels (Метки) - данный флажок опции устанавливается в том случае, если
первая строка (столбец) во входном диапазоне содержит заголовок. Если заголовок отсутствует, флажок следует сбросить. В этом случае для данных выходного диапазона будут автоматически созданы стандартные названия.

3. Damping factor (Фактор затухания) - в это поле вводится значение выбранного коэффициента экспоненциального сглаживания а. По умолчанию принимаете значение а = 0,3.

4. Output options (Параметры вывода) - в этой группе, помимо указания диапазона ячеек для выходных данных в поле Output Range (Выходной диапазон), можно также потребовать автоматически построить график, для чего необходимо установить флажок опции Chart Output (Вывод графика), и рассчитать стандартные погрешности, для чего нужно установить флажок опции Standart Erroг (Стандартные погрешности).

Задание 2. С помощью программы Microsoft Excel, используя функцию Экспоненциального сглаживания (Exponential Smoothing), на основании данных об объеме выпуска Задания 1 рассчитать сглаженные уровни выпуска и стандартные погрешности. Затем представить фактические и прогнозируемые данные с помощью диаграммы. Подсказка: должна получиться таблица и график, аналогичный выполненному в задание 1, но с другими сглаженными уровнями и стандартными погрешностями.

Метод аналитического выравнивания

где - теоретические значения временного ряда, вычисленные по соответствующе­му аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) значений , производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отобра­жает основную тенденцию развития временного ряда.

Простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, явля­ются следующие:

Линейная функция, график которой является прямой линией:

Показательная функция:

Y t = a 0 * a 1 t

Степенная функция второго порядка, график которой является параболой:

Y t = a 0 + a 1 * t + a 2 * t 2

Логарифмическая функция:

Y t = a 0 + a 1 * ln t

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадра­тов отклонений между теоретическим и эмпирическим уровнями:

где - выровненные (расчетные) уровни, а Yt - фактические уровни.

Параметры уравнения a i удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни.

Выравнивание по прямой используется в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

Выравнивание по показательной функции применяется, когда ряд отражает развитие в геометрической профессии, т.е. цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Выравнивание по степенной функции (параболе второго порядка) используется, ко­гда ряды динамики изменяются с постоянными цепными темпами прироста.

Выравнивание по логарифмической функции применяется, когда ряд отражает разви­тие с замедлением роста в конце периода, т.е. когда прирост в конечных уровнях вре­менного ряда стремится к нулю.

По вычисленным параметрам выполняется синтез трендовой модели функции, т.е. получение значений a 0 , a 1 , a ,2 и их подстановка в искомое уравнение.

Правильность расчетов аналитических уровней можно проверить по следующему условию: сумма значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычислен­ных уровней выровненного ряда. При этом может возникнуть небольшая погрешность в расчетах из-за округления вычисляемых величин:

Для оценки точности трендовой модели используется коэффициент детерминации:

где - дисперсия теоретических данных, полученных по трендовой модели, а - дисперсия эмпирических данных.

Трендовая модель адекватна изучаемому процессу и отражает тенденцию его раз­вития при значениях R 2 , близких к 1.

После выбора наиболее адекватной модели можно сделать прогноз на любой из периодов. При составлении прогнозов оперируют не точечной, а интервальной оцен­кой, определяя так называемые доверительные интервалы прогноза. Величина довери­тельного интервала определяется в общем виде следующим образом:

где среднее квадратическое отклонение от тренда; t a - табличное значение t- критерия Стьюдента при уровне значимости a , которое зависит от уровня значимо­стиa (%) и числа степеней свободы к = п - т. Величина - определяется по формуле:

где и – фактические и расчетные значения уровней динамического ряда; п - число уровней ряда; т - количество параметров в уравнении тренда (для уравнения прямой т - 2, для уравнения параболы 2-го порядка т = 3).

После необходимых расчетов определяется интервал, в котором с определенной вероятностью будет находиться прогнозируемая величина.

