Математическое ожидание для пуассоновского распределения. Распределение пуассона
Распределение Пуассона.
Рассмотрим наиболее типичную ситуацию, в которой возникает распределение Пуассона. Пусть событие А появляется некоторое число раз в фиксированном участке пространства (интервале, площади, объеме) или промежутке времени с постоянной интенсивностью. Для определенности рассмотрим последовательное появление событий во времени, называемое потоком событий. Графически поток событий можно иллюстрировать множеством точек, расположенных на оси времени.
Это может быть поток вызовов в сфере обслуживания (ремонт бытовой техники, вызов скорой помощи и др.), поток вызовов на АТС, отказ в работе некоторых частей системы, радиоактивный распад, куски ткани или металлические листы и число дефектов на каждом из них и др. Наиболее полезным распределение Пуассона оказывается в тех задачах, где требуется определить лишь число положительных исходов («успехов»).
Представим себе булку с изюмом, разделенную на маленькие кусочки равной величины. Вследствие случайного распределения изюминок нельзя ожидать, что все кусочки будут содержать их одинаковое число. Когда среднее число изюминок, содержащееся в этих кусочках, известно, тогда распределение Пуассона задает вероятность того, что любой взятый кусочек содержит X =k (k = 0,1,2,...,)число изюминок.
Иначе говоря, распределение Пуассона определяет, какая часть длинной серии кусочков будет содержать равное 0, или 1, или 2, или и т.д. число изюминок.
Сделаем следующие предположения.
1. Вероятность появления некоторого числа событий в данном промежутке времени зависит только от длины этого промежутка, а не от его положения на временной оси. Это свойство стационарности.
2. Появление более одного события в достаточно малом промежутке времени практически невозможно, т.е. условная вероятность появления в этом же интервале другого события стремится к нулю при ® 0. Это свойство ординарности.
3. Вероятность появления данного числа событий на фиксированном промежутке времени не зависит от числа событий, появляющихся в другие промежутки времени. Это свойство отсутствия последействия.
Поток событий, удовлетворяющий перечисленным предложениям, называется простейшим .
Рассмотрим достаточно малый промежуток времени . На основании свойства 2 событие может появиться на этом промежутке один раз или совсем не появиться. Обозначим вероятность появления события через р , а непоявления – через q = 1-p. Вероятность р постоянна (свойство 3) и зависит только от величины (свойство 1). Математическое ожидание числа появлений события в промежутке будет равно 0×q + 1×p = p . Тогда среднее число появления событий в единицу времени называется интенсивностью потока и обозначается через a, т.е. a = .
Рассмотрим конечный отрезок времени t и разделим его на n частей = . Появления событий в каждом из этих промежутков независимы (свойство 2). Определим вероятность того, что в отрезке времени t при постоянной интенсивности потока а событие появится ровно X = k раз и не появится n – k . Так как событие может в каждом из n промежутков появиться не более чем 1 раз, то для появления его k раз на отрезке длительностью t оно должно появиться в любых k промежутках из общего числа n. Всего таких комбинаций , а вероятность каждой равна . Следовательно, по теореме сложения вероятностей получим для искомой вероятности известную формулу Бернулли
Это равенство записано как приближенное, так как исходной посылкой при его выводе послужило свойство 2, выполняемое тем точнее, чем меньше . Для получения точного равенства перейдем к пределу при ® 0 или, что то же, n ® . Получим после замены
P = a = и q = 1 – .
Введем новый параметр = at , означающий среднее число появлений события в отрезке t . После несложных преобразований и переходу к пределу в сомножителях получим.
= 1, = ,
Окончательно получим
, k = 0, 1, 2, ...
е = 2,718... –основание натурального логарифма.
Определение . Случайная величина Х , которая принимает только целые, положительные значения 0, 1, 2, ... имеет закон распределения Пуассона с параметром , если
для k = 0, 1, 2, ...
Распределение Пуассона было предложено французским математиком С.Д. Пуассоном (1781-1840 гг). Оно используется для решения задач исчисления вероятностей относительно редких, случайных взаимно независимых событий в единицу времени, длины, площади и объема.
Для случая, когда а) – велико и б) k = , справедлива формула Стирлинга:
Для расчета последующих значений используется рекуррентная формула
P (k + 1) = P (k ).
Пример 1. Чему равна вероятность того, что из 1000 человек в данный день родились: а) ни одного, б) один, в) два, г) три человека?
Решение. Так как p = 1/365, то q = 1 – 1/365 = 364/365 » 1.
Тогда
а) ,
б) ,
в) ,
г) .
Следовательно, если имеются выборки из 1000 человек, то среднее число человек, которые родились в определенный день, соответственно будут равны 65; 178; 244; 223.
Пример 2. Определить значение , при котором с вероятностью Р событие появилось хотя бы один раз.
Решение. Событие А = {появиться хотя бы один раз} и = {не появиться ни одного раза}. Следовательно .