С помощью Microsoft Excel строить трендовые модели достаточно просто. Сначала эмпирический временной ряд следует представить в виде диаграммы одного из сле­дующих типов: гистограмма, линейчатая диаграмма, график, точечная диаграмма, диаграмма с областями, а затем щелкнуть на диаграмме правой кнопкой мыши на од­ном из маркеров данных. В результате на диаграмме будет выделен сам временной ряд, а на экране раскроется контекстное меню. В этом ме­ню следует выбрать команду Add Trendline (Добавить линию тренда). На экран будет выведено диалоговое окно Add Trendline.

На вкладке Туре (Тип) этого диалогового окна выбирается требуемый тип тренда:

1. линейный (Linear);

2. логарифмический (Logarithmic);

3. полиномиальный, от 2-й до 6-й степени включительно (Polinomial);

4. степенной (Power);

5. экспоненциальный (Exponential);

6. скользящее среднее, с указанием периода сглаживания от 2 до 15 (Moving Average).

На вкладке Options (Параметры) этого диалогового окна задаются дополнительные параметры тренда.

1. Trendline Name (Название сглаженной кривой) - в этой группе выбирается на­звание, которое будет выведено на диаграмму для обозначения функции, исполь­зованной для сглаживания временного ряда. Возможны следующие варианты:

♦ Automatic (Автоматическое) - при установке переключателя в это положе­ние Microsoft Excel автоматически формирует название функции сглажива­ния тренда, основываясь на выбранном типе тренда, например Linear (Линейная функция).

♦ Custom (Другое) - при установке переключателя в данное положение в по­ле справа можно ввести собственное название для функции тренда, длиной до 256 символов.

2. Forecast (Прогноз) - в этой группе можно указать, на сколько периодов вперед (поле Forward) требуется спроектировать линию тренда в будущее и на сколько периодов назад (поле Backward) следует спроектировать линию тренда в про­шлое (эти поля недоступны в режиме скользящего среднего).

3. Set intercept (Пересечение кривой с осью Y в точке) - этот флажок опции и расположенное справа поле ввода позволяют непосредственно указать точку, в которой линия тренда должна пересекать ось Y (эти поля доступны не для всех режимов).

4. Display equation on chart (Показывать уравнение на диаграмме) - при установке этого флажка опции на диаграмму будет выведено уравнение, описывающее сглаживающую линию тренда.

5. Display R-squared value on chart (Поместить на диаграмму величину достоверно­сти аппроксимации R 2) - при установке данного флажка опции на диаграмме будет показано значение коэффициента детерминации.

Вместе с линией тренда на графике временного ряда могут быть также изображены планки погрешностей. Для вставки планок погрешностей необходимо выделить ряд данных, щелкнуть на нем правой кнопкой мыши и выбрать в раскрывшемся контек­стном меню команду Format Data Series. На экране раскроется диалоговое окно Format Data Series (Формат ряда данных), в котором следует перейти на вкладку Y Error Bars (Y-погрешности).

На этой вкладке с помощью переключателя Error amount (Величина погрешности) выбирается тип планок и вариант их расчета в зависимости от вида погрешности.

1. Fixed value (Фиксированное значение) - при установке переключателя в это положение за допустимую величину ошибки принимается заданное в поле счетчика справа постоянное значение;

2. Percentage (Относительное значение) - при установке переключателя в данное положение для каждой точки данных вычисляется допустимое отклонение, исходя из заданного в поле счетчика справа значения процента;

3. Standard deviation(s) (Стандартное отклонение) - при установке переключателя в данное положение для каждой точки данных вычисляется стандартное отклонение, которое затем умножается на заданное в поле счетчика справа число (коэффициент кратности);

4. Standard error (Стандартная погрешность) - при установке переключателя в данное положение принимается стандартная величина ошибки, постоянная для всех элементов данных;

5. Custom (Пользовательская) - при установке переключателя в это положение вводится произвольный массив значений отклонений в положительную и/или отрицательную сторону (можно ввести ссылки на диапазон ячеек).

Планки погрешностей тоже можно форматировать. Для этого их следует выделить щелчком правой кнопки мыши и выбрать в раскрывшемся контекстном меню коман­ду Format Error Bars (Формат планок погрешностей).

Задание 3. С помощью программы Microsoft Excel на основании данных об объеме выпуска Задания 1 необходимо:

Представить временной ряд в виде графика, построенного с помощью мастера диаграмм. Затем добавить линию тренда, подбирая наиболее подходящий вариант уравнения.

Представить полученные результаты в виде таблицы «Подбор уравнения тренда»:

Таблица «Подбор уравнения тренда»

Представить выбранное уравнение графически, вынеся в график данные о наименовании полученной функции и величину достоверности аппроксимации (R 2).

Задание 4. Ответьте на следующие вопросы:

1. При анализе тренда для некоторого набора данных коэффициент детерминации для линейной модели оказался равен 0,95, для логарифмической - 0,8, а для полинома третьей степени - 0,9636. Какая трендовая модель наиболее адекват­на изучаемому процессу:

а) линейная;

б) логарифмическая;

в) полином 3-й степени.

2. По данным, представленным в задании 1, спрогнозируйте объем выпуска про­дукции в 2003 году. Какая общая тенденция поведения исследуемой величины следует из результатов вашего прогноза:

а) наблюдается спад производства;

б) производство остается на прежнем уровне;

в) наблюдается рост производства.

В данном материале были рассмотрены основные характеристики временного ряда, мо­дели декомпозиции временного ряда, а также основные методы сглаживания ряда - метод скользящего среднего, экспоненциального сглаживания и аналитического вы­равнивания. Для решения этих задач Microsoft Excel предлагаются такие инструменты, как Moving Average (Скользящее среднее) и Exponential Smoothing (Экспоненциальное сглаживание), которые позволяют сглаживать уровни эмпирического временного ряда, а также команда Add Trendiine (Добавить линию тренда), которая позволяет строить модели тренда и делать прогноз на основе имеющихся значений временного ряда.

P.S. Чтобы включить «Пакет анализ данных», выберите команду Tools →Data Analysis (Сервис → Анализ данных).

Если Data Analysis отсутствует, то необходимо выполнить следующие действия:

1. Выбрать команду Tools → Add-ins (Надстройки).

2. Выбрать в предложенном списке настроек значение Analysis ToolPak (Пакет анализа), а затем щелкнуть ОК. После этого будет выполнена загрузка и подключение к Excel пакета настройки «Анализ данных». Соответствующая команда появится в меню Tools.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27

Экспоненциальное сглаживание – более сложный метод взвешенного среднего. Каждый новый прогноз основан на предыдущем прогнозе плюс процент разницы между этим прогнозом и фактическим значением ряда в этой точке.

F t = F t -1 + (A t -1 - F t -1) (2)

Где: F t – прогноз для периода t

F t -1 – прогноз для периода t-1

– сглаживающая константа

A t - 1 – фактический спрос или продажи для периода t-1

Константа сглаживания представляет собой процент от ошибки про­гноза. Каждый новый прогноз равен предыдущему прогнозу плюс процент от предыдущей ошибки.

Чувствительность корректировки прогноза к ошибке определена кон­стантой сглаживания , чем ближе её значение к 0 , тем медленнее прогноз будет приспосабливаться к ошибкам прогноза (т.е. тем больше степень сгла­живания). Наоборот, чем ближе значение к 1,0 , тем выше чувствитель­ность и меньше сглаживание.

Выбор константы сглаживания – в основном вопрос свободного вы­бора или метода проб и ошибок. Цель состоит в том, чтобы выбрать такую константу сглаживания, чтобы, с одной стороны, прогноз остался достаточно чувствительным к реальным изменениям данных временного ряда, а с дру­гой – хорошо сглаживал скачки, вызванные случайными факторами. Обычно используемые значения находятся в диапазоне от 0,05 до 0,50.

Экспоненциальное сглаживание – один из наиболее широко исполь­зуемых методов прогнозирования, частично из – за минимальных требова­ний по хранению данных и легкости вычисления, а частично из-за той лёгко­сти, с которой система коэффициентов значимости может быть изменена простым изменением значения .