Отсюда и .
Например, для Р = 0,5 , для Р = 0,95 .
Пример 3. На ткацких станках, обслуживаемых одной ткачихой, в течение часа происходит 90 обрывов нити. Найти вероятность того, что за 4 минуты произойдет хотя бы один обрыв нити.
Решение. По условию t = 4 мин. и среднее число обрывов за одну минуту , откуда . Требуемая вероятность равна .
Свойства . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром , равны:
M (X ) = D (X ) = .
Эти выражения получаются прямыми вычислениями:
Здесь была осуществлена замена n = k – 1 и использован тот факт, что .
Выполнив преобразования, аналогичные использованным при выводе М (X ), получим
Распределение Пуассона используется для аппроксимации биноминального распределения при больших n
Краткая теория
Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Для определения вероятности появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли . Если же велико, то пользуются или . Однако эта формула непригодна, если мала. В этих случаях ( велико, мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона .
Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно раз. Сделаем важное допущение: произведение сохраняет постоянное значение, а именно . Это означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях , остается неизменным.
Пример решения задачи
Задача 1
На базе получено 10000 электроламп. Вероятность того, что в пути лампа разобьется, равна 0,0003. Найдите вероятность того, что среди полученных ламп будет пять ламп разбито.
Решение
Условие применимости формулы Пуассона:
Если вероятность появления события в отдельном испытании достаточно близка к нулю, то даже при больших значениях количества испытаний вероятность, вычисляемая по локальной теореме Лапласа, оказывается недостаточно точной. В таких случаях используют формулу, выведенную Пуассоном.
Пусть событие – 5 ламп будет разбито
Воспользуемся формулой Пуассона:
В нашем случае:
Ответ
Задача 2
На предприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Составить закон распределения числа отказов оборудования в течение часа. Найти числовые характеристики.
Решение
Случайная величина – число отказов оборудования, может принимать значения
Воспользуемся законом Пуассона:
Найдем эти вероятности:
.Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона равна параметру этого распределения:
Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.
Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.
Снова напомним
ситуацию, которая была названа схемой
Бернулли: производится
n
независимых
испытаний, в каждом из которых некоторое
событие А
может появиться с одной и той же
вероятностью р
.
Тогда для определения вероятности того,
что в этих n
испытаниях событие А
появится
ровно k
раз (такая вероятность обозначалась
P
n
(k
)
) может быть точно вычислена по формуле
Бернулли
,
гдеq
=1−
p
. Однако при большом числе испытаний n
расчеты по формуле Бернулли становятся
очень неудобными, так как приводят к
действиям с очень большими числами.
Поэтому (если помните −
это когда-то проходилось при изучении
схемы и формулы Бернулли при изучении
первой части теории вероятностей
«Случайные события») при больших n
предлагались значительно более удобные
(хотя и приближенные) формулы, которые
оказывались тем точнее, чем больше n
(формула Пуассона, локальная и интегральная
формула Муавра-Лапласа). Если в схеме
Бернулли число опытов n
велико, а вероятность р
появления события А
в каждом испытании мала, то хорошее
приближение дает упомянутая формула
Пуассона
,
где параметра
=
n
∙
p
. Эта формула и приводит к распределению
Пуассона. Дадим точные определения
Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона , если она принимает значения 0, 1, 2, ... с вероятностями р 0 , р 1 , ... , которые вычисляются по формуле
а число а является параметром распределения Пуассона. Обращаем внимание, что возможных значений с.в. Х бесконечно много − это все целые неотрицательные числа. Таким образом, д.с.в Х с распределением Пуассона имеет следующий закон распределения:
При вычислении математического ожидания (по их определению для д.с.в. с известным законом распределения) придется теперь считать не конечные суммы, а суммы соответствующих бесконечных рядов (так как таблица закона распределения имеет бесконечно много столбцов). Если же посчитать суммы этих рядов, то окажется, что и математическое ожидание, и дисперсия случайной величины Х с распределением Пуассона совпадает с параметром а этого распределения:
,
.
Найдем моду d
(X
)
распределенной по Пуассону случайной
величины Х
.
Применим тот же самый прием, что был
использован для вычисления моды
биномиально распределенной случайной
величины. По определению моды d
(X
)=
k
,
если вероятность
наибольшая среди всех вероятностей
р
0
, р
1
, ...
. Найдем
такое число k
(это целое
неотрицательное число). При таком k
вероятность p
k
должна быть не меньше соседних с ней
вероятностей:
p
k
−1
≤
p
k
≤
p
k
+1
. Подставив вместо каждой вероятности
соответствующую формулу, получим, что
число k
должно удовлетворять двойному неравенству:
.