Таблица 3. Экспоненциальное сглаживание

Период	Фактиче­ский спрос	α= 0,1	α = 0,4
прогноз	ошибка	прогноз	ошибка
	10 000	-	-	-	-
	11 200	10 000	11 200-10 000=1 200	10 000	11 200-10 000=1 200
	11 500	10 000+0,1(11 200-10 000)=10 120	11 500-10 120=1 380	10 000+0,4(11 200-10 000)=10 480	11 500-10 480=1 020
	13 200	10 120+0,1(11 500-10 120)=10 258	13 200-10 258=2 942	10 480+0,4(11 500-10 480)=10 888	13 200-10 888=2 312
	14 500	10 258+0,1(13 200-10 258)=10 552	14 500-10 552=3 948	10 888+0,4(13 200-10 888)=11 813	14 500-11 813=2 687
	-	10 552+0,1(14 500-10 552)=10 947	-	11 813+0,4(14 500-11 813)=12 888	-

Методы для тенденции

Существует два важных метода, которые можно использовать для разработки прогнозов, когда присутствует тенденция. Один из них предпола­гает использование уравнения тенденции; другой – расширение экспонен­циального сглаживания.

Уравнение тенденции:

Линейное уравнение тенденции имеет следующий вид:

Y t = a + δ∙ t (3)

Где: t – определённое число периодов времени от t= 0 ;

Y t – прогноз периода t ;

α – значение Y t при t=0

δ – наклон линии.

Коэффициенты прямой α и δ , могут быть вычислены из статистических данных за определённый период, с использованием следующих двух урав­нений:

δ= , (4)

α = , (5)

Где: n – число периодов,

y – значение временного ряда

Таблица 3. Уровень тенденции.

Период (t)	Год	Уровень продаж (y)	t∙y	t 2
		10 000	10 000
			11 200	22 400
			11 500	34 500
			13 200	52 800
			14 500	72 500
Итого:		-	60 400	192 200

Вычислим коэффициенты линии тенденции:

δ=

Таким образом, линия тенденции Y t = α + δ ∙ t

В нашем случае, Y t = 43 900+1 100 ∙t ,

Где t = 0 для периода 0.

Составим уравнение для периода 6 (2015 год) и 7 (2016 год):

– прогноз на 2015 год.

Y 7 = 43 900+1 100*7= 51 600

Построим график:

Экспоненциальное сглаживание тенденций

Разновидность простого экспоненциального сглаживания может ис­пользоваться, когда временной ряд выявляет тенденцию. Эта разновидность называется экспоненциальным сглаживание, учитывающим тенденцию или, иногда, двойным сглаживанием. Оно отличается от простого экспоненциаль­ного сглаживания, которое используется только тогда, когда данные изме­няются вокруг некоторого среднего значения или имеют скачкообразные или постепенные изменения.

Если ряд выявляет тенденцию и при этом используется простое экспо­ненциальное сглаживание, то все прогнозы будут запаздывать по отноше­нию к тенденции. Например, если данные увеличиваются, то каждый про­гноз будет занижен. Наоборот, уменьшение данных даёт завышенный про­гноз. Графическое отображение данных может показать, когда двойное сглаживание будет предпочтительнее, чем простое.

Скорректированный тенденцией прогноз (TAF) состоит из двух элемен­тов: сглаженной ошибки и фактора тенденции.

TAF t +1 = S t + T t , (6)

Где: S t – сглаженный прогноз;

T t – оценка текущей тенденции

И S t = TAF t + α 1 (A t - TAF t) , (7)

T t = T t-1 + α 2 (TAF t –TAF t-1 – T t-1) (8)

Где α 1 , α 2 – сглаживающие константы.

Чтобы использовать этот метод, нужно выбрать значения α 1 , α 2 (обыч­ным путём подбора) и сделать начальный прогноз и оценку тенденций.

Таблица 4. Экспоненциальное сглаживание тенденции.