Если расписать формулы для факториалов и провести простые преобразования, можно получить, что левое неравенство дает k ≤ а , а правое k ≥ а −1 . Таким образом, число k удовлетворяет двойному неравенству а −1 ≤ k ≤ а , т.е. принадлежит отрезку [а −1, а ] . Поскольку длина этого отрезка, очевидно, равна 1 , то в него может попасть либо одно, либо 2 целых числа. Если число а целое, то в отрезке [а −1, а ] имеется 2 целых числа, лежащих на концах отрезка. Если же число а не целое, то в этом отрезке есть только одно целое число.
Таким образом, если число а целое, то мода распределенной по Пуассону случайной величины Х принимает 2 соседних значения: d (X )=а−1 и d (X )=а . Если же число а не целое, то мода имеет одно значение d (X )= k , где k есть единственное целое число, удовлетворяющее неравенству а −1 ≤ k ≤ а , т.е. d (X )= [а ] .
Пример . Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0.0002 . Какова вероятность, что повредится 18 изделий? Каково среднее значение поврежденных изделий? Каково наивероятнейшее число поврежденных изделий и какова его вероятность?
Где λ равна среднему числу появления событий в одинаковых независимых испытаниях, т.е. λ = n × p, где p – вероятность события при одном испытании, e = 2,71828 .
Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для построения Пуассоновского распределения и вычисления всех характеристик ряда: математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Отчет с решением оформляется в формате Word . В случае, когда n велико, а λ = p·n > 10 формула Пуассона дает очень грубое приближение и для расчета P n (m) используют локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа .
Числовые характеристики случайной величины Х
Математическое ожидание распределения ПуассонаM[X] = λ
Дисперсия распределения Пуассона
D[X] = λ
Пример №1
. Семена содержат 0.1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0.03609
Математическое ожидание
: M[X] = λ = 2
Дисперсия
: D[X] = λ = 2
Пример №2
. Среди семян ржи имеется 0.4% семян сорняков. Составить закон распределения числа сорняков при случайном отборе 5000 семян. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Математическое ожидание: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Дисперсия: D[X] = λ = 20
Закон распределения:
X | 0 | 1 | 2 | … | m | … |
P | e -20 | 20e -20 | 200e -20 | … | 20 m e -20 /m! | … |
Пример №3
. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/200. Найдите вероятность того, что среди 200 соединений произойдет:
а) ровно одно неправильное соединение;
б) меньше чем три неправильных соединения;
в) больше чем два неправильных соединения.
Решение.
По условию задачи вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона (15).
а) Задано: n = 200, p = 1/200, k = 1. Найдем P 200 (1).
Получаем: . Тогда P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
б) Задано: n = 200, p = 1/200, k < 3. Найдем P 200 (k < 3).
Имеем: a = 1.
в) Задано: n = 200, p = 1/200, k > 2. Найдем P 200 (k > 2).
Эту задачу можно решить проще: найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем
Рассмотрим случай, когда n является достаточно большим, а p - достаточно малым; положим np = a, где a - некоторое число. В этом случае искомая вероятность определяется формулой Пуассона:
Вероятность появления k событий за время длительностью t можно также найти по формуле Пуассона:
где λ - интенсивность потока событий, то есть среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Пример №4 . Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0.005. проверяется 400 деталей. Укажите формулу вычисления вероятности того, что больше 3 деталей оказались с браком.
Пример №5
. Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна p. определить вероятность того, что в партии из N деталей содержится а) ровно три детали; б) не более трех бракованных деталей.
p=0,001; N = 4500
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 4.5 < 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,m). Вероятности этих значений можно найти по формуле:
Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = np = 4500*0.001 = 4.5
P(0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999
Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится ровно три детали, равна:
Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится не более трех бракованных деталей:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736
Пример №6
. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: а) ровно два вызова; б) более двух вызовов.
N = 18
Решение.
За одну минуту АТС в среднем получает λ = 18/60 мин. = 0,3
Считая, что случайное число X вызовов, поступивших на АТС за одну минуту,
подчиняется закону Пуассона, по формуле найдем искомую вероятность
Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = 0.3
P(0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222
Вероятность того, что за данную минуту она получит ровно два вызова:
P(2) = 0,03334
Вероятность того, что за данную минуту она получит более двух вызовов:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366
Пример №7
. Рассматриваются два элемента, работающих независимо друг от друга. Продолжительность времени безотказной работы имеет показательное распределение с параметром λ1 = 0,02 для первого элемента и λ2 = 0,05 для второго элемента. Найти вероятность того, что за 10 часов: а) оба элемента будут работать безотказно; б) только Вероятность того, что за 10 часов элемент №1 не выйдет из строя:
Рещение.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0.02*10 = 0,8187
Вероятность того, что за 10 часов элемент №2 не выйдет из строя:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0.05*10 = 0,6065
а) оба элемента будут работать безотказно;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) только один элемент выйдет из строя.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187)*0.6065 = 0.4321
Пример №7
. Производство даёт 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?
Примечание
: поскольку здесь n*p =1100*0.01=11 > 10, то необходимо использовать